空间几何体的表面积与体积 基础知识 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S國柱侧=2Tr S锥侧=兀 S瞬台侧=(r+r′)l ①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和,而表面积是侧面积与所有底面面积之和 ②圆台、圆柱、圆锥的转化 当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圓柱;当圆台的上底面半径为零时,得到圆 锥,由此可得 S柱侧=2πrl S园台侧=π(r+r)l S锥侧=丌rL 2.空间几何体的表面积与体积公式 名称 表面积 体积 几何体 柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S 锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S+S底 台体(棱台和圆台)S表面积=S+S上+S下 =3(S上+Sx+√SSh 球 、常用结论 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a,球的半径为R, ①若球为正方体的外接球,则2R=√3a ②若球为正方体的内切球,则2R=a
空间几何体的表面积与体积 一、基础知识 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝π(r＋r′)l ①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和. ②圆台、圆柱、圆锥的转化 当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆 锥，由此可得： 2．空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V＝ 1 3 Sh 台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V＝ 1 3 (S 上＋S 下＋ S上S下)h 球 S＝4πR 2 V＝ 4 3 πR 3 二、常用结论 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R， ①若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； ②若球为正方体的内切球，则 2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切,则2R=√Ea (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R √a2+b2+c (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3:1 考点一空间几何体的表面积 典例(1)2018全国卷1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O,过直线OO 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为() D.10π (2)(2019沈阳质检)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是() 视图侧视图 俯视图 A.4+42 B.4√2+2 C.8+4 解析](1)设圆柱的轴截面的边长为x, 则 得x=2E .Smk=2Sk+S=2×兀×(V22+2xV×2V =12π故选B (2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥,记为四棱锥 P-ABCD, 图所示,其中PA⊥底面ABCD,四边形ABCD是正方形,且PA=2,AB 2. PB 所以该四棱锥的侧面积S是四个直角三角形的面积和, 即S=2×(×2×2+×2x2V2)=4+4互,故选A 答案](1)B(2)A 1.(2019·武汉部分学校调研)一个几何体的三视图如图所示,则它的表面积为()
③若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝ a 2＋b 2＋c 2 . (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1. 考点一 空间几何体的表面积 [典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A．12 2π B．12π C．8 2π D．10π (2)(2019·沈阳质检)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( ) A．4＋4 2 B．4 2＋2 C．8＋4 2 D.8 3 [解析] (1)设圆柱的轴截面的边长为 x， 则 x 2＝8，得 x＝2 2， ∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×( 2) 2＋2π× 2×2 2 ＝12π.故选 B. (2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥 PABCD，如 图所示，其中 PA⊥底面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形，且 PA＝2，AB ＝2，PB＝2 2，所以该四棱锥的侧面积 S 是四个直角三角形的面积和， 即 S＝2× 1 2 ×2×2＋ 1 2 ×2×2 2 ＝4＋4 2，故选 A. [答案] (1)B (2)A [题组训练] 1．(2019·武汉部分学校调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )
正视图 侧视图 俯视图 A.28 B.24+2 C.20+45 解析:选B如图,三视图所对应的几何体是长、宽、高分别 2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABE-DCMH,则该几何体的 表面积S=(2×2)×5+(1×1×2)×2+2×1+2×√5=24+2故选 2.(2018郑州第二次质量预测)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 正视图 侧视图 俯视图 A.20+√2x B.24+( 2 C.24+(2-V2 D.20+(V2+1)x 解析:选B由三视图知,该几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1、 高为1的圆锥后所剩余的部分,所以该几何体的表面积S=6×2-m×12+x×1×2=24+ (V2-1)元,故选B 考点二空间几何体的体积 「典例(1)(2019开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形, 则该几何体的体积为()
