量子霍尔效应王韩腾，李欣蔚，张子豪（北京大学物理学院2013年6月4日）摘要：量子霍尔效应的发现是新兴低维凝聚态物理发展中的一件大事，分数量子霍尔效应的发现更是开创了一个研究多体现象的新时代，并将影响到物理学的很多分支。这个领域两次被授予诺贝尔物理学奖，引起了人们很大的兴趣。文章介绍了霍尔效应的发展历程，主要包括1897年霍尔效应、1980年冯·克利青发现整数量子霍尔效应、1982年崔琦等发现的分数量子霍尔效应以及最近才由薛其坤带领团队所完成的反常量子霍尔效应。本文最后讨论量子霍尔效应在实际中的应用。关键词：霍尔效应；量子霍尔效应；反常霍尔效应；应用经典霍尔效应一、1879年，霍尔在研究载流导体在磁场中的受力性质时发现：在均匀磁场B中放入一块板状金属导体，当电流垂直于磁场B方向流过导体时，在垂直于电流和磁场的方向导体两侧会产生一个横向电场。这种现象便是经典霍尔效应。在电子发现之前，人们不能认识到霍尔效应现象产生的本质，直到19世纪末电子的发现以及对电子研究的不断深入，使霍尔效应的理论研究不断取得突破性的成果。由于霍尔效应的大小直接与样品中的载流子浓度相关，故在凝聚态物理领域获得了广泛的应用，成为金属和半导体物理中一个重要的研究手段，现在我们考虑用最经典的Drude的自由电子气模型来分析霍尔效应（原理图见图1），在电场E与磁场B同时存在的情形下，单电子准经典动力学方程为=-e(E+vxB)-P(1.1)dtT考虑稳态情况=0，电流密度J=-env，则(1.1)式写为分量形式dt
量子霍尔效应 王韩腾，李欣蔚，张子豪 （北京大学物理学院 2013 年 6 月 4 日） 摘要：量子霍尔效应的发现是新兴低维凝聚态物理发展中的一件大事，分数量子 霍尔效应的发现更是开创了一个研究多体现象的新时代，并将影响到物理学的很 多分支。这个领域两次被授予诺贝尔物理学奖，引起了人们很大的兴趣。文章介 绍了霍尔效应的发展历程，主要包括 1897 年霍尔效应、1980 年冯·克利青发现 整数量子霍尔效应、1982 年崔琦等发现的分数量子霍尔效应以及最近才由薛其 坤带领团队所完成的反常量子霍尔效应。本文最后讨论量子霍尔效应在实际中的 应用。 关键词：霍尔效应；量子霍尔效应；反常霍尔效应；应用 一、 经典霍尔效应 1879 年，霍尔在研究载流导体在磁场中的受力性质时发现：在均匀磁场 B 中放入一块板状金属导体，当电流垂直于磁场 B 方向流过导体时，在垂直于电 流和磁场的方向导体两侧会产生一个横向电场。这种现象便是经典霍尔效应。 在电子发现之前，人们不能认识到霍尔效应现象产生的本质，直到 19 世纪 末电子的发现以及对电子研究的不断深入，使霍尔效应的理论研究不断取得突破 性的成果。由于霍尔效应的大小直接与样品中的载流子浓度相关，故在凝聚态物 理领域获得了广泛的应用，成为金属和半导体物理中一个重要的研究手段。 现在我们考虑用最经典的 Drude 的自由电子气模型来分析霍尔效应（原理图 见图 1），在电场 E 与磁场 B 同时存在的情形下，单电子准经典动力学方程为 dp dt = −e(E + v × B) − p τ (1.1) 考虑稳态情况 dp dt = 0 ，电流密度 J = −env ，则(1.1)式写为分量形式
电场力方向电子运动方向磁场力方向+++图1：霍尔效应示意图O.E, =J +WTJ(1.2)OE,=-O,tJ,+JeBne称为回旋频率，6。其中の。为未加磁场下的电导率。mmt当y方向没有电流时，y方向会有稳定的电场E，出现，由(1.2)立即得到B(1.3)E,=neE，可理解为与电子所受洛伦兹力相平衡的电场。由此定义霍尔系数E,1(1.4)R.=J.Bne霍尔系数仅依赖于自由电子气的电子密度，与金属的其他参数无关。这是一个非常简单的结果，提供了对自由电子气体模型正确性最直接的检验方式。一些金属元素室温下的霍尔系数[1]元素zR/(10-°m2C-)-1/Rμne1Li-1.70.81Na-2.51.0K1-4.21.1Cu11.3-0.55Ag11.3-0.841Au-0.721.5
图 1：霍尔效应示意图 σ 0Ex = Jx +ωc τ Jy σ 0Ey = −ωc τ Jx + Jy ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ (1.2) 其中ωc = eB m 称为回旋频率，σ 0 = ne 2 mτ 为未加磁场下的电导率。 当 y 方向没有电流时，y 方向会有稳定的电场 出现，由(1.2)立即得到 Ey = − B ne Jx (1.3) 可理解为与电子所受洛伦兹力相平衡的电场。 由此定义霍尔系数 RH = Ey JxB = − 1 ne (1.4) 霍尔系数仅依赖于自由电子气的电子密度，与金属的其他参数无关。这是一 个非常简单的结果，ᨀ供了对自由电子气体模型正确性最直接的检验方式。 一些金属元素室温下的霍尔系数[1] 元素 Z RH/(10-10m3 C-1 ) -1/RHne Li 1 -1.7 0.8 Na 1 -2.5 1.0 K 1 -4.2 1.1 Cu 1 -0.55 1.3 Ag 1 -0.84 1.3 Au 1 -0.72 1.5 Ey Ey
