⻆角动量量耦合和Clebsch-Gordon系数（讲稿）

两粒子的总自旋(S2,S2)。令[S,M)是$2,Sz的共同本征态,选取力学量完备集是【32/S,M) = S(S +1)t?JS,M)SzIS,M) = Mh|S,M).因为Sz= S1z + S2z)所以S，算符的最大（最小）本征值和相应本征态是11本征态：{+;+Mmax+122T11Mmin本征态：{-;-)-1,22

Ĝ3fRRĜ 两粒⼦的总⾃旋 选取力学量完备集是 { ˆ S ⃗2 ,S ˆ z}。令 |S,M⟩ 是 ˆ S ⃗2 ,S ˆ z 的共同本征态， ˆ S ⃗2 |S,M⟩ = S(S + 1)h¯ 2 |S,M⟩ S ˆ z |S,M⟩ = Mh¯ |S,M⟩. U3X8X9yV 因为 S ˆ z = S ˆ 1z + S ˆ 2z, U3X8X9RV 所以 S ˆ z 算符的最大（最小）本征值和相应本征态是 Mmax = + 1 2 + 1 2 = +1, 本征态, |+;+⟩ Mmin = −1 2 − 1 2 = −1, 本征态, |−;−⟩ U3X8X9kV 将 ˆ S ⃗2 作用在 |+;+⟩ 上就可得到本征值 S- ˆ S ⃗2 |+;+⟩ = ! S ˆ2 1 + S ˆ2 2 + 2S ⃗ 1 · S ⃗ 2 " |+;+⟩ = # 3 4 h¯ 2 + 3 4 h¯ 2 + 2 h¯ 2 h¯ 2 ! σ ˆ 1xσ ˆ 2x + σ ˆ 1yσ ˆ 2y + σ ˆ 1zσ ˆ 2z " $ |+;+⟩ = # 3 2 h¯ 2 + 2 h¯ 2 h¯ 2 $ |+;+⟩ = 2¯h2 |+;+⟩. U3X8X9jV 同理， ˆ S ⃗2 |−;−⟩ = 2¯h2 |−;−⟩, U3X8X99V 这说明，|+;+⟩ 和 |−;−⟩ 都是 ˆ S ⃗2 算符的本征值 S = 1 的本征态。在耦合基矢中可以 表示为 % % % % % 1 2 , 1 2 , 1, 1& 耦合基矢 = % % % % % 1 2 , 1 2 ; 1 2 , 1 2 & 因子化基矢 , % % % % % 1 2 , 1 2 , 1,−1 & 耦合基矢 = % % % % % 1 2 ,−1 2 ; 1 2 ,−1 2 & 因子化基矢 . U3X8X98V 上面的本征方程的矩阵表示是 S ˆ2 |+;+⟩ = h¯ 2 ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 2000 0110 0110 0002 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 1 0 0 0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ = 2¯h2 ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 1 0 0 0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ , S ˆ2 |−;−⟩ = h¯ 2 ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 2000 0110 0110 0002 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 0 0 0 1 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ = 2¯h2 ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 0 0 0 1 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ . U3X8X9eV

将32作用在[+；+）上就可得到本征值S,32 I+;+) = (S2 + S2 + 23i · 32)I+;+)3hh3n22201x02x+01v02u+01z022244hh[2?[;+)1222推导见下页2h2 I+;+).-同理，32 1-;-) = 2h2I-;-),这说明，I+;+》和I-;-）都是2算符的本征值S=1的本征态。在耦合基失中可以表示为11111记号记号2'2'2'22'2耦合基矢因子化基矢[1,j2,J, J2)[j1,J1z;j2,j2z][11.1112'22'-2'2'2/因子化基耦合基12

