空间几何体的表面积与体积 适用学科数学 适用年级 高二 适用区域新课标 课时时长(分钟)60 几何体的表面积 知识点几何体的体积 几何体的三视图与体积、表面积问 考情分考查柱、锥、台、球的体积和表面积,由原来的简单公式套用渐渐变为与 视图及柱、锥与球的接切问题相结合,难度有所增大 教学重点柱、锥、台的表面积和体积的求法。 教学难点柱体、锥体和台全的全积,台体与术体和锥体之间的转换关系 教学过程 复习预习 教师引导学生复习上节内容,并引入本节课程内容 二、知识讲解 考点易错点1柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 体积 圆柱 S侧=2h V=Sh=rh V=-Sh=rh 圆锥 Sm=trl =3(S上+S下+VSSh=2 圆台 S侧=π(n+n2)l 丌(+r2+nnh 直棱柱 S侧=Ch V= Sh 正棱锥 侧一 正棱台 Sa=nctch' v=SI+S++VSeSi)h 球 S球面=4πR2 ==πR
1 / 13 空间几何体的表面积与体积 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 新课标 课时时长（分钟） 60 知 识 点 几何体的表面积 几何体的体积 几何体的三视图与体积、表面积问题 考情分析 考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与 三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大． 教学重点 柱、锥、台的表面积和体积的求法。 教学难点 柱体、锥体和台全的全积，台体与术体和锥体之间的转换关系。 教学过程 一、复习预习 教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容 二、知识讲解 考点/易错点 1 柱、锥、台和球的侧面积和体积 面 积 体 积 圆柱 S 侧＝2πrh V＝Sh＝πr 2h 圆锥 S 侧＝πrl V＝ 1 3 Sh＝ 1 3 πr 2h＝ 1 3 πr 2 l 2－r 2 圆台 S 侧＝π(r1＋r2)l V＝ 1 3 (S 上＋S 下＋ S上S下)h＝ 1 3 π(r 2 1＋r 2 2＋r1r2)h 直棱柱 S 侧＝Ch V＝Sh 正棱锥 S 侧＝ 1 2 Ch′[来源: Z。xx。k. Com ] V＝ 1 3 Sh 正棱台 S 侧＝ 1 2 (C＋C′)h′ V＝ 1 3 (S 上＋S 下＋ S上S下)h 球 S 球面＝4πR 2 V＝ 4 3 πR 3
考点易错点2几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形;它们的表面 积等于侧面积与底面面积之和 三、例题精析 【例题1】 【题干】右图是.一个几何体的三视图(侧视图中的弧 线是半圆),则该几何体的表面积是() 正视图侧视图 A.20+3 B.24+3 俯视图 C.20+4π D.24+4π 【答案】A 【解析】根据几何体的三视图可知,该几何体是一个正方体和一个半圆柱的 组合体,其中,正方体的棱长为2,半圆柱的底面半径为1,母线长为2故该几 何体的表面积为4×5+2×兀+2×兀=20+3π 【例题2】 【题干】某几何体的正(主视图与俯视图如图所示,侧(左)视图与正视图相同 且图中的四边形都是边长为2的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积 是() 【答案】A 2/13
2 / 13 考点/易错点 2 几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面 积等于侧面积与底面面积之和． 三、例题精析 【例题 1】 【题干】右图是 一个几何体的三视图(侧视图中的弧 线是半圆)，则该几何体的表面积是( ) A . 20＋3π B. 24＋3π C. 20＋4π D. 24＋4π 【答案】A 【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体是一个正方体和一个半圆柱的 组合体，其中，正方体的棱长为 2，半圆柱的底面半径为 1，母线长为 2.故该几 何体的表面积为 4×5＋2×π＋2× 1 2 π＝20＋3π. 【例题 2】 【题干】某几何体的正(主)视图与俯视图如图所示，侧(左)视图与正视图相同， 且图中的四边形都是边长为 2 的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积 是( ) A. 20 3 B. 4 3 C. 6 D. 4 【答案】A
【解析】由三视图得几何体的直观图如图所示 其构成是一个正方体的上方除掉了一个正四棱锥, 故I=23-×22X1≈20 B 【例题3】 【题干】如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD =CD=2,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体DABC, 如图2所示 (1)求证:BC⊥平面ACD (2)求几何体DABC的体积 【解析】(1)在图中,可得AC=BC=2VE, 从而AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC, 取AC的中点O,连接DO, 则DO⊥AC,又平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,DOC平面 ADC,从而DO⊥平面ABC,∴DO⊥BC, 又AC⊥BC,AC∩DO=O,∴BC⊥平面ACD (2)由(1)可知,BC为三棱锥BACD的高,BC=2 3/13
