互为Hilbert变换对的正交小波构造及其应用.pdf

D0I:10.13374/1.issnl00103.2008.04.046 第30卷第4期北京科技大学学报 Vol.30 No.4 2008年4月 Journal of University of Science and Technology Beijing Apr.2008 互为lilbert变换对的正交小波构造及其应用陈志新徐金梧杨德斌北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要提出一种互为Hilbert变换对的小波代数构造方法，这种互为Hilbert变换对的小波基的构造是从构造小波的充要条件入手，利用延迟滤波器的思想，把问题化为代数方程组求解.该方法可以避免进行谱分解·经实验证实：由基于本文构造的小波对的对偶树复小波变换可以得到比离散小波变换更好的特征提取效果· 关键词小波构造；Hilbert变换对；对偶树复小波变换：滤波器：故障诊断分类号TH165+.3:TN911.7 Design and application of Hilbert transform pairs of wavelet bases CHEN Zhixin,XU Jinwu,YANG Debin School of Mechanical Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACT A method for designing Hilbert transform pairs of orthogonal and biorthogonal wavelet bases was proposed,which can translate the problem into resolving algebraic equations via a flat fractional delay filter based on the sufficient and necessary condition for constructing wavelet.It avoids performing spectral factorization.Experiments show that the dual-tree complex wavelet transform (DT-CWT)based on the wavelet bases constructed by this method can more fit to extract features than the real discrete wavelet transform (DWT). KEY WORDS wavelet construction:Hilbert transform pairs:dual-tree complex wavelet transform:filter:fault diagnosis 离散小波变换(real discrete wavelet transform, 良好的方向选择性；完全重构特性：有限的冗余度， DWT)功能强大，应用广泛，但由于具有以下缺陷而其冗余性与分解的尺度无关，对m维的信号存在阻碍着它的进一步应用：(1)不具有平移不变性；(2) 2m倍的冗余；较小的计算量，对m维的信号其计算方向选择性差，采用多孔算法进行非下采样的小波量是原DWT的2m倍. 变换可以解决不具有平移不变性的缺点，然而这样近年来很多研究者提出，可以同时采用两个互做会导致计算量的急剧增加，且使得输出信息存在为Hilbert变换的小波对处理信号，通过两个不同系很大的冗余，给后续处理带来冗余计算统的综合信息来更有效地表示信号中各向异性的奇复数小波在给变换带来一定冗余的同时可以克异性.DT-CWT中实际上就用到了两个互为服上面的问题，但是超过一层分解的复数小波变换 Hilbert变换的小波对，的输入是复数形式，要构造它的完全重构的逆滤波 Selesnick给出了正交小波系统构成Hilbert变器非常困难，为了解决这一问题，Kingsbury提出了换对的必要条件6，并在文献[5,7]中提出了一种对偶树离散复小波变换(dual-tree complex discrete 基于延迟滤波器的构造算法，Ozkaramanli等进一 wavelet transform,DT CWT),它既满足完全重构条步指出Selesnick在文献[6]中给出的必要条件还是件，又保留了复数小波的其他优点，总的来说，它具充分的8].与此同时，Kingsbury从平移不变性的角有以下性质山：近似平移不变性；对多维信号具有度提出了一种DT-CWT结构，并给出了相应的构造算法).王红霞等町也于近期提出了新的互为收稿日期：2006-12-05修回日期：2007-03-31 Hilbert变换对的小波构造方法，取得一定成果基金项目：北京市自然科学基金资助项目(No,3062012) 本文在Selesnick和Kingsbury等研究的基础作者简介：陈志新(1973-)，男，博士研究生：徐金梧(1949一)，男，上，结合构成正交小波的充要条件，提出了构造互为教授，博士生导师，E-mail:jwxu@ustb.edu.cn Hilbert变换对的正交小波的代数构造方法，并指出

