教学内容 第7章 2. Theta 期权的希腊字母 3. Gamma 6. Portfolio Insurance 常光华嘴理运 e2, 希腊字母 Delta 1.希腊字母度量期权的风险,用于期权头寸的风险管理 1.Deta是期权价值对标的资产价格的偏导数,度量了 期权价值对标的资产价格变化的敏感性 ■金融机构地期权交易员 2.期权价值的决定因素包括股价、到期时间、波动率 风险利率以及执行价格,其中易变的因素有四个: 2.图示 股价:Deta, Gamma ■到期时间: Theta ■波动率:vega ■无风险利率:Rho c srir Greeks e apri. Greeks Delta令欧式股票期权 Delta令欢式股票期权 Deta与到期时间的关系 △n=N(4)-1<0 2. Delta与股价的关系 out of the money
1 第7章 期权的希腊字母 Greeks 2 教学内容 1. Delta 2. Theta 3. Gamma 4. Vega 5. Rho 6. PortfolioInsurance Greeks 3 希腊字母 1.希腊字母度量期权的风险，用于期权头寸的风险管理 期权做市商 金融机构地期权交易员 2.期权价值的决定因素包括股价、到期时间、波动率、 无风险利率以及执行价格，其中易变的因素有四个： 股价：Delta,Gamma 到期时间：Theta 波动率：Vega 无风险利率：Rho Greeks 4 Delta 1.Delta是期权价值对标的资产价格的偏导数，度量了 期权价值对标的资产价格变化的敏感性 2.图示 S(0) S ¶P D ¶ @ Greeks 5 Delta��欧式股票期权 1.利用BS公式，可以推导出 2.Delta与股价的关系 1 X (1) 1 0 Dc = N (d1) D p = N d - < S(0) Greeks 6 Delta��欧式股票期权 Delta与到期时间的关系 atthemoney inthemoney outofthemoney
Delta令令其它欧式期权 Deta命令线性 1.股指期权 一个期权搂组合,其中崩期权的标的资产都 △=eN(41)△,=c"N(4)-1 Deta的线性和 A=N(4)△,=c”N(d)-1 3.期货期权 N(d)△,=c"N(d1)-1 其中,表示组合包含第期权的数量 4.股票远期 f=S-Ke-tr-n 公eie. Greeks e2, Delta对冲 De|ta对冲◆使用期货 1.定义:建立对冲工具头寸,使得对冲工具头寸与要保 1.实,对冲工具多选用期货 护的头寸的Deta等于零 期货流动性好、交易成本低 ■Deta中性资产(或者组合)的Deta等于零 2.动态对冲 ■由于资产的Deta通常是时间的函数,因此,为了实现 ■ Delta对冲需要的标的资产头寸:H4 对冲目标,通常必动态调整对寸冲工具头寸的数量 ■Deta对冲要的期头寸:H 3.期货的Delt 1个单位衍生工具空头 ■期货合约的 Delta ys.远期合约的Deta ■Bs采用Deta对冲方法建立趣包含期权的Deta中性 c srir Greeks e apri. Greeks De|ta对冲命使用期货 heta令定义 4.Deta对冲需要的期货头寸 Theta是期权价值对时间的偏导数,度量了期权价值 ■标的资产不分红 刺间衰减的速度 H=her ■标的资产为股票指数 机波动祠,距剧期的时间是一个完全 H 的量,无需迸亍对冲 标的资产为外汇 H=Herr &Reint Greeks :i
2 Greeks 7 Delta��其它欧式期权 1.股指期权 2.外汇期权 3.期货期权 4.股票远期 (1) qT c e N d - D = (1) 1 qT p e N d - D = - (1) f r T c e N d - D = (1) 1 f r T p e N d - D = - (1) rT c e N d - D = (1) 1 rT p e N d - D = - r(T t) f S Ke - - = - Þ D =1 Greeks 8 Delta��线性 考虑一个期权投资组合，其中所有期权的标的资产都 是同一种资产，则，组合的Delta等于每种期权的 Delta的线性和 其中， 表示组合包含第I中期权的数量 1 n i i i w = D = å D wi Greeks 9 Delta对冲 1.定义：建立对冲工具头寸，使得对冲工具头寸与要保 护的头寸的Delta等于零 Delta中性：资产(或者组合)的Delta等于零 2.