三维图显示了波函数如何随角度变量0和β变化。对于s轨道，波函数与0和β无关，仅取决于离核的半径r，故可以说s轨道具有球对称性。函数值更曲面表示了一个特定的小的等值面波函数值--等值面函数值更大的等值面尝试显示波函数值在不同位置如何变化的一种方法是绘制给定平面上穿过轨道的的切面图，等高线图将具有相同波函数值的区域连接起来。Wone值沿箭头方向减小13212135nucleus等值线上所有点的波函数值相等另一种表示波函数的方法是密度图。在这里，区域颜色越深，中值越大找到电子的概率α越黑的区域越有更高的概率找到电子最后，另一种常用的表示轨道的方法是画一张径向分布图，画出在距离原子核一定距离r处的电子密度（对所有角度部分积分）。这个函数被称为径向分布函数（RDF），其物理意义为在一个距离核的半径为r的薄壳上的电子密度总和。显然，这个壳层的体积随着r的增加而增加，因为其面积4元亦随r的增大而明显增大。则有RDF=[R(r)×4元i.e.[R(r)]×球面的面积10
y z x y y z x r 1 r 2 r 2 r 3 r 3 r 1 r 2 r 1 r 2 r 3 wavefunction nucleus 8 率找到电子 10 ψ函数值更 小的等值面 ψ函数值更大 的等值面 曲面表示了一个特定的 波函数值-等值面 y ψ ψ值沿箭头方向减小 r 3 等值线上所有点的波函数值相等 找到电子的概率 ψ 2 越黑的区域越有更高的概 最后，另一种常用的表示轨道的方法是画一张径向分布图，画出在距离原子核一定距离 r处的电子密度（对所有角度部分积分）。这个函数被称为径向分布函数(RDF),其物理 意义为在一个距离核的半径为r的薄壳上的电子密度总和。显然，这个壳层的体积 随着r的增加而增加，因为其面积4πr 2亦随r的增大而明显增大。则有 RDF = [R(r)]2 × 4πr 2 i.e. [R(r)]2×球面的面积 三维图显示了波函数如何随角度变量θ和φ变化。对于s轨道，波函数与θ和φ无关，仅 取决于离核的半径r，故可以说s轨道具有球 对称性。 尝试显示波函数值在不同位置如何变化的一种方法是绘制给定平面上穿过轨道的的切面 图，等高线图将具有相同波函数值的区域连接起来。 x 另一种表示波函数的方法是密度图。在这里，区域颜色越深，ψ值越大
下面的图表显示了1s轨道的波函数和RDFr/Bohr radiir/Bohr radi32322与r2的乘积由于r2的影响，从0开始递e增，然后达到最大值，最后由于指数项的快速下降而下降0-0500501001502002501001502002500r/pmr/pm径向分布函数和W2具有不同的意义。RDF告诉我们在给定半径上找到电子的概率，是对所有角度求积分的结果，而2告诉我们在给定坐标的点上找到电子的概率(由r、e、或x、y、z定义)zRDE给出了在距离原子核半径为r、厚度为Sr的薄壳中发现电子or的概率?给出了在x,y,z位置的体积微元v（或在r，，Φ位置）中发现电子的概率。Note:。对于1s来讲，W?最大的位置位于原子核，故这是在体积微元内找到电子概率最大的位置。玻尔半径ao是一个半径（薄球壳），在此处找到电子的概率最大。。由于r2项的存在，径向分布函数在核处为零。（本质上，在r=0处，我们在零体积壳层中寻找电子)11
50 0 0 54321 0 100 150 200 250 wavefunction r / pm r / Bohr radii 50 0 54321 0 100 150 200 250 RDF r / pm r / Bohr radii 1s r 2 x y z δr 下面的图表显示了1s轨道的波函数和RDF ψ2与r 2的乘积由于r 2 的影响，从0开始递 增，然后达到最大 值，最后由于指数项 的快速下降而下降 径向分布函数和ψ2具有不同的意义。RDF告诉我们在给定半径上找到电子的概率，是对 所有角度求积分的结果，而ψ2告诉我们在给定坐标的点上找到电子的概率(由r、θ、φ 或x、y、z定义) RDF给出了在距离原 子核半径为r、厚度为 δr的薄壳中发现电子 的概率 Note: •对于1s来讲，ψ2最大的位置位于原子核，故这是在体积微元内找到电子概率最大的 位置 • 玻尔半径a0是一个半径（薄球壳），在此处找到电子的概率最大。 • 由于r 2项的存在，径向分布函数在核处为零。(本质上，在r = 0处，我们在零体积 壳层中寻找电子) 11 ψ2给出了在x, y, z位置的体 积微元δv(或在r，θ，φ位置) 中发现电子的概率
