6.1平面图与欧拉公式(补充) 球面与平面 ■1.嵌入曲面 设S是一个给定的曲面,比如平面, 球面等,如果图G能画在曲面S上使得它 的边仅在端点处相交,则称G可嵌入曲面 (embeddable in the surface)so
6.1 平面图与欧拉公式（补充） 一、球面与平面 1. 嵌入曲面 设S是一个给定的曲面，比如平面， 球面等，如果图G能画在曲面S上使得它 的边仅在端点处相交，则称G可嵌入曲面 (embeddable in the surface) S
2.定理6A 图G可嵌入球面S分G可嵌入平 /*证明基于球极平面射影。* /*图嵌入平面与球面是一回事。*
2. 定理6A. 图G可嵌入球面S G可嵌入平 面P。 /*证明基于球极平面射影。*/ /*图嵌入平面与球面是一回事。*/
平面图 ■1边界和度数 )定义6A: 包围每个面的所有边组成的回路组称为该面的 边界ondm,边界的长度称为该面的度egre ofa face)。面R的度记为deg(R)。 ■2)定理6B 平面图G中所有面的度数之和等于边数e的2倍 ∑deg(R,)=2e 其中为G的面数
二、平面图 1 边界和度数 1）定义6A： 包围每个面的所有边组成的回路组称为该面的 边界(boundary)，边界的长度称为该面的 度(degree of a face)。面 R的度记为deg(R) 。 2）定理6B： 平面图 G中所有面的度数之和等于边数 e 的 2 倍: 其中f为 G的面数。1 deg( ) 2 f i i R e
■证明:/*正向推导* n比eeG,e为面R和R的公共边界上的 边时,在计算R和R的度数时各提供次数 1,而当e只在某一个面R的边界上出现时, 它必出现两次,所以在计算R的度数时e 提出的次数为2,于是每条边在eg(R 中,各提供度数2,所以命题成立
证明：/*正向推导*/ e G, e为面 R i 和 Rj (i j)的公共边界上的 边时，在计算 R i 和 Rj的度数时各提供次数 1，而当 e只在某一个面 R的边界上出现时， 它必出现两次，所以在计算 R的度数时 e 提出的次数为 2，于是每条边在 deg(R i ) 中，各提供度数 2，所以命题成立
2极大平面图、极小非平面图 1)定义6B(极大平面图、极小非平面图) 设G为简单平面图,若在G的任意不相邻uv 之间加边{,y),所得图为非平面图,则称G为 极大平面图。 若在非平面图G中任意删除一条边,所得 图为平面图,则称G为小平面图。 Kse均为极大平面图 K,K3都是极小非平面图
2 极大平面图、极小非平面图 1）定义6B（极大平面图、极小非平面图） 设G为简单平面图，若在G的任意不相邻u, v 之间加边(u, v)，所得图为非平面图，则称G为 极大平面图。 若在非平面图G中任意删除一条边，所得 图为平面图，则称G为极小非平面图。 K5-e均为极大平面图 K5, K3,3都是极小非平面图