第10章定态微扰论 000 现实中大部分物理问题都是无法解析求解的，我们通常采用近似方法来处理。根 据物理实验仪器具体性质，我们可以使用类似于或接近待求解物理问题的已知理论模 型来研究这些不可求解的问题。如果这些理论模型是简单并且可解析求解时，我们可 以将实验设备和已知理论模型之间的差异视作为对已知理论模型的微扰，利用已知理 论模型的解析解来逐级逼近待求解的物理问题，这就是我们下面要讨论的“微扰论”。 对于所研究的量子体系，假设总哈密顿量的薛定谔方程是无法求解的或非常难以得到 精确解。如果总哈密顿算符的各部分具有不同的数量级，其主要部分可以精确求解， 我们便可先略去次要部分，对主要部分求出其薛定谔方程的精确解；再从主要部分的 精确解出发，把略去的次要部分对系统的影响逐级考虑进去，从而得出逐步接近于原 来问题精确解的各级近似解。早在量子力学诞生之前，在经典物理中人们已经采用微 扰论来求解太阳系的多体动力学问题。经典物理中人们经常忽视微扰论，但在量子力 学中微扰论却是占有异常重要的地位。这是因为(1)量子力学中课求解的模型比经 典物理中少很多；(2)量子力学中微扰论更加简单强大。 一般而言，我们可以将总哈密顿量分解为主体和微扰两部分的根据是物理体系中 含有一个无量纲的小参数。主体部分与这个微小参数无关,但微扰部分包含这个小参 数。例如，量子电动力学(Quantum Electrodynamics,简称为QED)就是一个非常 好的范例。QED中的小参数就是精细结构常数a, a=fean 3 (10.0.1) 当a→0也即e→0时，光子和电子是自由粒子，没有相互作用，故而体系课精确 求解。当a≠0时，各种物理量可以展开为a的幂级数。 在创立量子波力学理论之后不久，薛定谔于1926年在另一篇论文里发表了微扰理 论1。在论文中薛定谔特别提到约翰·斯特拉特——第三代瑞利男爵——先前的研 究②。瑞利勋爵曾经在弦的谐振动的微扰研究中得到突破性的结果。微扰理论时常又 被称为瑞利-薛定谔微扰理论。 1. E. Schrodinger, Annalen der Physik, Vierte Folge, Band 80， p. 437(1926). 2. J. W. S. Rayleigh, Theory of Sound, 2nd edition Vol. I, pp 115-118， Macmillan, London(1894)
第 Ry 章 定态微扰论 现实中大部分物理问题都是无法解析求解的，我们通常采用近似方法来处理。根 据物理实验仪器具体性质，我们可以使用类似于或接近待求解物理问题的已知理论模 型来研究这些不可求解的问题。如果这些理论模型是简单并且可解析求解时，我们可 以将实验设备和已知理论模型之间的差异视作为对已知理论模型的微扰，利用已知理 论模型的解析解来逐级逼近待求解的物理问题，这就是我们下面要讨论的“微扰论”。 对于所研究的量子体系，假设总哈密顿量的薛定谔方程是无法求解的或非常难以得到 精确解。如果总哈密顿算符的各部分具有不同的数量级，其主要部分可以精确求解， 我们便可先略去次要部分，对主要部分求出其薛定谔方程的精确解；再从主要部分的 精确解出发，把略去的次要部分对系统的影响逐级考虑进去，从而得出逐步接近于原 来问题精确解的各级近似解。早在量子力学诞生之前，在经典物理中人们已经采用微 扰论来求解太阳系的多体动力学问题。经典物理中人们经常忽视微扰论，但在量子力 学中微扰论却是占有异常重要的地位。这是因为（R）量子力学中课求解的模型比经 典物理中少很多；（k）量子力学中微扰论更加简单强大。 一般而言，我们可以将总哈密顿量分解为主体和微扰两部分的根据是物理体系中 含有一个无量纲的小参数。主体部分与这个微小参数无关，但微扰部分包含这个小参 数。例如，量子电动力学（Zm MimK 1H2+i`Q/vM KB+b，简称为 Z1.）就是一个非常 好的范例。Z1. 中的小参数就是精细结构常数 α- α = e2 4πϵohc ¯ ≈ 1 137. URyXyXRV 当 α → 0 也即 e → 0 时，光子和电子是自由粒子，没有相互作用，故而体系课精确 求解。当 α ! 0 时，各种物理量可以展开为 α 的幂级数。 ! 在创立量子波力学理论之后不久，薛定谔于 RNke 年在另一篇论文里发表了微扰理 论 R。在论文中薛定谔特别提到约翰·斯特拉特——第三代瑞利男爵——先前的研 究 k。瑞利勋爵曾经在弦的谐振动的微扰研究中得到突破性的结果。微扰理论时常又 被称为瑞利 @薛定谔微扰理论。 RX 1X a+?`ƺ/BM;2`- MM H2M /2` S?vbBF- oB2`i2 6QH;2- " M/ 3y- TX 9jd URNkeVX kX CX qX aX _ vH2B;?- h?2Q`v Q7 aQmM/- kM/ 2/BiBQM oQHX A- TT RR8@RR3- J +KBHH M- GQM/QM UR3N9VX