2s轨道s轨道的波函数都不包含θ和β项，的值仅取决于到离核的距离r。因此，所有的s轨道都具有相同的形状，都是球形的。然而，每个s轨道的波函数都是唯一的，而且每个轨道都有非常不同的外观。2s轨道的波函数和RDF如下图在这个半径上找到电子的概率最大O径向节点radial nodeO061261224810b810r/Bohrradiir/ Bohr radii注意，波函数的符号（或相位）可以是正的或负的。我们稍后将看到这为何重要，但当我们考虑电子在哪里时，这并不重要，因为找到电子的概率与波函数的平方成正比。然而，当波函数从正变为负，穿过x轴时，存在一个波函数值为0的点，这样的位置称为节点（更精确的说是径向节点）。这在下面显示的密度图中也清晰可见。径向节点在这个距离有概率找到电子不过在这个位置具有更大的概率找到电子[注意节点是一个没有体积的数学曲面。讲在任何没有体积的空间中找到电子的概率是没有意义的。一日我们通过指定一个具有微小厚度的壳层来指定体积，那么在该壳层中找到电子就有很小的机会。112
wavefunction r / Bohr radii r / Bohr radii RDF 0 0 0 12108642 121086420 2s 径向节点 2s radial node 在这个半径上找到电 子的概率最大 径向节点 在这个距离有概率找到电子 不过在这个位置具有更大的概 率找到电子 12 2s轨道 s轨道的波函数都不包含θ和φ项，ψ的值仅取决于到离核的距离r。因此，所有的s 轨道都具有相同的形状，都是球形的。 然而，每个s轨道的波函数都是唯一的，而且每个轨道都有非常不同的外观。2s轨 道的波函数和RDF如下图 注意，波函数的符号(或相位)可以是正的或负的。我们稍后将看到这为何重要，但 当我们考虑电子在哪里时，这并不重要，因为找到电子的概率与波函数的平方成正比。 然而，当波函数从正变为负，穿过x轴时，存在一个波函数值为0的点，这样的位置称为 节点（更精确的说是径向节点）。这在下面显示的密度图中也清晰可见。 [注意节点是一个没有体积的数学曲面。讲在任何没有体积的空间中找到电子的概率是 没有意义的。一旦我们通过指定一个具有微小厚度的壳层来指定体积，那么在该壳层中 找到电子就有很小的机会。]
2p轨道2p轨道的径向部分不依赖于m的值，故2px2py2pz的径向部分相同。无径向节点RDFR(r)6810124r/Bohrradii2p轨道的角度部分依赖于m的值，这决定了轨道的取向，如下列三维轮廓图所示。所有的p轨道都有角度节点2px2py2pzΦ= 000 = 90°节点：Φ=90°xy平面例如：yz 节平面Xz平面ofromx-axisafrom z-axis角度节点13
x y z 2px x y z 2py x y z 2pz φ = 0o xz 平面 φ from x-axis θ from z-axis θ = 90o xy 平面 节点：φ= 90o 例如：yz 节平面 角度节点 13 2p 轨道 2p轨道的径向部分不依赖于ml的值，故2px 2py 2pz的径向部分相同。 无径向节点 RDF R(r) 0 0 2 4 6 8 10 12 r / Bohr radii 2p轨道的角度部分依赖于ml的值，这决定了轨道的取向，如下列三维轮廓图 所示。 所有的p轨道都有角度节点
3s轨道3s轨道的径向部分有两个径向节点。R(n)RDF124681012141618202224262830r/ Bohr radi径向节点radialnodes3p轨道除了所有p轨道共有的角度节点外，3p轨道还有一个径向节点。3p轨道有1个径向节点RDFR(r)26283010141618202224r/Bohrradii3p轨道的径向节点和角度节点可在三维轮廓图和密度图中充分展示出来。角度节点径向节点14
R(r) RDF r / Bohr radii 0 2 4 6 8 10 12 18 201614 22 24 26 3028 径向节点 radial nodes R(r) r / Bohr radii 0 0 2 3028262422201816141210864 角度节点 径向节点 14 3s 轨道 3s轨道的径向部分有两个径向节点。 3p 轨道 除了所有p轨道共有的角度节点外，3p轨道还有一个径向节点。 3p轨道 有1个径向节点 RDF 3p轨道的径向节点和角度节点可在三维轮廓图和密度图中充分展示出来