A．28 B．24＋2 5 C．20＋4 5 D．20＋2 5 解析：选 B 如图，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为 2,2,3 的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱 ABIEDCMH，则该几何体的 表面积 S＝(2×2)×5＋ 1 2 ×1×2 ×2＋2×1＋2× 5＝24＋2 5.故选 B. 2．(2018·郑州第二次质量预测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 ( ) A．20＋ 2π B．24＋( 2－1)π C．24＋(2－ 2)π D．20＋( 2＋1)π 解析：选 B 由三视图知，该几何体是由一个棱长为 2 的正方体挖去一个底面半径为 1、 高为 1 的圆锥后所剩余的部分，所以该几何体的表面积 S＝6×2 2－π×1 2＋π×1× 2＝24＋ ( 2－1)π，故选 B. 考点二 空间几何体的体积 [典例] (1)(2019·开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形， 则该几何体的体积为( )
正视图 俯视图 (2)(2018天津高考)如图,已知正方体 ABCD-AIB1C1D1的棱长为1,则四棱锥A-BB1D1D 的体积为 「解析 (1)直接法 由题意知该几何体的直观图如图所示,该几何体为圆柱的一部分,设底面扇形 的圆心角为a,由tna=3=√5 得a=,故底面面积为××23’ 3 几何体的体积为 ×3=2π (2)法一:直接法 连接A1C1交B1D1于点E,则A1E⊥B1D1,A1E⊥BB1,则A1E⊥平 面BB1D1D 所以A1E为四棱锥A1BDD的高,且AE=Y2 矩形BB1D1D的长和宽分别为√2,1, 故H121D=5×(1×√V2) 法二:割补法 连接BD1,则四棱锥A1-BB1D1D分成两个三棱锥B-A1DD1与B-A1B1D1, 所以H4122D=VB4D1+BA1121=××1×1×1+3××1×1×1 答案](1)B(2)
A．4π B．2π C.4π 3 D．π (2)(2018·天津高考)如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，则四棱锥 A1BB1D1D 的体积为________． [解析] (1)直接法 由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形 的圆心角为 α，由 tan α＝ 3 1 ＝ 3，得 α＝ π 3 ，故底面面积为1 2 × π 3 ×2 2＝ 2π 3 ，则该 几何体的体积为2π 3 ×3＝2π. (2)法一：直接法 连接 A1C1 交 B1D1 于点 E，则 A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1，则 A1E⊥平 面 BB1D1D， 所以 A1E 为四棱锥 A1BB1D1D 的高，且 A1E＝ 2 2 ， 矩形 BB1D1D 的长和宽分别为 2，1， 故 VA1 BB1 D1 D＝ 1 3 ×(1× 2)× 2 2 ＝ 1 3 . 法二：割补法 连接 BD1，则四棱锥 A1BB1D1D 分成两个三棱锥 BA1DD1 与 BA1B1D1， 所以 VA1 BB1 D1 D＝VBA1 DD1＋VBA1 B1 D1＝ 1 3 × 1 2 ×1×1×1＋ 1 3 × 1 2 ×1×1×1＝ 1 3 . [答案] (1)B (2)1 3
[题组训练] (等体积法)如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且 AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为( 12 解析:选A三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥A-BBC1的体积,三棱锥A-B1BC1的高 为,底面积为,故其体积为 12 2(割补法)某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是() 正视图 侧视图 A.13 D.16 解析:选C所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得 到的几何体,在长方体中还原该几何体,如图中 ABCD-4′B′CD′ 所示,长方体的长、宽、高分别为4,2,3,两个三棱柱的高为2,底 面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形,故该几何体的体积V 4×2×3-2××3××2=15,故选C 3(直接法)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示,则该几何体的体积 正视图 侧视图 俯视图
[题组训练] 1.(等体积法)如图所示，已知三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长均为 1，且 AA1⊥底面 ABC，则三棱锥 B1ABC1 的体积为( ) A. 3 12 B. 3 4 C. 6 12 D. 6 4 解析：选 A 三棱锥 B1ABC1 的体积等于三棱锥 AB1BC1 的体积，三棱锥 AB1BC1 的高 为 3 2 ，底面积为1 2 ，故其体积为1 3 × 1 2 × 3 2 ＝ 3 12 . 2.(割补法)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( ) A．13 B．14 C．15 D．16 解析：选 C 所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得 到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中 ABCDA′B′C′D′ 所示，长方体的长、宽、高分别为 4,2,3，两个三棱柱的高为 2，底 面是两直角边长分别为 3 和 1.5 的直角三角形，故该几何体的体积 V ＝4×2×3－2× 1 2 ×3× 3 2 ×2＝15，故选 C. 3.(直接法)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积 为( )