2/21-第10章定态微扰论10.1微扰展开设所研究物理体系的哈密顿算符为H=H+W(10.1.1)其中H。是未受微扰体系的哈密顿算符，而W表示微扰作用项，其中是人为引入的标记微扰作用的无量纲参数。可以将H，想象成带有旋钮的仪器，旋钮扭到0时，1=0，H,=Ho；旋钮扭到1时，Λ=1，H=Ho+W。假设已知H。的本征函数和本征值，下面我们从H。出发求解H，的本征函数Φk和相应的本征值Ek。因为“仪器”是^的连续函数，我们猜测和E都是入的连续函数，所以我们可以将它们展开为^的幂级数形式Ek = E(0) + ΛE(1) + ^2E(2) (1) = ++Pe)3(10.1.2)(0,1,2）都是待定态矢量，而E(0,12）是合适的系数。如果我们缓慢地将旋钮其中调回到0（入=0），此时系统将恢复到未受微扰的状态，此时测量体系的能量将得到E(0）和相应的波函数(0)，即 (), Ex E(0)(10.1.3)将Ek和k代入到薛定方程Hk= Ek(10.1.4)可得+(Ho+^W)0) +E(1) +?E(2) +..()+)1+(10.1.5)因为上式对于任意^都成立，所以要求上式左右两侧的^相同幂数的级数前系数相等，即10 : Ho0) =E(0(): Ho)+W+=E()+"+)或f.(02：H2+W=E2)+E+E(0或 (Ho-E()(2)=(E()-W)(10.1.6)F其中1°的系数方程就是未受微扰系统的能量本征方程。ooo
ĜkfkRĜ 第 Ry 章 定态微扰论 RyXR 微扰展开 设所研究物理体系的哈密顿算符为 Hˆλ = Hˆ 0 + λWˆ , URyXRXRV 其中 Hˆ 0 是未受微扰体系的哈密顿算符，而 Wˆ 表示微扰作用项，其中 λ 是人为引入 的标记微扰作用的无量纲参数。可以将 Hˆλ 想象成带有旋钮的仪器，旋钮扭到 y 时， λ = 0，Hˆλ = Hˆ 0；旋钮扭到 R 时，λ = 1，Hˆλ = Hˆ 0 +Wˆ 。假设已知 Hˆ 0 的本征函数和 本征值，下面我们从 Hˆ 0 出发求解 Hˆλ 的本征函数 φk 和相应的本征值 Ek。因为“仪 器”是 λ 的连续函数，我们猜测 ψk 和 Ek 都是 λ 的连续函数，所以我们可以将它们 展开为 λ 的幂级数形式 Ek = E(0) k + λE(1) k + λ2E(2) k + ··· ψk = ψ(0) k + λψ(1) k + λ2ψ(2) k + ··· , URyXRXkV 其中 ψ(0,1,2,···) k 都是待定态矢量，而 E(0,1,2,···) k 是合适的系数。如果我们缓慢地将旋钮 调回到 y（λ = 0），此时系统将恢复到未受微扰的状态，此时测量体系的能量将得到 E(0) k 和相应的波函数 ψ(0) k ，即 ψk λ→0 −−−−→ ψ(0) k , Ek λ→0 −−−−→ E(0) k . URyXRXjV 将 Ek 和 ψk 代入到薛定谔方程 Hˆλψk = Ekψk URyXRX9V 可得 ! Hˆ 0 + λWˆ " # ψ(0) k + λψ(1) k + λ2ψ(2) k + ··· $ = # E(0) k + λE(1) k + λ2E(2) k + ··· $ #ψ(0) k + λψ(1) k + λ2ψ(2) k + ··· $ URyXRX8V 因为上式对于任意 λ 都成立，所以要求上式左右两侧的 λ 相同幂数的级数前系数相 等，即 λ0 : Hˆ 0ψ(0) k = E(0) k ψ(0) k λ1 : Hˆ 0ψ(1) k + Wˆ ψ(0) k = E(0) k ψ(1) k + E(1) k ψ(0) k 或 f λ2 : Hˆ 0ψ(2) k + Wˆ ψ(1) k = E(0) k ψ(2) k + E(1) k ψ(1) k + E(2) k ψ(0) k 或 # Hˆ 0 − E(0) k $ ψ(2) k = # E(1) k − Wˆ $ ψ(1) k + E(2) k ψ(0) k , URyXRXeV 其中 λ0 的系数方程就是未受微扰系统的能量本征方程
