耦合基矢和因子化基矢完全描述相同的希尔伯特空间两者等价7维度: (2j1 +1)(2j2 +1)下面我们讨论在因子化基矢张开的子空间中于2和」，的本征值和本征矢量形式，或者说讨论两种基矢之间的转化关系。Cim.joma li1, m;jiz m2)li1,j2,j,mj) =mi,m2Clebsch-Gordon系数：两套基矢之间的变换矩阵Qim=<jim1;j2,m2ljij2jmi)jimij2m2
耦合基⽮和因⼦化基⽮完全描述相同的希尔伯特空间 ——> 两者等价 维度：(2j1 + 1)(2j2 + 1) 下⾯我们讨论在因⼦化基⽮张开的⼦空间中 和 的本征值和本征⽮量形式，或者说， 讨论两种基⽮之间的转化关系。 J ˆ z |j1, j2, j, mj i = X m1,m2 Cj,m j1,m1,j2,m2 |j1, m1; j2, m2i Cjm j1m1j2m2 = hj1m1; j2, m2 |j1j2jmj i Clebsch-Gordon系数：两套基⽮之间的变换矩阵 J ~ 2
C-G系数因为耦合基矢是J的本征态，而且J，<J，所以角动量耦合的总角动量的最大值应该是J1和J2~的最大值之和。总角动量在方向分量最大的态和因子化基失之间具有如下关系：JMax, JMax)=[5,j)=[i1+j2,j1+j2)=[31,j1)@[j2,j2)J± =J±iJy=(Ji+J2α)±i(Jiy+J2y)二(Jix±iJiy)I2+Ii(J2α±iJ2y）二Ji-?I2+Ii?J2-J_ [i,j)=(J1-+J2-)li1,j1) ? [j2,j2)
C-G系数 J± ⌘ Jx ± iJy = (J1x + J2x) ± i(J1y + J2y) = (J1x ± iJ1y) ⌦ I2 + I1 ⌦ (J2x ± iJ2y) = J1 ⌦ I2 + I1 ⌦ J2 J |j, ji = (J1 + J2)|j1, j1i ⌦ |j2, j2i 因为耦合基⽮是 的本征态，⽽且 ，所以⻆动量耦合的 总⻆动量的最⼤值应该是 和 的最⼤值之和。 总⻆动量在z⽅向分量最⼤的态和因⼦化基⽮之间具有如下关系：
利用J±ljm)= V(i干m)(i±m+1)li,m±1)和J_l,）=(Ji-J2-)1,i)lj2,j2)有 J_li,j)= 2ilj,j-1)J1-li1,31>@[j2,j2)+l51,31)? J2-j2,j2)= 2jil51,j1-1)[j2,j2)+2j2lj1,ji>lj2,j2-1)故[51,j1] [32,j2)[,11)[2,j2)[j,j-1] CG系数li,>[i,-1)[i,j-2).i,-+1)[i,-i)2 [i, m) = j(i + 1)h? li, m)(2j1+2j2+1)
J± |jmi = p(j ⌥ m)(j ± m + 1)|j, m ± 1i J |j, ji = (J1 + J2)|j1, j1i ⌦ |j2, j2i J |j, ji = p2j |j, j 1i |j, j 1i = s j1 j |j1, j1 1i|j2, j2i + s j2 j |j1, j1i|j2, j2 1i CG系数 利⽤ 和 3X8 角动量耦合 ĜjfRRĜ 3X8XR *@: 系数 因为耦合基矢是 Jz 的本征态，而且 Jz ≤ J，所以角动量耦合的总角动量的最大值 应该是 J1z 和 J2z 的最大值之和。总角动量在 z 方向分量最大的态和因子化基矢之间 具有如下关系： ! ! !JMax ,JMax z " ≡ |j,j # = |j1 + j2,j1 + j2 # = |j1,j1 # ⊗|j2,j2 # . U3X8X3V 定义总角动量的升降算符是 J± ≡ Jx ± iJy = (J1x + J2x) ± i(J1y + J2y ) = (J1x ± iJ1y ) ⊗I2 + I1 ⊗ (J2x ± iJ2y ) = J1− ⊗I2 + I1 ⊗J2−. U3X8XNV 角动量升降算符具有如下性质： J± |jm# = $ (j ∓ m)(j ± m + 1) |j,m ± 1 # , U3X8XRyV 将角动量降算符作用在态 |j,j # 上， J− |j,j # = (J1− + J2−)|j1,j1 # ⊗|j2,j2 # U3X8XRRV 上式左方（耦合基矢）等于 J− |j,j # = % 2j |j,j − 1 # , U3X8XRkV 右方等于 J1− |j1,j2 # ⊗|j2,j2 # + |j1,j1 # ⊗J2− |j2,j2 # = % 2j1 |j1,j1 − 1 # |j2,j2 # + % 2j2 |j1,j1 # |j2,j2 − 1 # , U3X8XRjV 所以我们得到 |j,j − 1 # = & j1 j |j1,j1 − 1 # |j2,j2 # + & j2 j |j1,j1 # |j2,j2 − 1 # . U3X8XR9V 耦合基矢前面的系数就是所谓的Ǵ*H2#b+?@:Q`/QMǴ 系数。我们继续用角动量降算符作 用在上式两侧就可以得到 2j + 1 个态矢量 |j,j # J− −→ |j,j − 1 # J− −→ |j,j − 2 # ···|j,−j + 1 # J− −→ |j,−j # . U3X8XR8V 这些态矢量都是 ˆ J2 算符对应于同一本征值 j 的本征态矢， ˆ J2 |j,m# = j(j + 1)h¯ 2 |j,m# . U3X8XReV 因为 j = j1 + j2，所以共有 (2j1 + 2j2 + 1) 个简并矢量。 J ˆ2 |j, mi = j(j + 1)~2 |j, mi (2j1 + 2j2 + 1) J1 |j1, j1i ⌦ |j2, j2i + |j1, j1i ⌦ J2 |j2, j2i = p2j1 |j1, j1 1i|j2, j2i + p2j2 |j1, j1i|j2, j2 1i 有 故
下一个子空间的最高态是li-1，i-1)。因为f2lj -1,j -1) = j(j-1)h2lj - 1,j -1),即，li-1,j-1>和li,j-1》属于2算符的不同本征值的本征矢，所以li-1,j-1>和li,j-1）正交。从此可得ii,ji>lj2,j2-1)lj-1,j-1>/12,可验证jij2j1j2:0《j,j-1lj-1,j-1)j2P在利用角动量降算符了lj -1,j-1) 二[i-1,j- 2) [j -1,j- 3).|j-1,-j) 二[i-1,-(j -1))
Ĝ9fRRĜ 下一个子空间的最高态是 |j − 1,j − 1 ! 。因为 ˆ J2 |j − 1,j − 1 ! = j(j − 1)h¯ 2 |j − 1,j − 1 ! , U3X8XRdV 即，|j − 1,j − 1 ! 和 |j,j − 1 ! 属于 ˆ J2 算符的不同本征值的本征矢，所以 |j − 1,j − 1 ! 和 |j,j − 1 ! 正交。从此可得 |j − 1,j − 1 ! = " j2 j1 |j1,j1 − 1 ! |j2,j2 ! − " j1 j |j1,j1 ! |j2,j2 − 1 ! . U3X8XR3V 可验证 # j,j − 1 |j − 1,j − 1 ! = " j1j2 j2 − " j1j2 j2 = 0. U3X8XRNV 在利用角动量降算符 ˆ J−， |j − 1,j − 1 ! J− −→ |j − 1,j − 2 ! J− −→ |j − 1,j − 3 ! ···|j − 1,−j ! J− −→ $ $ $j − 1,−(j − 1) ! . U3X8XkyV 以此类推，我们可以构造与 |j − 1,j − 2 ! 和 |j,j − 2 ! 都正交的态 |j − 2,j − 2 ! ，再 利用角动量降算符就可以得到 j − 2 对应的全部本征态。持续上述操作，直到得到 ˆ J 算符本征值 |j1 − j2| 所对应的全部本征矢为止。 下面我们验证希尔伯特的独立基矢个数。因子化基矢的独立基矢个数是 (2j1 + 1)(2j2 + 1)，所以耦合基矢的对立基矢个数也一定是 (2j1 + 1)(2j2 + 1)。在耦合基矢 中，设 j1 > j2，我们发现总角动量取值和其独立基矢个数是 ˆ J本征值 独立基矢个数 j1 + j2, 2(j1 + j2) + 1 j1 + j2 − 1, 2(j1 + j2) + 1 − 2 j1 + j2 − 2, 2(j1 + j2) + 1 − 2 × 2 . . . . . . j1 − j2, 2(j1 + j2) + 1 − 2 × (2j2) U3X8XkRV 上面共计 (2j2 + 1) 行，对所有独立基矢求和后看的 (2j1 + 1)(2j2 + 1)。