利用平面的一般方程,可得到一些特殊的平面所具有 的特征。 1)平面π:Ax+B+Cz+D=0过原点分→D=0 (2)平面:Ax+By+Cz+D=0平行于z轴台→C=0 (3)平面π:Ax+By+Cz+D=0过z轴兮C=D=0
利用平面的一般方程，可得到一些特殊的平面所具有 的特征。 ⑴平面 π：Ax + By + + Cz D = 0 过原点 ⇔ D=0 。 ⑵平面 π：Ax + By + + Cz D = 0 平行于 z 轴 ⇔ C=0 。 ⑶平面 π： 过 Ax + By + + Cz D = 0 z 轴 ⇔ C=D=0
例2求过y轴及点M(2,1,3)的平面方程。 解因平面过y轴,故可设平面方程为 Ax+cz=0 又因平面过点M,故有 3C 2A+3C=0.→A 将A,C代入原方程,即得平面方程为 3x-2z=0
例2 求过 y 轴及点 M(2,1,3)的平面方程。 解 因平面过 y 轴，故可设平面方程为 Ax + Cz = 0, 又因平面过点M，故有 3 2 3 0, , 2C A C + = ⇒ A = − 将A，C代入原方程，即得平面方程为 3 2 x z − = 0
3平面的截距式方程 设平面与x、J、z轴分别交于P1(a,0,0),P2(0,b PO,0,c,(数a,c分别称为平面在三坐标轴上的截距) 试建立平面的方程。 设所求平面的方程为 Ax+ By+Cz+D=0 D 将P1的坐标代入平面方程,得到:aA+D=0,即A 同理得:B=D 代入平面方程,并消去D
3.平面的截距式方程 设平面与x、y、z轴分别交于P1(a, 0, 0), P2(0, b, 0), P3(0, 0, c), (数a,b,c分别称为平面在三坐标轴上的截距 ) 试建立平面的方程。 设所求平面的方程为 Ax + By + + Cz D = 0, 将P1的坐标代入平面方程，得到: a A+D=0, 即 D A a =− 同理得： , ，代入平面方程，并消去D， D D B C b c = − = −
则得到平面方程: 3) a b 方程(3)称为平面的截距式方程 (0,0,c) (0,b,0) (a,0,0)
则得到平面方程： 1. ( 3 ) x y z a b c + + = 方程(3)称为平面的截距式方程。 ( , a 0,0) (0,b,0) (0,0,c) x y z
4两平面的夹角 以两平面的法向的夹角定义为两平面的夹角。 设平面的方程为 Ax+By+C12+D1=0, 设平面的方程为 A2x+B2y+C2+D2=0 两平面的夹角为θ,则
4.两平面的夹角 以两平面的法向的夹角定义为两平面的夹角。 设平面Π1 的方程为 1 1 1 1 A x + B y + + C z D = 0, θ θ 1 n G 2 n G Π1 Π2 设平面Π2 的方程为 2 2 2 2 A x + B y + + C z D = 0, 两平面的夹角为θ，则