3 / 13 【解析】由三视图得几何体的直观图如图所示， 其构成是一个正方体的上方除掉了一个正四棱锥， 故 V＝2 3－ 1 3 ×2 2×1＝ 20 3 . 【例题 3】 【题干】如图 1，在直角梯形 ABCD 中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD ＝CD＝2，将△ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC⊥平面 ABC，得到几何体 DABC， 如图 2 所示． (1)求证：BC⊥平面 ACD； (2)求几何体 DABC 的体积． 【解析】(1) 在图中，可得 AC＝BC＝2 2， 从而 AC2＋BC2＝AB2，故 AC⊥BC， 取 AC 的中点 O，连接 DO， 则 DO⊥AC，又平面 ADC⊥平面 ABC，平面 ADC∩平面 ABC＝AC，DO⊂平面 ADC，从而 DO⊥平面 ABC，∴DO⊥BC， 又 AC⊥BC，AC∩DO＝O，∴BC⊥平面 ACD. (2) 由(1)可知，BC 为三棱锥 BACD 的高，BC＝2 2，S△ACD＝2，∴VBACD＝
S△ ACD BC=×2×2V2= 3 由等体积性可知,几何体DABC的体积为42 【例题4】 【题干】一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m) 正视图 俯视 (1)试画出它的直观图 (2)求它的表面积和体积 【解析】(1)直观图如图所示 (2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角,且该几何体的体积是以 A1A,A1D1,AB1为棱的长方体的体积的 在直角梯形AA1B1B中,作BE⊥A1B1于E, 则四边形A1EB是正方形, AA=BE=1 在Rt△BEB1中,BE=1,EB1=1 4/
4 / 13 1 3 S△ACD·BC＝ 1 3 ×2×2 2＝ 4 2 3 ， 由等体积性可知，几何体 DABC 的体积为4 2 3 . 【例题 4】 【题干】 一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)： (1)试画出它的直观图； (2)求它的表面积和体积．[来源:Zx x k .Com] 【解析】(1)直观图如图所示． (2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以 A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的3 4 ， 在直角梯形 AA1B1B 中，作 BE⊥A1B1于 E， 则四边形 AA1EB 是正方形， ∴AA1＝BE＝1， 在 Rt△BEB1 中，BE＝1，EB1＝1， ∴BB1＝ 2
几何体的表面积 S=S正方称ABCD十S矩形A1B1C1D1十2S梯形AA1B1B+S矩形BB1C1C+S正方 形AA1D1D =1+2×1+2××(1+2)×1+1×2+1=7+2(m2) 几何体的体积V=×1×2×1=(m3), 该几何体的表面积为(7+√2)m2,体积为;m3 四、课堂运用 【基础】 1.棱长为2的正四面体的表面积是() 3 4 解析每个面的面积为:×2×2×5=3.:正四面体的表面积为:4V 答案C 如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图,则该多面体的体 积为() 正视图 侧视图 俯视图 280 D.140 解析根据三视图的知识及特点,可画出多面体 的形状,如图所示.这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的,所以所求多面体的体积 5/13
5 / 13 ∴几何体的表面积 S＝S 正方形 ABCD＋S 矩形 A1B1C1D1＋2S 梯形 AA1B1B＋S 矩形 BB1C1C＋S 正方 形 AA1D1D ＝1＋2×1＋2× 1 2 ×(1＋2)×1＋1× 2＋1＝7＋ 2(m2 )． ∴几何体的体积 V＝ 3 4 ×1×2×1＝ 3 2 (m3 )， ∴该几何体的表面积为(7＋ 2) m2，体积为3 2 m3 . 四、课堂运用 【基础】 1．棱长为 2 的正四面体的表面积是( )． A. 3 B．4 C．4 3 D．16 解析 每个面的面积为：1 2 ×2×2× 3 2 ＝ 3.∴正四面体的表面积为：4 3. 答案 C 2．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体 积为( )． A. 142 3 B. 284 3 C. 280 3 D. 140 3 解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体 的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积