证C为刚体的质心，A为任意一点。以质心C为坐标原点，取任意轴质Am, r=h+r心r'=r-h轴对通过A点的转动惯量为AmC?J=ZAm,r'2=EAm(r'r)福=EAm,(ri-h).(ri-h)ZAmr=EAm,(r?-2h.r+h°)reZmAm,h?ZNAm,r?-2hAm,r人m,r = 0J = Jc +mh?此定理可用于任何形状的刚体但必须是平行轴
11 证 C 为刚体的质心，A为任意一点。以质心C为坐 标原点，取 , ' = + m r h r i i i ' i i r r h = − 对通过A 点的转动惯量为 2 ' i i i J m r = 0 i i i C m r r m = = ( ) ( ) i i i i = − − m r h r h 2 2 ( 2 ) i i i i = − + m r h r h 2 2 2 i i i i i i i i = − + m r h m r m h ( ' ') i i i i = m r r 0 i i i = m r 2 C J J mh = + 此定理可用于任何形状的刚体，但必须是平行轴。h i r ' i r C 质 心 轴 A 任 意 轴 mi
四、垂直（正交）轴定理薄板状刚体对板面内两正交轴的转动惯量之和等于该刚体对通过两轴交点且垂直于板面的轴的转动惯量。这个关系称为正交轴定理。证明如下：如图。J=EAm.yiJ,=EAm,xJ, +J, =ZAm(x?+y)VAmr?imJx+J,=J此定理只适用于平面薄板状的物体，并限于板内的两轴相互垂直，Z轴与板面正交。12
12 薄板状刚体对板面内两正交轴的转动惯量之和等于该刚体 对通过两轴交点且垂直于板面的轴的转动惯量。这个关系称为 正交轴定理。证明如下：如图。 2 x i i i J m y = 2 y i i i J m x = 2 2 ( ) x y i i i i J J m x y + = + x y z J J J + = 此定理只适用于平面薄板状的物体，并限于板内的 两轴相互垂直，Z 轴与板面正交。 2 i i i = m r mi i x i y x y z i O r 四、垂直（正交）轴定理
例1 一根质量为m=1.0kg、长为l-1.0m 的均匀细棒绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以角速度0-63rads-l旋转，求转动动能。解先求细棒对转轴的dx转动惯量，然后求转动动能Ek。X将棒的中点取为坐标原2点，建立坐标系Oxy，取y轴为转轴，如图所示。在距离转轴为x处取棒元dx.其质量为mdm = -- dx113
13 例1 一根质量为m=1.0kg、长为l=1.0m 的均匀细棒， 绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以角速度=63 rads -1 旋转，求转动动能。 解 先求细棒对转轴的 转动惯量J，然后求转动 动能Ek。 将棒的中点取为坐标原 点，建立坐标系Oxy，取y 轴为转轴，如图所示。在距离转轴为x 处取棒元dx, 其质量为 x l m dm = d x dx x y O 2 l − 2 l +