］本征值独立基矢个数颠倒独立基矢个数2(ji +j2) + 12(ji+ j2)+1-4j2ji + j2,2(ji + j2) +1- 2ji + j2-1,2(j1+ j2) +1-4j2 + 22(ji+j2)+1-2×2ji + j2-2,2(j1 + j2) +1-4j2+4........2(ji + j2) + 1 - 2 ×(2j2)2(ji+j2)+1j1 - j2,独立基矢个数是(4j1 + 2)(2j2 +1) = (2j1 +1)(2j2 +1)经典极限2' +1j'f(2j1 + 1)(2j2 + 1)2j1j2j1,2 》 1j'》1
Ĝ9fRRĜ 下一个子空间的最高态是 |j − 1,j − 1 ! 。因为 ˆ J2 |j − 1,j − 1 ! = j(j − 1)h¯ 2 |j − 1,j − 1 ! , U3X8XRdV 即，|j − 1,j − 1 ! 和 |j,j − 1 ! 属于 ˆ J2 算符的不同本征值的本征矢，所以 |j − 1,j − 1 ! 和 |j,j − 1 ! 正交。从此可得 |j − 1,j − 1 ! = " j2 j1 |j1,j1 − 1 ! |j2,j2 ! − " j1 j |j1,j1 ! |j2,j2 − 1 ! . U3X8XR3V 可验证 # j,j − 1 |j − 1,j − 1 ! = " j1j2 j2 − " j1j2 j2 = 0. U3X8XRNV 在利用角动量降算符 ˆ J−， |j − 1,j − 1 ! J− −→ |j − 1,j − 2 ! J− −→ |j − 1,j − 3 ! ···|j − 1,−j ! J− −→ $ $ $j − 1,−(j − 1) ! . U3X8XkyV 以此类推，我们可以构造与 |j − 1,j − 2 ! 和 |j,j − 2 ! 都正交的态 |j − 2,j − 2 ! ，再 利用角动量降算符就可以得到 j − 2 对应的全部本征态。持续上述操作，直到得到 ˆ J 算符本征值 |j1 − j2| 所对应的全部本征矢为止。 下面我们验证希尔伯特的独立基矢个数。因子化基矢的独立基矢个数是 (2j1 + 1)(2j2 + 1)，所以耦合基矢的对立基矢个数也一定是 (2j1 + 1)(2j2 + 1)。在耦合基矢 中，设 j1 > j2，我们发现总角动量取值和其独立基矢个数是 ˆ J本征值 独立基矢个数 j1 + j2, 2(j1 + j2) + 1 j1 + j2 − 1, 2(j1 + j2) + 1 − 2 j1 + j2 − 2, 2(j1 + j2) + 1 − 2 × 2 . . . . . . j1 − j2, 2(j1 + j2) + 1 − 2 × (2j2) U3X8XkRV 上面共计 (2j2 + 1) 行，对所有独立基矢求和后看的 (2j1 + 1)(2j2 + 1)。例如 ˆ J本征值 独立基矢个数 颠倒独立基矢个数 j1 + j2, 2(j1 + j2) + 1 2(j1 + j2) + 1 − 4j2 j1 + j2 − 1, 2(j1 + j2) + 1 − 2 2(j1 + j2) + 1 − 4j2 + 2 j1 + j2 − 2, 2(j1 + j2) + 1 − 2 × 2 2(j1 + j2) + 1 − 4j2 + 4 . . . . . . . . . j1 − j2, 2(j1 + j2) + 1 − 2 × (2j2) 2(j1 + j2) + 1 U3X8XkkV 1 2 (4j1 + 2)(2j2 + 1) = (2j1 + 1)(2j2 + 1) f = 2j0 + 1 (2j1 + 1)(2j2 + 1) 经典极限 j0 j 2j1j2 0 1 j1,2 1 独⽴基⽮个数是
角动量耦合的经典极限=(Ji+ J2)"= J+ J+ 2JiJ2 cos 0JAJJ=Ji-J总角动量出现在θ－θ十do(图中所示黑色环形带）范围内的几率正比于此环形带的面积dP(0) = A2π(J2 sin0)d61dP(0) = A2πJ2(- cos )= A4πJ2+1dp7dP(0)sin 0d0？归一化的几率密度为2dJ
⻆动量耦合的经典极限 θ J⃗ 2 J⃗ 1 J⃗ = J⃗ 1 + J⃗ 2 J ~2 = ⇣ J ~ 1 + J ~ 2 ⌘2 = J2 1 + J2 2 + 2J1J2 cos ✓ 总⻆动量出现在 (图中所示⿊⾊环形带) 范围内的⼏率正⽐于此环形带的⾯积 ✓ ✓ + d✓ dP(✓) = A2⇡(J2 sin ✓)d✓ dP(✓) = 1 2 归⼀化的⼏率密度为 sin ✓d✓ dP dJ =? 1 = Z dP(✓) = A2⇡J2( cos ✓) 1 +1 = A4⇡J2
角动量耦合的经典极限归一化的几率密度为1dP(0) sin Odo=JAJ1J=Ji--J2=(Ji +J)"= J +J+2J1J2 cosdJ2 = 2JdJ = -2JiJ2 sind0JdJ = -JiJ2 sinde总角动量在(J,J+dJ)范围内的几率是JdPdJ2J1J2