10.1微扰展开-3/21-10.1.1一级微扰为求解E(），我们用（k标记1系数方程得((0)|H0-E(+") =-((0)W+()+El)(10.1.7)利用H。的厄米性和能量本征方程，上式左方为零，所以E =(()Wl(0)(10.1.8)这说明，能量的一级微扰修正是微扰项在未受微扰系统的本征态中的平均值。在一些物理问题中，由于对称性要求，一级微扰可以是零。例如无限深势阱中的带电粒子，当施加一个微弱外电场（E）时，带电粒子获得一个静电势能V(x）=-qEx。将这个微弱势能看作为微扰，我们可以计算其一级微扰贡献。因为无限深势阱的能量本征函数具有特定的宇称，所以在一级微扰水平上，能量的修正为0，(/() =0.E(1) =(10.1.9)X原则上我们可以计算无穷级的微扰贡献，实际研究工作中计算量随着微扰展开阶数而迅速增加。所以具体要算到哪一个微扰阶数是取决于实验精度。如果理论计算精度已经超出实验探测水平，那么我们就没有必要在计算更高阶数的贡献了。当一级微扰为零时，我们需要计算二阶能量修正。由1?系数式可知E(2依赖于，所以我们需要求解")。因为H的本征函数组（是完备的，所以可以将(）展开为(）的线性组合T)=Za[0),(10.1.10)代入到系数方程中得(H-E()Za)=a(E(0) -E()()=(()-W)+)).(10.1.11标积上式得用《.Zam (E()-E)=Eonk-(+(0)]W+(10.1.12)对m求和后仅有m=n项不为零，所以当n+k时(Wl(0)(W)nkal)(10.1.13)E(0-E(0)E() - E(0)o
RyXR 微扰展开 ĜjfkRĜ RyXRXR 一级微扰 为求解 E(1) k ，我们用 % ψ(0) k & & & & 标记 λ1 系数方程得 % ψ(0) k & & &Hˆ 0 − E(0) k & & &ψ(1) k ' = − % ψ(0) k & & &Wˆ & & &ψ(0) k ' + E(1) k . URyXRXdV 利用 Hˆ 0 的厄米性和能量本征方程，上式左方为零，所以 E(1) k = % ψ(0) k & & &Wˆ & & &ψ(0) k ' . URyXRX3V 这说明，能量的一级微扰修正是微扰项在未受微扰系统的本征态中的平均值。 在一些物理问题中，由于对称性要求，一级微扰可以是零。例如无限深势阱中的 带电粒子，当施加一个微弱外电场（E）时，带电粒子获得一个静电势能 V (x) = −qEx。 将这个微弱势能看作为微扰，我们可以计算其一级微扰贡献。因为无限深势阱的能量 本征函数具有特定的宇称，所以在一级微扰水平上，能量的修正为 y， E(1) k = −qE % u(±) k & & &x & & &u(±) k ' = 0. URyXRXNV 原则上我们可以计算无穷级的微扰贡献，实际研究工作中计算量随着微扰展开阶数而 迅速增加。所以具体要算到哪一个微扰阶数是取决于实验精度。如果理论计算精度已 经超出实验探测水平，那么我们就没有必要在计算更高阶数的贡献了。当一级微扰为 零时，我们需要计算二阶能量修正。 由 λ2 系数式可知 E(2) k 依赖于 ψ(1) k ，所以我们需要求解 ψ(1) k 。因为 Hˆ 0 的本征函 数组 (& & & &ψ(0) k ') 是完备的，所以可以将 & & & &ψ(1) k ' 展开为 & & & &ψ(0) k ' 的线性组合 & & & &ψ(1) k ' = * m a (1) m & & & &ψ(0) m ' , URyXRXRyV 代入到 λ1 系数方程中得 # Hˆ 0 − E(0) k $* m a (1) m & & & &ψ(0) m ' = * m a (1) m # E(0) m − E(0) k $ & & & &ψ(0) m ' = # E(1) k − Wˆ $ & & & &ψ(0) k ' . URyXRXRRV 用 % ψ(0) n & & & & 标积上式得 * m a (1) m # E(0) m − E(0) k $%ψ(0) n & & & &ψ(0) m ' = E(1) k δnk − % ψ(0) n & & &Wˆ & & &ψ0 k ' . URyXRXRkV 对 m 求和后仅有 m = n 项不为零，所以当 n ! k 时 a (1) n = % ψ(0) n & & &Wˆ & & &ψ(0) k ' E(0) k − E(0) n ≡ ! Wˆ " nk E(0) k − E(0) n . URyXRXRjV
