④代入③得 l(x)=(x-x1)x-x2)…(x-x1)(x-x)…(x-x,) (x1-x)x1-x0)…(x1-x1)(x1-x1)…(x ∏x l≠J (x,)=1 显然l,(x)满足{ 1(x)=0≠j
④代入③得 1 2 1 1 0 0 1 1 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) j j n j j j j j j j j n x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x − + − + − − − − − = − − − − − ( ) ( )( ) ( ) 0 n i i j i i j x x = x x − = − ⑤ 显然 ( ) j l x 满足{ ( ) 1 ( ) 0 j j j i l x l x i j = =
构造插值函数L八(x) 定理411设函数y=f(×)在区间[a,b]上的n+1个 互异节点{x上的函数值f(x)=y(=0,1,…n), 则一定存在唯一的不超过n次得多项式n(x满足插值 条件 Ln(x)=f(x)=y(=0,1,…,n)
构造插值函数Ln (x) 定理 4.1.1 设函数y=f(x)在区间[a,b]上的 n+1 个 互异节点 0 n i x 上的函数值 ( )i i f x y = （i=0，1，…，n）, 则一定存在唯一的不超过 n 次得多项式 ，满足插值 条件 ( ) ( ) Ln x f x y i i i = = ( i=0，1，…，n) L (x) n
证明:构造L2(x)满足 Ln(x1)=f(x)=y1(i=0,,2,n) 所以令 L(x)=lo(x)yo+l(x)y,+.+ln(x)y
n n n i i i n L x l x y l x y l x y L x f x y i n L x ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( 0,1,2,... ) ( ) = 0 0 + 1 1 + + = = = 所以令 证明：构造 满足：
显然 Ln(x0)=b(x0)y+l1(x0)1+…+n(x0)yn=y Ln(x=(x,y+(x,,+ .+,(yn=yu Ln(in=lo(xn)yo+l(xmy+.+l(xn)n=y
显然 0 0 0 0 1 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) Ln x l x y l x y l x y y = + + + = n n 1 0 1 0 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) Ln x l x y l x y l x y y = + + + = n n …….. 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) Ln x l x y l x y l x y y n n n n n n n = + + + =
因此所求 y=0(x)=Ln(x)=∑l(x)y ∑|∏ (x-x) 0 X -X
因此所求 0 ( ) ( ) ( ) n j j j y x Ln x l x y = = = = 0 0 ( ) ( ) n n i j j i j i i j x x y = = x x − = −