互为 Hilbert 变换对的正交小波构造及其应用陈志新徐金梧杨德斌北京科技大学机械工程学院北京100083 摘要提出一种互为 Hilbert 变换对的小波代数构造方法．这种互为 Hilbert 变换对的小波基的构造是从构造小波的充要条件入手利用延迟滤波器的思想把问题化为代数方程组求解．该方法可以避免进行谱分解．经实验证实：由基于本文构造的小波对的对偶树复小波变换可以得到比离散小波变换更好的特征提取效果．关键词小波构造；Hilbert 变换对；对偶树复小波变换；滤波器；故障诊断分类号 T H165＋∙3；T N911∙7 Design and application of Hilbert transform pairs of wavelet bases CHEN ZhixinXU Jinw uY A NG Debin School of Mechanical EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT A method for designing Hilbert transform pairs of orthogonal and biorthogonal wavelet bases was proposedwhich can translate the problem into resolving algebraic equations via a flat fractional delay filter based on the sufficient and necessary condition for constructing wavelet．It avoids performing spectral factorization．Experiments show that the dua-l tree complex wavelet transform （DT－CWT） based on the wavelet bases constructed by this method can more fit to extract features than the real discrete wavelet transform （DWT）． KEY WORDS wavelet construction；Hilbert transform pairs；dua-l tree complex wavelet transform；filter；fault diagnosis 收稿日期：2006-12-05 修回日期：2007-03-31 基金项目：北京市自然科学基金资助项目（No．3062012）作者简介：陈志新（1973－）男博士研究生；徐金梧（1949－）男教授博士生导师E-mail：jwxu＠ustb．edu．cn 离散小波变换（real discrete wavelet transform DWT）功能强大应用广泛但由于具有以下缺陷而阻碍着它的进一步应用：（1）不具有平移不变性；（2）方向选择性差．采用多孔算法进行非下采样的小波变换可以解决不具有平移不变性的缺点然而这样做会导致计算量的急剧增加且使得输出信息存在很大的冗余给后续处理带来冗余计算．复数小波在给变换带来一定冗余的同时可以克服上面的问题．但是超过一层分解的复数小波变换的输入是复数形式要构造它的完全重构的逆滤波器非常困难．为了解决这一问题Kingsbury 提出了对偶树离散复小波变换（dua-l tree complex discrete wavelet transformDT－CWT）它既满足完全重构条件又保留了复数小波的其他优点．总的来说它具有以下性质［1］：近似平移不变性；对多维信号具有良好的方向选择性；完全重构特性；有限的冗余度其冗余性与分解的尺度无关对 m 维的信号存在 2m 倍的冗余；较小的计算量对 m 维的信号其计算量是原 DWT 的2m 倍．近年来很多研究者提出可以同时采用两个互为 Hilbert 变换的小波对处理信号通过两个不同系统的综合信息来更有效地表示信号中各向异性的奇异性［2－4］．DT－CWT 中实际上就用到了两个互为 Hilbert 变换的小波对［5］． Selesnick 给出了正交小波系统构成 Hilbert 变换对的必要条件［6］并在文献［57］中提出了一种基于延迟滤波器的构造算法．Ozkaramanli 等进一步指出 Selesnick 在文献［6］中给出的必要条件还是充分的［8］．与此同时Kingsbury 从平移不变性的角度提出了一种 DT－CWT 结构并给出了相应的构造算法［2］．王红霞等［9］也于近期提出了新的互为 Hilbert 变换对的小波构造方法取得一定成果．本文在 Selesnick 和 Kingsbury 等研究的基础上结合构成正交小波的充要条件提出了构造互为 Hilbert 变换对的正交小波的代数构造方法并指出第30卷第4期 2008年 4月北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．4 Apr．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．04．046

