3d轨道五个3d轨道的径向部分是相同的，但角度部分取决于m的值，决定了轨道的取向。径向分布函数没有径向节点RDFR(r)8101226283034141618202224r/Bohrradii角度节点(节平面）3dxy3dxz3dyz节锥0=54.7Q2nd节锥=125.3g3dx2-y23dz2每个d轨道有两个角度节点。除了dz之外的所有轨道角度节点都是平面，对于dz2，角度节点是锥形的。15
R(r) 径向分布函数 RDF r / Bohr radii 0 2 864 10 30282624222018161412 x yy x y x z z z 3dxy 3dxz 3dyz x x y y z z 3dx2-y2 3dz2 θ 没有径向节点 节锥 θ= 54.7o 2nd 节锥 θ= 125.3o 角度节点 (节平面) 15 3d 轨道 五个3d轨道的径向部分是相同的，但角度部分取决于ml的值，决定了轨道的取向。 每个d轨道有两个角度节点。除了dz2之外的所有轨道角度节点都是平面，对于dz2，角 度节点是锥形的
下图是3d轨道的密度图（投影到特定平面）:.13dx2-v2在xy平面上的投影dxy or dxz or dyzCdz2在xz或yz平面上的投影dz2在xy平面上的投影节点（或节面，nodes）氢原子轨道的节点数只取决于主量子数n节点总数=角度节点数+径向节点数=n-1角节点数（angular）=：s轨道的角度节点数为0p轨道的角度节点数为1d轨道的角度节点数为2径向节点数=n-1-116
dx 2-y 2 在xy平面上的投影 dz 2在xz 或 yz 平面上的投影 dz 2 在 xy 平面上的投影 dxy or dxz or dyz 下图是3d轨道的密度图（投影到特定平面） 角度 16 节点总数=角度节点数+径向节点数=n−1 角节点数（angular） = l ： s轨道的角度节点数为0 p轨道的角度节点数为1 d轨道的角度节点数为2 . ∴径向节点数 = n − 1 − l 节点（或节面，nodes) 氢原子轨道的节点数只取决于主量子数n
利用氢原子轨道构造多电子原子虽然可以精确求解单电子体系的薛定谔方程，但对于多电子体系则不行。对于这样的系统，除了原子核和电子之间的吸引力之外，还存在电子之间的排力。正是电子一电子排斥这种额外的复杂性，使得求解多电子系统的薛定谔方程变得不可能。然而，使用轨道近似可以相当好地近似原子中电子的能量。该近似假设，从某个特定电子的角度来看，所有其他电子的效应可以被平均化，从而产生一个以原子核为中心的修正势场。以具有三个电子的锂原子为例。当计算电子1的能量时，我们平均掉其他两个电子的效应。关注这个电子的情况2en想象成Fe.S具有修正核电荷考虑两个电子的平均作用的“类氢”体系轨道近似假设修正后的势场是球对称的并以原子核为中心。这意味着每个电子的波函数具有与氢原子中波函数相同的形式。在上面的例子中，电子2和3被称为屏蔽了原子核对电子1的效应。电子彼此屏蔽的效果究竞如何，取决于它们所处的轨道。例如，锂中的1s电子很好地屏蔽了2s轨道电子所感受到的核电荷。相反，由于2s轨道中的电子平均距离原子核比1s电子更远，它对1s电子所经历的核电荷影响很小。这意味着每个电子所经历的核电荷（即有效核电荷数Zefr）在不同壳层是不同的。在单电子近似下，每个1s电子感受到的核电荷数约为2.7而不是3，两个1s电子更加显著地屏蔽了2s电子，故2s电子的有效核电荷数大约为1.3（Zef（2s）约为1.3）17
3+ e1 - e2 - e3 - x+ e1 - 关注这个电子的情况 想象成 考虑两个电子的平均作用 在单电子近似下，每个1s电子感受到的核电荷数约为2.7而不是3，两个1s电 子更加显著地屏蔽了2s电子，故2s电子的有效核电荷数大约为1.3（Zeff（2s） 约为1.3） 17 利用氢原子轨道构造多电子原子 虽然可以精确求解单电子体系的薛定谔方程，但对于多电子体系则不行。对于这 样的系统，除了原子核和电子之间的吸引力之外，还存在电子之间的排斥力。正是电 子-电子排斥这种额外的复杂性，使得求解多电子系统的薛定谔方程变得不可能。然 而，使用轨道近似可以相当好地近似原子中电子的能量。该近似假设，从某个特定电 子的角度来看，所有其他电子的效应可以被平均化，从而产生一个以原子核为中心的 修正势场。 以具有三个电子的锂原子为例。当计算电子 1 的能量时，我们平均掉其他两个 电子的效应。 具有修正核电荷 的“类氢”体系 轨道近似假设修正后的势场是球对称的并以原子核为中心。这意味着每个电子的波 函数具有与氢原子中波函数相同的形式。 在上面的例子中，电子 2 和 3 被称为屏蔽了原子核对电子 1 的效应。电子彼此屏蔽 的效果究竟如何，取决于它们所处的轨道。例如，锂中的 1s 电子很好地屏蔽了 2s 轨道 电子所感受到的核电荷。相反，由于 2s 轨道中的电子平均距离原子核比 1s 电子更远， 它对 1s 电子所经历的核电荷影响很小。这意味着每个电子所经历的核电荷（即有效核 电荷数Zeff）在不同壳层是不同的