Ĝ3fRRĜ 选取力学量完备集是 { ˆ S ⃗2 ,Sˆ z}。令 |S,M⟩ 是 ˆ S ⃗2 ,Sˆ z 的共同本征态， ˆ S ⃗2 |S,M⟩ = S(S + 1)h¯ 2 |S,M⟩ Sˆ z |S,M⟩ = Mh¯ |S,M⟩. U3X8X9yV 因为 Sˆ z = Sˆ 1z + Sˆ 2z, U3X8X9RV 所以 Sˆ z 算符的最大（最小）本征值和相应本征态是 Mmax = + 1 2 + 1 2 = +1, 本征态, |+;+⟩ Mmin = −1 2 − 1 2 = −1, 本征态, |−;−⟩ U3X8X9kV 将 ˆ S ⃗2 作用在 |+;+⟩ 上就可得到本征值 S- ˆ S ⃗2 |+;+⟩ = ! Sˆ2 1 + Sˆ2 2 + 2S ⃗ 1 · S ⃗ 2 " |+;+⟩ = # 3 4 h¯ 2 + 3 4 h¯ 2 + 2 h¯ 2 h¯ 2 ! σˆ1xσˆ2x + σˆ1yσˆ2y + σˆ1zσˆ2z " $ |+;+⟩ = # 3 2 h¯ 2 + 2 h¯ 2 h¯ 2 $ |+;+⟩ = 2¯h2 |+;+⟩. U3X8X9jV 同理， ˆ S ⃗2 |−;−⟩ = 2¯h2 |−;−⟩, U3X8X99V 这说明，|+;+⟩ 和 |−;−⟩ 都是 ˆ S ⃗2 算符的本征值 S = 1 的本征态。在耦合基矢中可以 表示为 % % % % % 1 2 , 1 2 , 1, 1& 耦合基矢 = % % % % % 1 2 , 1 2 ; 1 2 , 1 2 & 因子化基矢 , % % % % % 1 2 , 1 2 , 1,−1 & 耦合基矢 = % % % % % 1 2 ,−1 2 ; 1 2 ,−1 2 & 因子化基矢 . U3X8X98V 上面的本征方程的矩阵表示是 Sˆ2 |+;+⟩ = h¯ 2 ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 2000 0110 0110 0002 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 1 0 0 0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ = 2¯h2 ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 1 0 0 0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ , Sˆ2 |−;−⟩ = h¯ 2 ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 2000 0110 0110 0002 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 0 0 0 1 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ = 2¯h2 ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 0 0 0 1 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ . U3X8X9eV ￾ ￾ ￾ ￾ 1 2 , 1 2 , 1, 0 ￾ =? |j1, j2, J, Jzi 记号 |j1, j1z; j2, j2zi 记号 推导⻅下⻚

0()+ +-1000)()=(°)=i-)Ju+1(-) =)()=()=I+)z+00(1)=()=I+)0α [-)(1)=(")=-i+)dy /-)T(,) =-I-)9z1-(Z= 01a02x +01y02y + 01z022|+;+)= [-; -)+(i|-)1)(i|-)2)+[+;+) = [+;+){-; -) = {+;+) +(i{+)1)(iI+)2)+{-;-) = {-;-)

|+i = ✓ 1 0 ◆ |￾i = ✓ 0 1 ◆ ￾x |+i = ✓ 0 1 1 0 ◆ ✓ 1 0 ◆ = ✓ 0 1 ◆ = |￾i ￾y |+i = ✓ 0 ￾i i 0 ◆ ✓ 1 0 ◆ = ✓ 0 i ◆ = i|￾i ￾z |+i = ✓ 1 0 0 ￾1 ◆ ✓ 1 0 ◆ = ✓ 1 0 ◆ = |+i ￾x |￾i = ✓ 0 1 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ = ✓ 1 0 ◆ = |+i ￾y |￾i = ✓ 0 ￾i i 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ = ✓ ￾i 0 ◆ = ￾i|+i ￾z |￾i = ✓ 1 0 0 ￾1 ◆ ✓ 0 1 ◆ = ✓ 0 ￾1 ◆ = ￾ |￾i ⌃ ˆ = ￾1x￾2x + ￾1y￾2y + ￾1z￾2z ⌃ ˆ |+; +i = |￾; ￾i + (i|￾i1)(i|￾i2) + |+; +i = |+; +i ⌃ ˆ |￾; ￾i = |+; +i + (i|+i1)(i|+i2) + |￾; ￾i = |￾; ￾i