设时刻t鱼场中的鱼量为x(t),鱼场资源条件 所限制的x的最大值为Xm,类似人口模型中的 Logistic模型,我们得到在无捕捞情况下的关 于x(t)的微分方程 X d t
设时刻t鱼场中的鱼量为x(t)，鱼场资源条件 所限制的x的最大值为xm，类似人口模型中的 Logistic模型，我们得到在无捕捞情况下的关 于x(t)的微分方程 = − m x x rx dt dx 1
假设单位时间内捕捞量与渔场的鱼量成正比, 捕捞率为K,则在有捕捞的情况下,x(t)应满足 dx rxl|- Kx d t 但是,我们并不关心方程的解的表达,因为 我们只要知道稳定的鱼群时最大的捕捞量或经 济效益,那么如何知道什么时候鱼群x(t)稳 定呢?
假设单位时间内捕捞量与渔场的鱼量成正比， 捕捞率为K，则在有捕捞的情况下，x(t)应满足 Kx x x rx dt dx m − = 1− 但是，我们并不关心方程的解的表达，因为 我们只要知道稳定的鱼群时最大的捕捞量或经 济效益，那么如何知道什么时候鱼群x（t）稳 定呢？
对于方程 x f(x) d t 我们把代数方程(x)=0的实很x称为上面方程 的平衡点。显然,x=x0是它的一个解。另外 在点x附近,有 Taylor展开式
对于方程 f ( x ) dt dx = 我们把代数方程f(x)=0的实根x0称为上面方程 的平衡点。显然，x=x0是它的一个解。另外， 在点x0附近，有taylor展开式
ax f(x)=f(x0(x-x0)+0(x-x0) 若f(x)<0,故当x>x时 <0 ,从而当t 增加时,导数为负数,x(t)下降,x向x方向减 少;当x<x时,>0,从而当增加时,x向x0 方向增大。故x()→x0,是稳定的平衡点 反之,若f(x0>0,则x是不稳定的平衡点
( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 f x f x x x o x x dt dx = = − + − 若f ’ (x0 )<0，故当x>x0时， ，从而当t 增加时，导数为负数，x(t)下降，x向x0方向减 少；当x<x0时， ，从而当t增加时，x向x0 方向增大。故x(t)→x0，x0是稳定的平衡点。 反之，若f ’ (x0 )>0，则x0是不稳定的平衡点。 0 dt dx 0 dt dx
我们不难求出方程 dx=rxxm x K d t 的平衡点 r-K =0 0
我们不难求出方程 , 0 0 1 = − = x x r r K x m Kx x x rx dt dx m − = 1− 的平衡点