第4期陈志新等：互为Hilbert变换对的正交小波构造及其应用 .447. 构造互为Hilbert变换对的双正交小波也可以用类那么，似的方法， )= h(2-Pω) 2 1基于延迟滤波器的构造方法是某个尺度函数∈L2()的傅里叶变换，其中，文献[6]指出：如果Ho(ω)和G0(ω)是两个共 h(ω)= 艺 h[n]ein 轭正交的低通滤波器组，并且满足该定理1说明，任何尺度函数都被一个叫“共轭 Go(ω)=Ho(ω)e ,wl<π，镜像滤波器”的离散滤波器所确定，传递函数满足那么它们所对应的小波互相形成Hilbert变换对，即式(3)的离散滤波器叫共轭镜像滤波器. 9,(t)=H{中(t)l, 若中为正交尺度函数，h={ho,h,…,hx}是则相应的小波滤波器go(n)与ho(n)相差半个采样对应中的双尺度方程的滤波器，则构造正交小波时的延迟 h应满足以下方程：为了构造这样的两个正交的小波对，设它们的之hkhk+2m=δ (5) 低通尺度滤波器有如下形式： ∑h=2 (6) Ho(z)=F(z)D(z) (1) 其中，当n=0时，6=1；当n≠0时，6=0. Go(z)=F(z)zD(1/2) (2) 定理2山：设”和中是生成一组正交基的小波其中，滤波器D(z)是能够获得（或近似获得）半个和尺度函数.设|9(t)=o[(1+2)p2-1]且采样延迟的分数延迟滤波器， |(t)=o[(1+t)-p2-1],则下面四条等价：文献[l0]提出了一种有t个采样延迟的Thiran (1)小波9有p阶消失矩：延迟滤波器D(z): (2)P(ω)和它的前p一1阶导数在ω=0处 D(z)=1+ d(n)z, 为零； n=1 其中， (3)h(w)和它的前p一1阶导数在w=π处为零； d(n)=(-1)" L(L)n (4)对任意0≤k<p,q(t)= L为分数延迟度（与滤波器长度有关）；τ为采样延是一个k阶的多项式迟数，此处取=1/2 由该定理2可以得到2]：在此基础上，文献[7]提出了基于延迟滤波器和 ho-h1+h2-.+(-1)hw=0 (7) 谱分解的互为Hilbert变换对的小波构造方法 h1-2h2十…十(-1)N-1Nhw=0,0<k<p 2互为Hilbert变换对的正交小波的代数构 (8) 造方法联立式(5)一(8)，得到构造有限正交小波滤波根据Selesnick提出的小波互为Hilbert变换对器的代数方法.通过解以上方程组得到滤波器h= 的思想，本文结合构成正交小波的充要条件，提出构 ho,h1,,hx},然后，按下式：造互为Hilbert变换对的正交小波的代数构造方法， ()=1+s 定理1：设$∈L2()是一可积的尺度函数，、2 Fo(ei) (9) 那么h[n]=(2-/2(/2),(t-n》的傅里叶级求出|Fo(e)|在ω=0~2π范围内的上界值，如果数满足它小于等于2一1，则即为所求滤波器2] Hω∈B,|h(w)l2+|h(w+x)l2=2(3) 联立式（⑤）~(9)即得到构造正交小波的充要条件.再结合式(l)和(2)，本文提出的互为Hilbert变和换对的正交小波的代数构造方法步骤如下： h(0)=2 (4) (1)设定消失矩阶数K,滤波器延迟度L· 反之，如果h(ω)以2π为周期，在ω=0的某邻域内 (2)求解分数延迟滤波器，得D(z)· 连续可微，满足式(3)和(4)，且 (3)设F(z)为ix1,x2,,xN},其中N= eg()>0, 2K+2:并分别求出F(z)D(z)、F(z)ZD(1/:)

构造互为 Hilbert 变换对的双正交小波也可以用类似的方法． 1 基于延迟滤波器的构造方法文献［6］指出：如果 H0（ω）和 G0（ω）是两个共轭正交的低通滤波器组并且满足 G0（ω）＝ H0（ω）e －i ω 2 ｜ω｜＜π 那么它们所对应的小波互相形成 Hilbert 变换对即 ψg（ t）＝ H｛ψh（ t）｝则相应的小波滤波器 g0（ n）与 h0（ n）相差半个采样的延迟．为了构造这样的两个正交的小波对设它们的低通尺度滤波器有如下形式： H0（ z ）＝F（ z ） D（ z ）（1） G0（ z ）＝F（ z ） z － L D（1／z ）（2）其中滤波器 D（ z ）是能够获得（或近似获得）半个采样延迟的分数延迟滤波器．文献［10］提出了一种有 τ个采样延迟的Thiran 延迟滤波器 D（ z ）： D（ z ）＝1＋ ∑ L n＝1 d（ n） z － n 其中 d（ n）＝（－1） n L n （τ－ L） n （τ＋1） n L 为分数延迟度（与滤波器长度有关）；τ为采样延迟数此处取 τ＝1／2．在此基础上文献［7］提出了基于延迟滤波器和谱分解的互为 Hilbert 变换对的小波构造方法． 2 互为 Hilbert 变换对的正交小波的代数构造方法根据 Selesnick 提出的小波互为 Hilbert 变换对的思想本文结合构成正交小波的充要条件提出构造互为 Hilbert 变换对的正交小波的代数构造方法．