41中高三数学第一轮复习一空间几何体的表面积和体积 命题走向 由于本讲公式多反映在考题上,预测008年高考有以下特色: (1)用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式; (2)考题可能为:与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题;与多面体和旋转 体中某些元素有关的计算问题 要点精讲 1.多面体的面积和体积公式 名称 侧面积(Sm)全面积(S) 体积(V) 棱L柱|直截面周长×1 S底·h=S直截面·h S侧+2S 柱直棱柱 h 棱锥各侧面积之和 棱 S侧+S底 S13 S底·h 锥正棱锥 棱台各侧面面积之和 h(S上底+S 棱 台|正棱台 S+S上底+下底 S 表中S表示面积,c′、c分别表示上、下底面周长,h表斜高,h’表示斜高,l表示侧棱长。 旋转体的面积和体积公式 名称圆柱 圆锥 圆台 S侧 2πrl πrl (r1+r2)1 (r1+r2)1+π(r21+r2) 2rr(1+r) r(1+r) 4πR2 r2h(即rr21) h h(rtriratr 2 R3 表中1、h分别表示母线、高,r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,n1、n2分别表示圆台上、 下底面半径,R表示半径 四.典例解析 题型1:柱体的体积和表面积 例1.一个长方体全面积是20cm2,所有棱长的和是24cm,求长方体的对角线长 解:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm 依题意得: (xy+ y=+ =x) 4(x+y+二)=24 (2) 由(2)2得:x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3) 由(3)-(1)得x2+y2+z2=16 即P=16 所以上4(cm)
41 中高三数学第一轮复习—空间几何体的表面积和体积 一．命题走向 由于本讲公式多反映在考题上，预测 008 年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； （2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转 体中某些元素有关的计算问题； 二．要点精讲 1．多面体的面积和体积公式 名称 侧面积(S 侧) 全面积(S 全) 体 积(V) 棱 柱 棱柱 直截面周长×l S 侧+2S 底 S 底·h=S 直截面·h 直棱柱 ch S 底·h 棱 锥 棱锥 各侧面积之和 S 侧+S 底 3 1 S 底·h 正棱锥 2 1 ch′ 棱 台 棱台 各侧面面积之和 S 侧+S 上底+S 下底 3 1 h(S 上底+S 下底 + S下底 S下底 ) 正棱台 2 1 (c+c′)h′ 表中 S 表示面积，c′、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h′表示斜高，l 表示侧棱长。 2．旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 S 侧 2πrl πrl π(r1+r2)l S 全 2πr(l+r) πr(l+r) π(r1+r2)l+π(r2 1+r2 2) 4πR 2 V πr 2 h(即πr 2 l) 3 1 πr 2 h 3 1 πh(r2 1+r1r2+r2 2) 3 4 πR 3 表中 l、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2 分别表示圆台 上、 下底面半径，R 表示半径。 四．典例解析 题型 1：柱体的体积和表面积 例 1．一个长方体全面积是 20cm2，所有棱长的和是 24cm，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 xcm、ycm、zcm、lcm 依题意得： + + = + + = 4( ) 24 2( ) 20 x y z xy yz zx (2) (1) 由（2）2 得：x 2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得 x 2+y2+z2=16 即 l 2=16 所以 l=4(cm)
点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表 面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、 体积之间的关系 例2.如图,三棱柱ABC-ABC中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EBC将三棱柱分 成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2= 解:设三棱柱的高为h,上下底的面积为S,体积为V,则V=V+V2=Sh E、F分别为AB、AC的中点 V1=-h(S+-S+ V2=Sh-V=-Sh E ∴V1:V2=7:5。 点评:解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系,建立起求解体积的几何元素之间的对应 关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可 题型2:锥体的体积和表面积 例3.(2006上海,19)在四棱锥P一ABCD中,底面是 边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD相交 于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角 为60°,求四棱锥P一ABCD的体积? 解:(1)在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD, 得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,∠PBO=60° 在Rt△AOB中BO= ABsin30°=1,由PO⊥BO 于是PO= bOtany60°=√3,而底面菱形的面积为2√3 四棱锥P一ABCD的体积V=×23×3 点评:本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力 方面主要考查空间想象能力 例4.(2006江西理,12)如图,在四面体ABCD中,截面AEF 经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心0,且与BC, DC分别截于E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分, 设四棱锥A一BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别是S1 必有() A. S<Sz B. SI>Sz D.S1,S2的大小关系不能确定