在氢原子中，2s和2p轨道具有相同的能量(3s，3p和3d等也是如此)。从径向分布函数来看，这一点并不明显，但也许不太令人惊。氢原子RDF1s平均距离核更近1s2p2s0.000.10.220.30.40.50.60.70.80.9在多电子体系（例如理原子）中，具有相同主量子数但轨道角量子数不同的轨道不再简并。观察锂的1s、2s和2p轨道的径向分布函数，我们能够理解为什么这种简并性会消失。RDF锂原子注意由于核电荷增加导致的轨道收缩（尤其是1s）1s我们很难确定某个轨道离核的平均距离是多少，但是2s轨道上的电子比2p电子在离原子核更近的地方的概率要大一些。2s2p0.80.00.20.30.40.50.60.70.9 nm811s比2s具有更大的钻穿效应2s轨道被认为穿透1s轨道的程度比2p轨道更大。这意味着它比2p轨道感受到更多的核电荷，这反过来意味着2s轨道中的电子比2p轨道中的电子能量略低。（记住核电荷越大，能量越低：E=-RZ2/n。此外，s轨道的波函数在原子核处都不为零，这与其他轨道形成对比。）18
0.90.80.70.60.50.40.30.20.10.0 RDF 氢原子 1s 2p 2s 0.80.70.60.50.40.30.20.10.0 0.9 nm RDF 1s 2s 2p 1s平均距离核更近 锂原子 是多少，但是2s轨道上的电子比2p 电子在离原子核更近的地方的概率要大一 些。 1s比2s具有更大的钻穿效应 18 在氢原子中，2s和2p轨道具有相同的能量(3s, 3p和3d等也是如此)。从径向分布函数 来看，这一点并不明显，但也许不太令人惊讶。 在多电子体系（例如理原子）中，具有相同主量子数但轨道角量子数不同的轨道不 再简并。观察锂的 1s、2s 和 2p 轨道的径向分布函数，我们能够理解为什么这种简 并性会消失。 注意由于核电荷增加导致的轨道收缩（尤其是 1s） 我们很难确定某个轨道离核的平均距离 2s 轨道被认为穿透 1s 轨道的程度比 2p 轨道更大。这意味着它比 2p 轨道感受到 更多的核电荷，这反过来意味着 2s 轨道中的电子比 2p 轨道中的电子能量略低。(记住 核电荷越大，能量越低：En = -RHZ2 /n2。此外，s 轨道的波函数在原子核处都不为零， 这与其他轨道形成对比。)
在较大的原子中，轨道的钻穿效应可能变得更加显著，以致很难预测轨道的能量顺序。例如，在钾和钙中，4s轨道在3d轨道之前被填充。观察氢的3d和4s轨道的径向分布函数，如果电子在4s轨道上，它离原子核的平均距离更远氢原子RDF3d4s0.00.51.01.52.0然而，在像钾这样的原子中，更大的核电荷会使轨道收缩，4s轨道的钻穿效应很明显以至于4s轨道的能量比3d轨道低。RDF钾原子更强钻穿效应（4s电子）0.00.51.01.52.0多多电子原子中能级的精确排序很快变得复杂且无法预测。对于氢原子，能级顺序为：1s<2s=2p<3s=3p=3d<4s=4p=4d=4fetcie只与n有关对于Li(lithium):1s<<2s<2p <<3s<3p <3d<4s<4p<4d <4f <5setc.发生去简并.顺序主要取决于n但也与1相关对于Na（sodium)：1s<<2s<2p<<3s<3p<4s<3d<4p<5s etc.4s比3d能量低（与电子填充顺序规则符合）对于K(potassium):1s <<2s <2p <<3s<3p <4s<4p<5s<3d etc.4s,4pand5salllowerthan3d对于Cat:1s<<2s<2p<<3s<3p<4s<3d<4p<5setc.对于Sc2+:1s<<2s<2p<<3s<3p<3d<4s<4p<5setc.K,Ca+and Sc2+他们都是等电子的，然而很难预测轨道的排序！19
RDF 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 3d 4s RDF 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 对于Li (lithium): 对于Na (sodium): 4s 比 3d 能量低(与电子填充顺序规则符合) 对于K (potassium): 1s << 2s < 2p << 3s < 3p < 4s < 4p < 5s < 3d etc. 4s, 4p and 5s all lower than 3d 对于 Ca+ : 1s << 2s < 2p << 3s < 3p < 4s < 3d < 4p < 5s etc. 对于Sc2+ : 钾原子 ie 只与 n 有关 1s << 2s < 2p << 3s < 3p < 3d < 4s < 4p < 4d < 4 f < 5s etc. 发生去简并. 顺序主要取决于 n 但也与 l 相关. 1s << 2s < 2p << 3s < 3p < 4s < 3d < 4p < 5s etc. 氢原子 更强钻穿效应 （4s电子） 1s << 2s < 2p << 3s < 3p < 3d < 4s < 4p < 5s etc. K, Ca+ and Sc2+ 他们都是等电子的，然而很难预测轨道的排序！ 19 在较大的原子中，轨道的钻穿效应可能变得更加显著，以致很难预测轨道的能量顺 序。例如，在钾和钙中，4s轨道在3d轨道之前被填充。观察氢的3d和4s轨道的径向分布 函数，如果电子在4s轨道上，它离原子核的平均距离更远 然而，在像钾这样的原子中，更大的核电荷会使轨道收缩，4s轨道的钻穿效应很明 显以至于4s轨道的能量比3d轨道低。 多多电子原子中能级的精确排序很快变得复杂且无法预测。 对于氢原子，能级顺序为：1s < 2s = 2p < 3s = 3p = 3d < 4s = 4p = 4d = 4 f etc