定理1［11］：设●∈ L 2（ R）是一可积的尺度函数那么 h ［ n ］＝〈2－1／2●（ t／2）●（ t－ n）〉的傅里叶级数满足 ∀ω∈ R｜h ＾（ω）｜2＋｜h ＾（ω＋π）｜2＝2 （3）和 h ＾（0）＝ 2 （4）反之如果 h ＾（ω）以2π为周期在 ω＝0的某邻域内连续可微满足式（3）和（4）且 inf ω∈［－π／2π／2］｜h ＾（ω）｜＞0 那么 ● ＾（ω）＝ ∏ ＋∞ p＝1 h ＾（2－pω） 2 是某个尺度函数 ●∈ L 2（ R）的傅里叶变换．其中 h ＾（ω）＝ ∑ ＋∞ n＝－∞ h［ n］e －i nω．该定理1说明任何尺度函数都被一个叫“共轭镜像滤波器”的离散滤波器所确定．传递函数满足式（3）的离散滤波器叫共轭镜像滤波器．若 ●为正交尺度函数h＝｛h0h1…hN｝是对应 ●的双尺度方程的滤波器则构造正交小波时 h 应满足以下方程： ∑k hkhk＋2n＝δ （5） ∑k hk＝ 2 （6）其中当 n＝0时δ＝1；当 n≠0时δ＝0．定理2［11］：设 φ和●是生成一组正交基的小波和尺度函数．设｜φ（ t）｜＝ o ［（1＋ t 2）－p／2－1］且｜●（ t）｜＝o［（1＋t 2）－p／2－1］则下面四条等价：（1）小波 φ有 p 阶消失矩；（2） φ ＾（ω）和它的前 p －1阶导数在 ω＝0处为零；（3） h ＾（ω）和它的前 p －1阶导数在 ω＝π处为零；（4）对任意0≤k＜ pqk（ t）＝ ∑ ＋∞ n＝－∞ n k●（ t－ n）是一个 k 阶的多项式．由该定理2可以得到［12］： h0－h1＋h2－…＋（－1） N hN＝0 （7） h1－2k h2＋…＋（－1） N－1 N k hN＝00＜k＜ p （8）联立式（5）～（8）得到构造有限正交小波滤波器的代数方法．通过解以上方程组得到滤波器 h＝｛h0h1…hN｝然后按下式： h ＾（ω）＝ 2 1＋e －iω 2 p F0（e iω）（9）求出｜F0（e iω ）｜在 ω＝0～2π范围内的上界值如果它小于等于2p－1则即为所求滤波器［12］．联立式（5）～（9）即得到构造正交小波的充要条件．再结合式（1）和（2）本文提出的互为 Hilbert 变换对的正交小波的代数构造方法步骤如下：（1）设定消失矩阶数 K滤波器延迟度 L．（2）求解分数延迟滤波器得 D（ z ）．（3）设 F （ z ）为｛x1x2…x N｝其中 N＝ 2K＋2；并分别求出 F（ z ） D（ z ）、F（ z ） Z － LD（1／z ）第4期陈志新等：互为 Hilbert 变换对的正交小波构造及其应用 ·447·

.448 北京科技大学学报第30卷的表达式h(n)、g(n) 表1长度分别为12和14的正交尺度滤波器对 (4)求解方程组(5)~(9)，得F(z) Table 1 Two orthogonal scaling filter pairs whose lengths are 12 and 14 (5)F(z)D(z)、F(z)ZD(1/z)即为所求. 当延迟滤波器长度为3时，步骤(3)和(4)中会 n=12 n=14 产生方程数总是比未知变量数多4的问题，由于表 hi 9 少 gi 0 -0.0067 -0.0013 0.0167 达式h(n)、g(n)的对称性，由g(n)得到的方程 0.0033 0.0033 -0.0100 0.0432 0.0353 (5)~(7)这四个方程（式(5）代表两个方程)总是与 2 0.0408 0.0285 -0.0419 0.0235 h(n)的相应方程完全相同，因而步骤(4)总是可以 3 -0.0843 0.0132 -0.1157 -0.1177 得到确定解 -0.2082 -0.2014 0.2763 0.0128 用类似方法可以构造互为Hilbert变换对的双 5 0.2631 -0.0478 0.7748 0.5898 正交小波，此时构造步骤基本等同于上述正交小波 6 0.7859 0.6111 0.5448 0.7526 的构造过程，只是将其中的步骤(4)改为求解满足双 7 0.5054 0.7234 0.0103 0.2432 8 0.0655 -0.0946 正交小波的方程组， 0.2408 -0.0905 9 0.0165 0.0135 -0.0117 -0.0488 3构造实例 10 0.0297 0.0294 -0.0011 -0.0025 11 0.0030 0.0149 0.0054 0.0019 根据以上步骤，用本文方法构造了两个长度分 12 0.0070 0.0079 别为12和14的正交尺度滤波器对h、9如表1，其 13 0.0007 0.0034 对应的互为Hilbert变换对的正交小波如图l. 注：表中n代表滤波器长度 0.25 0.25 (a) (b) 一() -中.() 0.15 0.15 0.05 0.05 0.05 0.05 0.15 0.15 0.250 50100150200250300350 0250 50100150200250300350 时间A 时间【图1表1所对应的互为Hilbert变换对的正交小波.