P A B C D O 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表 面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、 体积之间的关系。 例 2．如图，三棱柱 ABC—A1B1C1 中，若 E、F 分别为 AB、AC 的中点，平面 EB1C1 将三棱柱分 成体积为 V1、V2 的两部分，那么 V1∶V2= ____ _。 解：设三棱柱的高为 h，上下底的面积为 S，体积为 V，则 V=V1+V2＝Sh。 ∵E、F 分别为 AB、AC 的中点， ∴S△AEF= 4 1 S, V1= 3 1 h(S+ 4 1 S+ 4 1 S )= 12 7 Sh V2=Sh-V1= 12 5 Sh， ∴V1∶V2=7∶5。 点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应 关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。 题型 2：锥体的体积和表面积 例 3．（2006 上海，19）在四棱锥 P－ABCD 中，底面是 边长为 2 的菱形，∠DAB＝60 ，对角线 AC 与 BD 相交 于点 O，PO⊥平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成的角 为 60 ，求四棱锥 P－ABCD 的体积？ 解：（1）在四棱锥 P-ABCD 中，由 PO⊥平面 ABCD, 得∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角，∠PBO=60°。 在 Rt△AOB 中 BO=ABsin30°=1, 由 PO⊥BO， 于是 PO=BOtan60°= 3 ，而底面菱形的面积为 2 3 。 ∴四棱锥 P－ABCD 的体积 V= 3 1 ×2 3 × 3 =2。 点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力 方面主要考查空间想象能力。 例 4．（2006 江西理，12）如图，在四面体 ABCD 中，截面 AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心 O，且与 BC， DC 分别截于 E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分， 设四棱锥 A－BEFD 与三棱锥 A－EFC 的表面积分别是 S1，S2，则 必有（ ） A．S1S2 B．S1S2 C．S1=S2 D．S1，S2 的大小关系不能确定 D B A O C E F
解:连OA、OB、OC、OD, 则ⅤA-BEFD=Vo-ABD+Vo-ABE+Vo-BEFD VA-EFC=Vo-ADc+Vo-AEC+Vo-Ec又ⅤA-BED=ⅤA-EFC, 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故SABD+SABE+ SBEFD=SADC+SAEC +SEC又面AEF公共,故选C 点评:该题通过复合平面图形的分割过程,增加了题目处理的难度,求解棱锥的体积、 表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。 题型3:棱台的体积、面积 例5.(1)(1998全国,9)如果棱台的两底面积分别是S、S′,中截面的面积是S,那么 A.2√S。=√s+√SB.S。=√SSc.2=s+sD.S2=2ss (2)(1994全国,7)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体 积为() C.24 √3 解析:(1)解析:设该棱台为正棱台来解即可,答案为A: (2)正六棱台上下底面面积分别为:S上=6 √3 =hS上+S:·S下+S)=28√3,答案B 点评:本题考査棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解,此种 解法在解选择题时很普遍,如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等 题型6:圆柱的体积、表面积及其综合问题 例6.(2000全国理,9)一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与 侧面积的比是() 1+4 1+2丌 1+4丌 2丌 4丌 丌 解析:设圆柱的底面半径为r,高为h,则由题设知h2xr S全=22+(2丌r)2=2mP2(1+2x),S侧=h2=4x2r2, s 1 答案为A 点评:本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识
解：连 OA、OB、OC、OD， 则 VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又 VA－BEFD＝VA－EFC， 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故 SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC ＋SEFC又面 AEF 公共，故选 C 点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、 表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。 题型 3：棱台的体积、面积 例 5．（1）（1998 全国，9）如果棱台的两底面积分别是 S、S′，中截面的面积是 S0，那么 （ ） A． S = S + S 2 0 B． S0 = SS C．2S0＝S＋S′ D．S0 2＝2S′S （2）（1994 全国，7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4，高为 2，则其体 积为（ ） A．32 3 B．28 3 C．24 3 D．20 3 解析：（1）解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为 A； （2）正六棱台上下底面面积分别为：S 上＝6· 4 3 ·2 2＝6 3 ，S 下＝6· 4 3 ·4 2＝24 3 ， V 台＝ ( ) 28 3 3 1 h S上 + S上 S下 + S下 = ，答案 B。 点评：本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种 解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。 题型 6：圆柱的体积、表面积及其综合问题 例 6．（2000 全国理，9）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与 侧面积的比是（ ） A． 2 1+ 2 B． 4 1+ 4 C． 1+ 2 D． 2 1+ 4 解析：设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则由题设知 h=2πr. ∴S 全=2πr 2+（2πr）2=2πr 2（1+2π）.S 侧=h 2=4π2 r 2， ∴ 2 1+ 2 = 侧 全 S S 。答案为 A。 点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识