4/21-第10章定态微扰论然而当n=k时，等式（10.1.12）恒成立，所以a）无法确定。幸运地是，我们可以通过要求微扰修正后的波函数的归一化条件来确定a，并可得到a）=0.下面我们求解a。微扰后波函数的归一化条件给出1=《)=()+)+0())+)+0(2))= 1+()+()+0(12),(10.1.14)它要求()+()=0,(10.1.15)即）是纯虚数。因为k）的相位具有一个总体的相位不确定性，所以我们可以定义[)=eia)，其中α是实常数。(10.1.16)[）和k）完全等价。将)按照入展开[)=() +()(10.1.17)其中d0k)()ial)+)(10.1.18)da）方向的投影因子a(1）是所以)在a)-()=iα+()(10.1.19)因为（(）是个纯虚数，所以我们可以通过选择特定α使得a(1）=0。这种特10k殊的相位选取使得波函数的一级微扰修正始终和零级波函数正交。我们在线性代数中已经看到这样的例子。例如，一个半径为1的矢量，其失量末端在团三1的球面上。将在球面上移动时，其一阶微小改变垂直于方向，即7。这种相位选取自由度源自于^的系数方程。按照微扰论，^的系数方程为10 : Ho+(0) =E(0)(0)11 : (Ho-E(0))-(E(1)-W)+(12 : (Ho-E(0)(2) =(E()-W)() +E(2)()(10.1.20)对微扰波函数做如下变换()(") +e),(10.1.21)o
Ĝ9fkRĜ 第 Ry 章 定态微扰论 然而当 n = k 时，等式（RyXRXRk）恒成立，所以 a (1) k 无法确定。幸运地是，我们可以 通过要求微扰修正后的波函数的归一化条件来确定 a (1) k ，并可得到 a (1) k = 0X 下面我们求解 a (1) k 。微扰后波函数的归一化条件给出 1 = + ψk & & &ψk , = % ψ(0) k + λψ(1) k + O(λ2) & & & &ψ(0) k + λψ(1) k + O(λ2) ' = 1 + λ #%ψ(0) k & & & &ψ(1) k ' + % ψ(1) k & & & &ψ(0) k '$ + O(λ2), URyXRXR9V 它要求 % ψ(0) k & & & &ψ(1) k ' + % ψ(1) k & & & &ψ(0) k ' = 0, URyXRXR8V 即 % ψ(0) k & & & &ψ(1) k ' 是纯虚数。因为 & & &ψk , 的相位具有一个总体的相位不确定性，所以我们 可以定义 & & &ψ′ k - = eiαλ & & &ψk , , 其中 α 是实常数。 URyXRXReV & & &ψ′ k - 和 & & &ψk , 完全等价。将 & & &ψ′ k - 按照 λ 展开 & & &ψ′ k - = & & & &ψ(0) k ' + λ & & & &ψ′(1) k ' + ··· , URyXRXRdV 其中 & & & &ψ′(1) k ' = d & & &ψ′ k - dλ & & & & & & & λ=0 = d dλ ! eiαλ & & &ψk ," & & & & & & & λ=0 = iα & & & &ψ(0) k ' + & & & &ψ(1) k ' . URyXRXR3V 所以 & & &ψ′ k - 在 & & & &ψ(0) k ' 方向的投影因子 a ′(1) k 是 a ′(1) k = % ψ(0) k & & & &ψ′(1) k ' = iα + % ψ(0) k & & & &ψ(1) k ' . URyXRXRNV 因为 % ψ(0) k & & & &ψ(1) k ' 是个纯虚数，所以我们可以通过选择特定 α 使得 a ′(1) k = 0。这种特 殊的相位选取使得波函数的一级微扰修正始终和零级波函数正交。我们在线性代数中 已经看到这样的例子。例如，一个半径为 R 的矢量 ⃗r，其矢量末端在 |⃗r| = 1 的球面 上。将 ⃗r 在球面上移动时，其一阶微小改变垂直于 ⃗r 方向，即 δ⃗r ⊥ ⃗r。 这种相位选取自由度源自于 λ 的系数方程。按照微扰论，λ 的系数方程为 λ0 : Hˆ 0ψ(0) k = E(0) k ψ(0) k λ1 : # Hˆ 0 − E(0) k $ ψ(1) k = # E(1) k − Wˆ $ ψ(0) k λ2 : # Hˆ 0 − E(0) k $ ψ(2) k = # E(1) k − Wˆ $ ψ(1) k + E(2) k ψ(0) k . URyXRXkyV 对微扰波函数做如下变换 ψ(m) k −−−−−→ ψ(m) k + εψ(0) k , URyXRXkRV
