分布函数的性质 分布函数F具有如下的性质 单调非降性:Vx1<x2,F(x1)≤F(x2) ●左连续性:imx-xo-0F(x)=F(xo) 规范性: F(-∞)limF(x)=0 F(∞)imF(x)=1 注: (1)具有上面三条性质的实函数,必然是某一随机变量的分布 函数 (2)下定义F(x)P(ξ≤x),则分布函数右连续
➅➴❈þ❺➞Ù➻ê ➅➴❈þ✾Ù➞Ù ➅➴➉þ✦➅➴❈þ✛Õá✺ ➅➴❈þ❺➅➴➉þ➻ê✛➞Ù ➞Ù➻ê✛✺➓ ➞Ù➻êFä❦❳❡✛✺➓➭ ü◆➎ü✺: ∀x1 < x2, F(x1) ≤ F(x2)➯ ❺ë❨✺➭limx→x0−0 F(x) = F(x0)➯ ✺❽✺➭ F(−∞) , lim x→−∞ F(x) = 0 F(∞) , limx→∞ F(x) = 1 ✺➭ ↔1↕ä❦þ→♥❫✺➓✛➣➻ê➜✼✱➫✱➌➅➴❈þ✛➞Ù ➻ê✧ ↔2↕❡➼➶F(x) , P(ξ ≤ x)➜❑➞Ù➻ê♠ë❨✧ Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿
明 显然,Vx1<x2有 {5<x1}c{5<x2} 由概率的单调性得分;函数的单调性。其次, Vin f ao有 Is<In)t Uis <In)=(5 < zoh 由概率的下连续性得 lim F(an)= F(o) 即左连续性 最后由{<-n}1,{5<m}↑9和概率的上下连续性可分别得 lim F(n)=0, lim F(n)=1 再由分其函数的单调性得规范性
➅➴❈þ❺➞Ù➻ê ➅➴❈þ✾Ù➞Ù ➅➴➉þ✦➅➴❈þ✛Õá✺ ➅➴❈þ❺➅➴➉þ➻ê✛➞Ù ②➨ ✇✱➜∀x1 < x2❦ {ξ < x1} ⊂ {ξ < x2} ❞❱➬✛ü◆✺✚➞Ù➻ê✛ü◆✺✧Ù❣➜∀xn ↑ x0❦ {ξ < xn} ↑ [ n {ξ < xn} = {ξ < x0} ❞❱➬✛❡ë❨✺✚ limn→∞ F(xn) = F(x0) ❂❺ë❨✺✧ ⑩❞{ξ < −n} ↓ ∅➜{ξ < n} ↑ ΩÚ❱➬✛þ❡ë❨✺➀➞❖✚ limn→∞ F(−n) = 0, limn→∞ F(n) = 1 ✷❞➞Ù➻ê✛ü◆✺✚✺❽✺✧ Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿
利用分布函数计算事件的概率 P(=x)=F(x+0)-F(x) P(≤x)=F(x+0) P(>x)=1-F(x+0) P(a≤5<b)=F(b)-F(a)
➅➴❈þ❺➞Ù➻ê ➅➴❈þ✾Ù➞Ù ➅➴➉þ✦➅➴❈þ✛Õá✺ ➅➴❈þ❺➅➴➉þ➻ê✛➞Ù ⑤❫➞Ù➻ê❖➂➥❻✛❱➬ P (ξ = x) = F (x + 0) − F (x) P (ξ ≤ x) = F (x + 0) P (ξ > x) = 1 − F (x + 0) P (a ≤ ξ < b) = F (b) − F (a) Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿
离散型随机变量 (a)特征:若随机变量Ⅹ可能取值的个数为有限个或可列个, 则称Ⅹ为离散随机变量 (b)分布列 设离散随机变量Ⅹ的可能取值为: 称p1=P(X=x),=1,2 为X的分布列 分布列也可用表格形式表示 X P1 P2 分布函数 F(x)=∑mk,V∈R
➅➴❈þ❺➞Ù➻ê ➅➴❈þ✾Ù➞Ù ➅➴➉þ✦➅➴❈þ✛Õá✺ ➅➴❈þ❺➅➴➉þ➻ê✛➞Ù ❧Ñ✳➅➴❈þ ↔a↕❆✍:❡➅➴❈þX ➀❯✒❾✛❻ê➃❦⑩❻➼➀✎❻➜ ❑→X ➃❧Ñ➅➴❈þ. ↔b↕➞Ù✎ ✗❧Ñ➅➴❈þX ✛➀❯✒❾➃➭ x1, x2, . . . . . . , xn, . . . . . . →pi = P(X = xi), i = 1, 2, . . . . . .➃X ✛➞Ù✎ ➞Ù✎➃➀❫▲❶✴➟▲➠: X x1 x2 . . . xn . . . P p1 p2 . . . pn . . . ➞Ù➻ê➭ F(x) = X k:xk<x pk, ∀x ∈ R Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿
布列的特征性质 1)p≥0,(非负性) (2)∑;P=1.(正题性) 一个随机变上即描述了一个概率空间 求离散随机变上的分其列应注意 △确定随机变上的所有可能取值; △计算每个取值的概率
➅➴❈þ❺➞Ù➻ê ➅➴❈þ✾Ù➞Ù ➅➴➉þ✦➅➴❈þ✛Õá✺ ➅➴❈þ❺➅➴➉þ➻ê✛➞Ù Ù✎✛❆✍✺➓ (1) pi ≥ 0, (➎❑✺) (2) P i pi = 1. (✔❑✺) ➌❻➅➴❈þ❂↔ã✡➌❻❱➬➌♠ ➛❧Ñ➅➴❈þ✛➞Ù✎❆✺➾: 4 ✭➼➅➴❈þ✛↕❦➀❯✒❾; 4 ❖➂③❻✒❾✿✛❱➬. Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