(a)n=12:(b)n=14 Fig.I Two orthogonal wavelets formed an approximate Hilbert transform pair corresponding to Table 1:(a)n=12:(b)n=14 4仿真实验 Selesnick方法是指用文献[T]构造的互为Hilbert变换对的小波经DT-CWT分解得到的，各种方法降对两个仿真的Heavisine信号和Doppler信号进噪后的信噪比见表2.由此仿真实验结果表明：DT一行降噪处理，以验证本文构造的小波的有效性，在 CWT可以得到比DWT更好的降噪效果，而用基于图2和图3中本文方法是指用本文构造的互为本文构造的小波对的DT-CWT比用Selesnick方法 Hilbert变换对的小波经DT一CWT分解得到的，可以得到更高的信噪比表2各种方法降噪后的信噪比 Table 2 SNR resulted by the different denoising methods dB 信号原始信号小波包降噪信号小波降噪信号 Selesnick方法降噪信号本文方法降噪信号 Heavisine信号 14.1109 25.2365 25.0634 26.0257 26.1540 Doppler信号 13.8965 17.8485 21.7382 21.8251 21.9339

的表达式 h（ n）、g（ n）．（4）求解方程组（5）～（9）得 F（ z ）．（5） F（ z ） D（ z ）、F（ z ）Z － LD（1／z ）即为所求．当延迟滤波器长度为3时步骤（3）和（4）中会产生方程数总是比未知变量数多4的问题．由于表达式 h（ n）、g （ n）的对称性由 g （ n）得到的方程（5）～（7）这四个方程（式（5）代表两个方程）总是与 h（ n）的相应方程完全相同因而步骤（4）总是可以得到确定解．用类似方法可以构造互为 Hilbert 变换对的双正交小波此时构造步骤基本等同于上述正交小波的构造过程只是将其中的步骤（4）改为求解满足双正交小波的方程组． 3 构造实例根据以上步骤用本文方法构造了两个长度分别为12和14的正交尺度滤波器对 h、g 如表1其对应的互为 Hilbert 变换对的正交小波如图1．表1 长度分别为12和14的正交尺度滤波器对 Table1 Two orthogonal scaling filter pairs whose lengths are12and 14 i n＝12 n＝14 hi gi hi gi 0 －0∙0067 －0∙0013 0∙0167 0∙0033 1 0∙0033 －0∙0100 0∙0432 0∙0353 2 0∙0408 0∙0285 －0∙0419 0∙0235 3 －0∙0843 0∙0132 －0∙1157 －0∙1177 4 －0∙2082 －0∙2014 0∙2763 0∙0128 5 0∙2631 －0∙0478 0∙7748 0∙5898 6 0∙7859 0∙6111 0∙5448 0∙7526 7 0∙5054 0∙7234 0∙0103 0∙2432 8 0∙0655 0∙2408 －0∙0946 －0∙0905 9 0∙0165 0∙0135 －0∙0117 －0∙0488 10 0∙0297 0∙0294 －0∙0011 －0∙0025 11 0∙0030 0∙0149 0∙0054 0∙0019 12 －－ 0∙0070 0∙0079 13 －－ 0∙0007 0∙0034 注：表中 n 代表滤波器长度．图1 表1所对应的互为 Hilbert 变换对的正交小波．（a） n＝12；（b） n＝14 Fig．1 Two orthogonal wavelets formed an approximate Hilbert transform pair corresponding to Table1：（a） n＝12；（b） n＝14 4 仿真实验对两个仿真的 Heavisine 信号和 Doppler 信号进行降噪处理以验证本文构造的小波的有效性．在图2和图3中本文方法是指用本文构造的互为 Hilbert 变换对的小波经 DT－CWT 分解得到的 Selesnick方法是指用文献［7］构造的互为 Hilbert 变换对的小波经 DT－CWT 分解得到的．各种方法降噪后的信噪比见表2．由此仿真实验结果表明：DT－ CWT 可以得到比 DWT 更好的降噪效果而用基于本文构造的小波对的 DT－CWT 比用 Selesnick 方法可以得到更高的信噪比．表2 各种方法降噪后的信噪比 Table2 SNR resulted by the different denoising methods dB 信号原始信号小波包降噪信号小波降噪信号 Selesnick 方法降噪信号本文方法降噪信号 Heavisine 信号 14∙1109 25∙2365 25∙0634 26∙0257 26∙1540 Doppler 信号 13∙8965 17∙8485 21∙7382 21∙8251 21∙9339 ·448· 北京科技大学学报第30卷