构造插值基函数 引理1设在区间ab]上有n+1个互异节点(x 如果n次多项式l(x)满足 (x)==/(4.1.2) (x)=I-(43 z=0 x
构造插值基函数 引理1 设在区间[a,b]上有n+1个互异节点 ， 如果n次多项式 满足 则 0 n i x 0 1 ( ) { (4.1.2) i j j i i j l x = = 0 ( ) (4.1.3) n i j i j i x x l x = x x − = − l (x) j
证明:求l(x):次多项式,满足条件 0=(x)=(x)=…=1(x1)=l(x)=…=l(xn) 即l(x,) 0i≠J 如l(x)满足 (x1)=b0(x2)=…=1(xn)=0
证明：求 ( ) j l x ：n 次多项式，满足条件 { 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) j j j j j j j n j j l x l x l x l x l x l x = = = = = = = − + = 即 0 { 1 ( ) j i i j i j l x = = 如 0 l x( )满足0 1 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 0 n l x l x l x = = = =
这表明该方程有n个根,设 l(x)=C(x-x)(x-x2)…(x-x2)① 因为 1=l0(x)=C(x-x1)x-x2)…(b-xn C (x0-x1)(x-x2)…(x0-xn
这表明该方程有 n 个根，设 0 1 2 ( ) ( )( ) n l x C x x x x x x = − − − ( ) ① 因为 0 0 0 1 0 2 0 ( ) ( )( ) n 1= ( ) l x C x x x x x x = − − − 0 1 0 2 0 1 ( )( ) n C x x x x x x = − − − ( ) ②
②代入①式 70(x) (x-x1)(x-x2)…(x-xn) (x-x)(x0-x2)…(x-xn) 0
②代入①式 1 2 0 0 1 0 2 0 ( )( ) ( ) ( )( ) n n x x x x x x l x x x x x x x − − − = − − − ( ) ( ) 1 0 ( ) ( ) n i i i x x = x x − = −
般设: (x)=C(x-x)x-x1)…(x-x1)x-x1)…x-x) 因为 1=1(x)=C(x1-x)(x-x2)…(x1-x1)(x (x1-xxx)…(x1-x1)(x-x1)…(x1-x
因为 0 2 1 1 ( ) ( )( ) j j j j j j j j j n l x C x x x x x x x x x x = − − − − − − + 1= ( )( ) ( ) 0 0 1 1 1 ( )( ) j j j j j j j n C x x x x x x x x x x − + = − − − − − ( )( ) ( ) ④ 一般设： 1 2 1 1 ( ) ( )( ) ( )( ) j j j n l x C x x x x x x x x x x − + = − − − − − ( ) ③