1 0.0 Cin d 0 1. 0 C2,+1 d2 ● : : 化为行最 简形矩阵 0 0. Crr+1' d (3) 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 U 0. 0 0 U 则以矩阵（3)为增广矩阵的方程组与方程组(1)同解
6 则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。 1, 1 1 1 2, 1 2 2 , 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (3) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r n r n r r rn r r c c d c c d c c d d + + + + ⎯⎯→ 化为行最 简形矩阵
由矩阵（3)可讨论方程组（1)的解的情况 1)若d,+1≠0，则方程组无解。 2)若dt1=0,则方程组有解， 当 r=n有唯一解。 r<n 有无穷多解。 3)特别地，方程组(1)的导出组， 即对应的齐次线性方程组 一定有解。 r=n 当 有唯一的零解。 r<n有无穷多解，即有非零解。 7
7 由矩阵（3）可讨论方程组（1）的解的情况 1) 若 dr+1 0 ，则方程组无解。 2) 若 1 0, r d + = 则方程组有解， 当 r n r n = 有唯一解。 有无穷多解。 3) 特别地，方程组(1)的导出组，即对应的齐次线性方程组 一定有解。 当 r n r n = 有唯一的零解。 有无穷多解，即有非零解
举例说明消元法具体步骤： 例1：书P108例4.1.1 2X1 一 X2 + 3X3 1 例2：解线性方程组 4X1 一 2x2 + 5x3 4 2x1 4x3 0 2 -1 3 1 2 解：(A,b)= 4 -2 5 4 00 3 -1 、2 -1 4 0 2 1 -1 2 -1 3 1 0 0 -1 2 最后一行有0x3=1, 0 0 0 可知方程组无解
8 举例说明消元法具体步骤： 例1：书P108 例4.1.1 例2：解线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 4 2 5 4 2 4 0 x x x x x x x x x − + = − + = − + = 解： − − → 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 3 1 2 1 3 1 0 0 1 2 0 0 1 1 − → − − 最后一行有 3 0 1, x = 可知方程组无解。 2 1 3 1 ( , ) 4 2 5 4 2 1 4 0 A b − = − −
x1-2x2+3x3-4x4=1 x2-3+ x4=0 例3：解线性方程组 + 3X2 3x4=1 1X2 +3x3+x4=0 -2 3 -41 0 解： 1 -1 1 0 (A,b)= 1 3 0 -3 1 0 -7 3 10 -2 3 一4 1 -2 3 -4 1 0 1 -1 0 0 1 0 0 0 2 0 -2 0 0 -4 8 0 0 0 0 0 0 9
9 例3：解线性方程组 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 2 3 4 2 3 4 1 0 3 3 1 7 3 0 x x x x xxx x x x xxx − + − = − + = + − = − + + = 解： (A,b) = 1 2 3 4 1 0 1 1 1 0 0 0 2 4 0 0 0 4 8 0 − − − → − − − − − − → 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 1 1 1 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 0 1 1 1 0 1 3 0 3 1 0 7 3 1 0 − − − − −