2Be-0.10+2.442Zn+0.33-1.4Cd2-1.1+0.60Al3-3.00.1关于上述数据的两点讨论：（1）从电子气体理论上，有结果-1/Rne应该为1。从表中可以看出，对一价碱金属符合的很好，对一价贵金属就符合较差。而对于一些二、三价金属就连符号都预言地是相反的，仿佛此时的载流子是带正电的，这是自由电子气体模型所无法解释的。派尔斯（1928年）曾对这种符号反常现象进行了解释。这种不能采用自由电子气解释并会给出正号的载流子，后来海森堡称之为“空穴”，利用能带理论能够给出很自然的解释。（2）横向磁阻表示在与电流方向垂直的外磁场作用下，在电流方向电阻的变化此处即电阻率p(B)=E./J.的变化。对于稳态情形（即y方向没有电流），由(1.2)给出J=α.E,，意味着自由电子气横向磁阻为零。但对于金属的测量表明，实际上往往不为零，有时甚至相当大。虽然自由电子气模型在以上两方面无法给出准确的实验结果，但是对下面讨论1980年发现的整数量子霍尔效应却是相当不错的。为了接下来讨论整数量子霍尔效应的方便，我们需要由(1.2)引入电导率张量（称为静态磁致电导率张量)：0-0,ta6=10(1.5)w,t1+(0,t)01+(0,t)20其中ox，o.分别称为电导率张量的纵向分量和横向分量。求电导率张量的逆矩阵自然地就得到电阻率张量的各个分量。一般性在实验中，如果使用的是霍尔电压法，则可以精确地测量p和pry，而使用霍尔电流法则直接得到和。的值
Be 2 +2.44 -0.10 Zn 2 +0.33 -1.4 Cd 2 +0.60 -1.1 Al 3 -3.0 0.1 关于上述数据的两点讨论： （1） 从电子气体理论上，有结果-1/RHne 应该为 1。从表中可以看出，对一价 碱金属符合的很好，对一价贵金属就符合较差。而对于一些二、三价金属 就连符号都预言地是相反的，仿佛此时的载流子是带正电的，这是自由电 子气体模型所无法解释的。 派尔斯（1928 年）曾对这种符号反常现象进行了解释。这种不能采用自 由电子气解释并会给出正号的载流子，后来海森堡称之为“空穴”，利用 能带理论能够给出很自然的解释。 （2） 横向磁阻表示在与电流方向垂直的外磁场作用下，在电流方向电阻的变化， 此处即电阻率 的变化。对于稳态情形（即 y 方向没有电流）， 由(1.2)给出 ，意味着自由电子气横向磁阻为零。但对于金属的 测量表明，实际上往往不为零，有时甚至相当大。 虽然自由电子气模型在以上两方面无法给出准确的实验结果，但是对下面讨 论 1980 年发现的整数量子霍尔效应却是相当不错的。为了接下来讨论整数量子 霍尔效应的方便，我们需要由(1.2)引入电导率张量 （称为静态磁致电导率张 量）： σ = σ 0 1+ ωc ( τ ) 2 1 −ωc τ 0 ωc τ 1 0 0 0 1+ ωc ( τ ) 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ (1.5) 其中σ xx ，σ xy分别称为电导率张量的纵向分量和横向分量。 求电导率张量的逆矩阵自然地就得到电阻率张量的各个分量。一般性在实 验中，如果使用的是霍尔电压法，则可以精确地测量 ρxx 和 ρxy ，而使用霍尔电流 法则直接得到σ xx 和σ xy的值。 ρ(B) = Ex Jx Jx = σ 0Ex σ ij
量子霍尔效应11.整数量子霍尔效应（IQHE）1980年德国物理学家冯·克利青（K.VonKlitzing）等多次研究在处于极低温度1.5K和强磁场18T的作用下，硅的金属-氧化物-半导体场效应晶体管（MOSFET），在二维体系的霍尔效应实验中，发现了一个与经典霍尔效应完全不同的现象（实验结果见图2)：(1)当门电压（用于控制样品的载流子浓度）到某一定值，在电流方向上的电压V毫无争议地趋于零，仿佛有效电导是无穷大。(2)在门电压具有相同间隔的位置附近出现一系列霍尔电压平台；在这些平台处，霍尔电阻率p=V（即的倒数）都精确地等于（25813/整数）欧姆，其中25813是以欧姆给出的h/e2的值。P-SUBSTRATEUy/mvUppimvHALLPROBE+DRAIN252.5TSURFACESOURCE十GATE2020POTENTIALPROBES15/15Upp10105+0.5155102025Vg/V图2：首次IOHE测量结果。其中磁场（180T）由纸面向外，温度为1.5K。在源极与漏极之间有一个1uA的稳恒电流，电压V.与V.均作为门电压V。的函数画出其变化曲线，V。与费米能级成比例。引自K.vonKlitzing,G.Dorda,andM.Pepper/3]令人惊诉的是平台值折算成p后，与h/(ve2）（v=1,2,3...）的相对误差在