例7.(2003京春理13,文14)如图9—9,一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适 量的水若放入一个半径为r的实心铁球,水面高度恰好升高r,则一= (2 解析:水面高度升高r,则圆柱体积增加xR2·r。恰好是半径为r的实心铁球的体积, 因此有x}=R。故 3·答案为23 R 2 点评:本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。 题型4圆锥的体积、表面积及综合间题 例8.(1)(202京皖春,7)在△ABC中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°(如 图所示),若将△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的旋转体的体积是() 9 2 图 (2)(2001全国文,3)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为√3,则这个圆锥的 全面积是()A.3xB.3√3xC.6xD.9x 解析:(1)如图所示,该旋转体的体积为圆锥C一ADE与圆锥B-ADE体积之差,又 ∵求得AB=1 ∴V=V B-ADE 3·1 答案D (2)∵S=- absin0,∴-a2sin60° ∴a=4,a=2,a=2r, =1,S全=2丌r+xp2=2+=3丌,答案A 点评:通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是 空间想象力深化的标志,是高考从深层上考査空间想象能力的主要方向
例 7．（2003 京春理 13，文 14）如图 9—9，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适 量的水.若放入一个半径为 r 的实心铁球，水面高度恰好升高 r，则 r R = 。 解析：水面高度升高 r，则圆柱体积增加πR 2·r。恰好是半径为 r 的实心铁球的体积， 因此有 3 4 πr 3=πR 2 r。故 3 2 3 = r R 。答案为 3 2 3 。 点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。 题型 4：圆锥的体积、表面积及综合问题 例 8．（1）（2002 京皖春，7）在△ABC 中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如 图所示），若将△ABC 绕直线 BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ） A． 2 9 π B． 2 7 π C． 2 5 π D． 2 3 π （2）（2001 全国文，3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3 ，则这个圆锥的 全面积是（ ）A．3π B．3 3 π C．6π D．9π 解析：（1）如图所示，该旋转体的体积为圆锥 C—ADE 与圆锥 B—ADE 体积之差，又 ∵求得 AB=1。 ∴ 2 3 3 1 3 1 2 5 3 3 1 V =VC−ADE −VB−ADE = − = ，答案 D。 （2）∵S＝ 2 1 absinθ，∴ 2 1 a 2 sin60°＝ 3 ， ∴a 2＝4，a＝2，a=2r， ∴r＝1，S 全＝2πr＋πr 2＝2π＋π＝3π，答案 A。 点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是 空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。 图
例9.(2000全国文,12)如图所示,OA是圆锥底面中心O到母线的垂线 OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分,则母线与轴的夹角的 余弦值为 B 式入 解析:如图所示,由题意知,一丌2h=-丌R2h ∴r= 又△ABO∽△CAO r OA R ,∴OA2=r·R OA R OA R 2 v’谷案为t 点评:本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。 题型5:球的体积、表面积 例10.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半,且 AB=BC=CA=2,求球的表面积。 解:设截面圆心为O,连结OA,设球半径为R, 则OA=2x5x2=25 在R△OOA中,OA2=OA2+OO2 R- √ R 4 ∴R 64 点评:正确应用球的表面积公式,建立平面圆与球的半径之间的关系
例 9．（2000 全国文，12）如图所示，OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线， OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的 余弦值为（ ） A． 3 2 1 B． 2 1 C． 2 1 D． 4 2 1 解析：如图所示，由题意知， 3 1 πr 2h＝ 6 1 πR 2h， ∴r＝ 2 R ． 又△ABO∽△CAO， ∴ R OA OA r = ，∴OA2＝r·R＝ 4 2 2 , 2 R OA R = ， ∴cosθ＝ 4 2 1 = R OA ，答案为 D。 点评：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。 题型 5：球的体积、表面积 例 10 ． 已知过球面上 A B C , , 三 点 的 截 面 和 球 心 的 距 离 为 球 半 径 的 一 半 ， 且 AB BC CA = = = 2 ，求球的表面积。 解：设截面圆心为 O ，连结 OA ，设球半径为 R ， 则 2 3 2 3 2 3 2 3 O A = = ， 在 Rt O OA 中， 2 2 2 OA O A O O = + ， ∴ 2 2 2 2 3 1 ( ) 3 4 R R = + ， ∴ 4 3 R = ， ∴ 2 64 4 9 S R = = 。 点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。 图 图