⻆动量耦合的经典极限 θ J ⃗ 2 J ⃗ 1 J ⃗ = J ⃗ 1 + J ⃗ 2 J ~2 = ⇣ J ~ 1 + J ~ 2 ⌘2 = J2 1 + J2 2 + 2J1J2 cos ✓ dP(✓) = 1 2 sin ✓d✓ 归⼀化的⼏率密度为 dJ2 = 2JdJ = 2J1J2 sin ✓d✓ JdJ = J1J2 sin ✓d✓ 总⻆动量在 (J, J + dJ)范围内的⼏率是 dP = J 2J1J2 dJ
自旋1/2的两个粒子的自旋角动量耦合
⾃旋1/2的两个粒⼦的 ⾃旋⻆动量耦合
考虑两个自旋为1/2的粒子组成的系统（例如氢原子中的质子和电子或氮原子中的双电子等）的自旋波函数。设总自旋角动量3=Si+32。体系的希尔伯特空间是H12 = Hext @Hspin @Hext Hepin定义自旋空间的张量积是Hspin = Hspin Hs)spin因为每个自旋1/2粒子的自旋空间维度是2，所以两个粒子的自旋空间维度是4。因子化基矢记号[01;02) =[01>@[02] ,1具体形式如下：十：-2;+),[+;-),I-;+),一:+>22在吃吃表象中，00010001(+;+)+;0000001
ĜefRRĜ 对公式3X8Xk8求导数可得 dJ2 = 2JdJ = −2J1J2 sinθdθ, U3X8XkNV 即 JdJ = −J1J2 sinθdθ. U3X8XjyV 所以，总角动量在 (J,J + dJ) 范围内的几率是 dP = J 2J1J2 dJ. U3X8XjRV 3X8Xk 示例：两个自旋 Rfk 粒子的自旋耦合 考虑两个自旋为 1/2 的粒子组成的系统（例如氢原子中的质子和电子或氦原子 中的双电子等）的自旋波函数。设总自旋角动量 S ⃗ = S ⃗ 1 +S ⃗ 2。体系的希尔伯特空间是 H12 = H1 ext ⊗ H1 spin ⊗ H2 ext ⊗ H2 spin. U3X8XjkV 定义自旋空间的张量积是 Hspin = H1 spin ⊗ H1 spin. U3X8XjjV 因为每个自旋 1/2 粒子的自旋空间维度是 2，所以两个粒子的自旋空间维度是 4。因 子化基矢为 |σ1;σ2⟩ ≡ |σ1⟩⊗|σ2⟩, U3X8Xj9V 具体形式如下： ! |+;+⟩, |+;−⟩, |−;+⟩, |−;−⟩ " . U3X8Xj8V 在 σ1 z ⊗σ2 z 表象中， |+;+⟩ = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 1 0 0 0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ , |+;−⟩ = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 0 1 0 0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ , |−;+⟩ = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 0 0 1 0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ , |−;−⟩ = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 0 0 0 1 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ . U3X8XjeV 一般波函数的混合表示为 ) ) )ψ* = ψ++(⃗ r1, ⃗ r2)|+;+⟩ + ψ+−(⃗ r1, ⃗ r2)|+;−⟩ + ψ−+(⃗ r1, ⃗ r2)|−;+⟩ + ψ−−(⃗ r1, ⃗ r2)|−;−⟩ U3X8XjdV 在上述的因子化基矢中，自旋角动量算符的矩阵表示是 S ˆ 1x = h¯ 2 σ ˆ x ⊗ ˆ I2 = h¯ 2 ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 0 1 1 0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ⊗ ˆ I2 = h¯ 2 ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 0 ˆ I ˆ I 0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠ = h¯ 2 ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 0010 0001 1000 0100 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ , |+; +i ⌘ 1 2 , 1 2 ; 1 2 , 1 2 因⼦化基⽮ |; +i ⌘ 1 2 , 1 2 ; 1 2 , 1 2 记号