二、 量子霍尔效应 1. 整数量子霍尔效应（IQHE） 1980 年德国物理学家冯·克利青（K. von Klitzing）等多次研究在处于极低 温度 1.5K 和强磁场 18T 的作用下，硅的金属-氧化物-半导体场效应晶体管 （MOSFET），在二维体系的霍尔效应实验中，发现了一个与经典霍尔效应完全 不同的现象（实验结果见图 2）： （1） 当门电压（用于控制样品的载流子浓度）到某一定值，在电流方 向上的电压 Vx毫无争议地趋于零，仿佛有效电导 是无穷大。 （2） 在门电压具有相同间隔的位置附近出现一系列霍尔电压平台；在 这些平台处，霍尔电阻率 =VH/Ix（即 的倒数）都精确地等 于（25813/整数）欧姆，其中 25813 是以欧姆给出的 h/e2的值。 图 2：首次 IQHE 测量结果。其中磁场（180T）由纸面向外，温度为 1.5K。在源极与漏极之 间有一个 1μA 的稳恒电流，电压 Vpp与 VH均作为门电压 Vg的函数画出其变化曲线，Vg与费米 能级成比例。引自 K. von Klitzing, G.Dorda, and M. Pepper[3] 令人惊讶的是平台值折算成 后，与 （ ）的相对误差在 σ eff ρyx σ yx ρyx h (νe 2 ) ν = 1,2,3
首次实验中即小于10-5。目前，平台平整度已达到10-8，绝对值的精度已达到10-7。实验还表明，与材料体系是SiMOSFET还是GaAs-AIGaAs异构体结构，载流子是电子还是空穴，以及样品的几何等无关，上述结果是一种普适现象。由于其精确性、稳定性和可复现性，量子霍尔电阻h/(ve）已被正式定为电阻的计量标准。为了解释霍尔效应中霍尔电导的精确量子化效应，下面介绍Laughlin的规范理论（1981年）[4：考虑如图3所示的二维圆筒。圆筒的周长（x方向）为L，外加磁场B处处垂直于圆筒的表面。假设圆筒的中心由于电流而产生了额外的磁通量Φ，那么一个电子的等效哈密顿量中的磁失势就由两部分构成：B引起的A、磁通Φ引起的A,.图3：左图：环状的金属带，沿电流方向称为x轴，金属带宽度方向y轴。右图：态密度随能量的分布；右上是没有杂质的朗道能级，右下虚线为费米能。引自R.B.Laughlin不难看出：A,=Φ/L(2.1)那么体系中沿着x方向的电流I可以表示成（注：以下推导使用高斯制）au_caI=c(2.2)LaA其中U是体系的能量。实际上，我们可以通过规范变换(2.3)A→A+Vff=-Ax将哈密顿量中的A。消去，不过这时波函数要进行如下变换：
首次实验中即小于 10-5。目前，平台平整度已达到 10-8，绝对值的精度已达到 10-7。实验还表明，与材料体系是 Si MOSFET 还是 GaAs-AlGaAs 异构体结构， 载流子是电子还是空穴，以及样品的几何等无关，上述结果是一种普适现象。由 于其精确性、稳定性和可复现性，量子霍尔电阻 已被正式定为电阻的计 量标准。 为了解释霍尔效应中霍尔电导σ xy的精确量子化效应，下面介绍 Laughlin 的 规范理论（1981 年）[4]： 考虑如图 3 所示的二维圆筒。圆筒的周长（x 方向）为 L，外加磁场 B 处处 垂直于圆筒的表面。假设圆筒的中心由于电流而产生了额外的磁通量Φ ，那么一 个电子的等效哈密顿量中的磁矢势就由两部分构成：B 引起的 A、磁通Φ 引起的 Ag。 图 3：左图：环状的金属带，沿电流方向称为 x 轴，金属带宽度方向 y 轴。右图：态密度随 能量的分布；右上是没有杂质的朗道能级，右下虚线为费米能。引自 R. B. Laughlin[4] 不难看出： (2.1) 那么体系中沿着 x 方向的电流 I 可以表示成（注：以下推导使用高斯制） (2.2) 其中 U 是体系的能量。 实际上，我们可以通过规范变换 A→ A+ ∇f ， (2.3) 将哈密顿量中的 Ag消去，不过这时波函数要进行如下变换： h (νe 2 ) Ag = Φ / L I = c ∂U ∂Φ = c L ∂U ∂Ag f = −Ag x