例如 ˆ J本征值 独立基矢个数 颠倒独立基矢个数 j1 + j2, 2(j1 + j2) + 1 2(j1 + j2) + 1 − 4j2 j1 + j2 − 1, 2(j1 + j2) + 1 − 2 2(j1 + j2) + 1 − 4j2 + 2 j1 + j2 − 2, 2(j1 + j2) + 1 − 2 × 2 2(j1 + j2) + 1 − 4j2 + 4 . . . . . . . . . j1 − j2, 2(j1 + j2) + 1 − 2 × (2j2) 2(j1 + j2) + 1 U3X8XkkV
下面我们验证希尔伯特的独立基矢个数。因子化基矢的独立基矢个数是（2j1十1)(2j2+1)，所以耦合基矢的对立基矢个数也一定是(2j1+1)(2j2十1)。在耦合基矢中，设j1j2，我们发现总角动量取值和其独立基矢个数是］本征值独立基矢个数2(ji +j2) + 1j1 + j2,总计2(j1 + j2) + 1 - 2ji + j2-1,2j2 + 12(j1 + j2) + 1 -2 × 2ji + j2-2,行...:j1 j2,2(j1 + j2) + 1 -2 × (2j2)
Ĝ9fRRĜ 下一个子空间的最高态是 |j − 1,j − 1 ! 。因为 ˆ J2 |j − 1,j − 1 ! = j(j − 1)h¯ 2 |j − 1,j − 1 ! , U3X8XRdV 即，|j − 1,j − 1 ! 和 |j,j − 1 ! 属于 ˆ J2 算符的不同本征值的本征矢，所以 |j − 1,j − 1 ! 和 |j,j − 1 ! 正交。从此可得 |j − 1,j − 1 ! = " j2 j1 |j1,j1 − 1 ! |j2,j2 ! − " j1 j |j1,j1 ! |j2,j2 − 1 ! . U3X8XR3V 可验证 # j,j − 1 |j − 1,j − 1 ! = " j1j2 j2 − " j1j2 j2 = 0. U3X8XRNV 在利用角动量降算符 ˆ J−， |j − 1,j − 1 ! J− −→ |j − 1,j − 2 ! J− −→ |j − 1,j − 3 ! ···|j − 1,−j ! J− −→ $ $ $j − 1,−(j − 1) ! . U3X8XkyV 以此类推，我们可以构造与 |j − 1,j − 2 ! 和 |j,j − 2 ! 都正交的态 |j − 2,j − 2 ! ，再 利用角动量降算符就可以得到 j − 2 对应的全部本征态。持续上述操作，直到得到 ˆ J 算符本征值 |j1 − j2| 所对应的全部本征矢为止。 下面我们验证希尔伯特的独立基矢个数。因子化基矢的独立基矢个数是 (2j1 + 1)(2j2 + 1)，所以耦合基矢的对立基矢个数也一定是 (2j1 + 1)(2j2 + 1)。在耦合基矢 中，设 j1 > j2，我们发现总角动量取值和其独立基矢个数是 ˆ J本征值 独立基矢个数 j1 + j2, 2(j1 + j2) + 1 j1 + j2 − 1, 2(j1 + j2) + 1 − 2 j1 + j2 − 2, 2(j1 + j2) + 1 − 2 × 2 . . . . . . j1 − j2, 2(j1 + j2) + 1 − 2 × (2j2) U3X8XkRV 上面共计 (2j2 + 1) 行，对所有独立基矢求和后看的 (2j1 + 1)(2j2 + 1)。例如 ˆ J本征值 独立基矢个数 颠倒独立基矢个数 j1 + j2, 2(j1 + j2) + 1 2(j1 + j2) + 1 − 4j2 j1 + j2 − 1, 2(j1 + j2) + 1 − 2 2(j1 + j2) + 1 − 4j2 + 2 j1 + j2 − 2, 2(j1 + j2) + 1 − 2 × 2 2(j1 + j2) + 1 − 4j2 + 4 . . . . . . . . . j1 − j2, 2(j1 + j2) + 1 − 2 × (2j2) 2(j1 + j2) + 1 U3X8XkkV 2j2 + 1 总计 ⾏