10.1微扰展开5/21并不改变^系数方程。例如11 : (Ho-E(0)(() +p(0))=(Ho-E()12 : (Ho-E(0)((2) +(0)=(Ho-E(0)+(2)..(10.1.22)所以我们所得微扰波函数总存在一个自由度ε，选择（(m）4(）=0将固定ε=0。这种选取符合“微扰论”精神。因为(m）《()，所以归一化后的(m)中沿着(方向的分量都是高阶小量。我们将波函数用微扰展开后看一下波函数微扰修正分量的贡献。将微扰修正后的波函数写作未受微扰波函数(）的线性组合.ak(0)+Zaki4/0),(0)[k)=akjd(10.1.23)j=1j+k其中各项系数可以按照入展开如下：(0)(1)+Xak+12akk=akk(1)(2)Xakj(10.1.24)akj =归一化要求1=《k)=a12+[akila +Z() ..)a(0) +0(a2).(10.1.25)(0)142=1，这意味着al=0。所以在忽略12贡献后小结：当Ho的本征函数(）没有简并时，一级微扰贡献为E(1)(p(0)wl0(0)pwpkB(10.1.26)E(0) ~ E(0)i+k10.1.2二级微扰二级微扰满足^2系数方程(H0-E()2)-(E()-W))+E(2()(10.1.27)o
RyXR 微扰展开 Ĝ8fkRĜ 并不改变 λ 系数方程。例如 λ1 : # Hˆ 0 − E(0) k $ (ψ(1) k + εφ(0) k ) = # Hˆ 0 − E(0) k $ ψ(1) k λ2 : # Hˆ 0 − E(0) k $ (ψ(2) k + εφ(0) k ) = # Hˆ 0 − E(0) k $ ψ(2) k , . . . URyXRXkkV 所以我们所得微扰波函数总存在一个自由度 ε，选择 % ψ(m) k & & & &ψ(0) k ' = 0 将固定 ε = 0。 这种选取符合“微扰论”精神。因为 ψ(m) k ≪ ψ(0) k ，所以归一化后的 ψ(m) k 中沿着 ψ(0) k 方向的分量都是高阶小量。 我们将波函数用微扰展开后看一下波函数微扰修正分量的贡献。将微扰修正后的 波函数写作未受微扰波函数 ψ(0) k 的线性组合 & & &ψk , = *∞ j=1 akjψ(0) j = akkψ(0) k + * j!k akjψ(0) j , URyXRXkjV 其中各项系数可以按照 λ 展开如下： akk = a (0) kk + λa (1) kk + λ2a (2) kk + ··· akj = λa (1) kj + λ2a (2) kj + ··· URyXRXk9V 归一化要求 1 = + ψk & & &ψk , = |akk| 2 + * j!k & & &akj & & & 2 = & & & & a (0) kk & & & & 2 + * j # λa (1) kj + ··· $2 = & & & & a (0) kk & & & & 2 + O(λ2). URyXRXk8V 所以在忽略 λ2 贡献后 & & & & a (0) kk & & & & 2 = 1，这意味着 a (1) kk = 0。 小结：当 Hˆ 0 的本征函数 ψ(0) k 没有简并时，一级微扰贡献为 E(1) k = % φ(0) k & & &Wˆ & & &φ(0) k ' φ(1) k = * i!k % φ(0) i & & &Wˆ & & &φ(0) k ' E(0) k − E(0) i & & & &φ(0) i ' . URyXRXkeV RyXRXk 二级微扰 二级微扰满足 λ2 系数方程 # Hˆ 0 − E(0) k $ & & & &ψ(2) k ' = # E(1) k − Wˆ $ & & & &ψ(1) k ' + E(2) k & & & &ψ(0) k ' . URyXRXkdV