动态对冲 由于资产的Delta通常是时间的函数，因此，为了实现 对冲目标，通常必须动态调整对冲工具头寸的数量 3.例子：BSM随机微分方程的推导 1个单位衍生工具空头， 份股票 BS采用Delta对冲方法，建立起包含期权的Delta中性 头寸 f S ¶ ¶ Greeks 10 Delta对冲��使用期货 1.实践中，对冲工具多选用期货 期货流动性好、交易成本低 2.符号 期货到期时间： Delta对冲需要的标的资产头寸： Delta对冲需要的期货头寸： 3.期货的Delta: 期货合约的Deltav.s.远期合约的Delta HA * T HF 0 0 rT F S e * = rT e * Þ D = Greeks 11 Delta对冲��使用期货 4.Delta对冲需要的期货头寸 标的资产不分红 标的资产为股票指数 标的资产为外汇 rT HF HA e * - = (r q)T HF HA e * - - = (r rf )T HF HA e * - - = Greeks 12 Theta��定义 1.Theta是期权价值对时间的偏导数，度量了期权价值 随时间衰减的速度 2.与股价呈随机波动不同，距离到期的时间是一个完全 确定的量，无需进行对冲 t ¶P Q ¶ @
Thetas令欧式股票期权 式股票期权 S,N(d, )o S,N(d,) +rXe" N(d, 公eie. Greeks e2, Theta令令欧式股票期权 Theta与时间的关系 1. Gamma是期权的Deta对标的资产价格的偏导数, 也是期权价值对标的资产价格的二阶偏黴数 期权Deta对标的资产价格变化的敏 权价值对标的资产价格的凸性 △I=eM+Is2 3. Gamma中性与 Gamma对冲 out of the money 产校性关系的工只“例娃用极型价格与标的 公eie Greeks e apri. Greeks Gamma令令欧式股票期权 Gamma令令欧式股票期权 欧式股票期权的 Gamma Gamma与股价的关系 &Reint Greeks
3 Greeks 13 Theta��欧式股票期权 1.欧式股票期权的Theta 买权 卖权 0 1 2 ( ) ( ) 2 rT c S N d rXe N d T ¢ s - Q = - - 0 1 2 ( ) ( ) 2 rT p S N d rXe N d T ¢ s - Q = - + Greeks 14 Theta��欧式股票期权 Theta与股价的关系 X Greeks 15 Theta��欧式股票期权 Theta与时间的关系 inthemoney atthemoney outofthemoney Greeks 16 Gamma 1.Gamma是期权的Delta对标的资产价格的偏导数， 也是期权价值对标的资产价格的二阶偏倒数 2.Gamma度量了期权Delta对标的资产价格变化的敏 感性，也度量了期权价值对标的资产价格的凸性 3.Gamma中性与Gamma对冲 由于标的资产及其远期、期货合约的Gamma都等于 零，因此，不能用来改变投资组合的Gamma 要改变投资组合的Gamma，必须使用那些价格与标的 资产价格呈非线性关系的工具，例如期权 2 2 S S ¶D ¶ P G = ¶ ¶ @ 1 2 2 DP = Q gDt + GgDS Greeks 17 Gamma��欧式股票期权 欧式股票期权的Gamma 1 0 ( ) c p N d S s T ¢ G = G = Greeks 18 Gamma��欧式股票期权 Gamma与股价的关系 X
Gamma◆欧式股票期权 De|ta, Theta, Gamma的关系 Gamma与到期时间的关系 1.从BSM方程容易推导出三者的关系 6+rS△+=2S2r=r 2.如果资组合是Deta中性的,则 ■如果heta是较大的 因此, Theta可以 钙5n6m排结根楼 公eie. Greeks e2, Vega Vegas与股价的关系 1.vega是期权的价值对标的资产波动率的偏导数,度 量了期权价值对标的资产波动率的敏感性 2.Vega中性与vega对冲 因此,不来礎变组合的vega ■要变按寄 必须使用那些vega不于 3.欧式期权的vega Vega,=Vega,=S,TN(,) X Greeks Greeks vega令争与到期时间的关系 1.Rho是期权价值对无风险利率的偏导数,度量了期权 价值对利率变化的敏感性 2.标的股票不支付利的欧式期权 rho= XTe N(d,) in the ■或权 rho,=-XTe"N(,) a&>in :i
4 Greeks 19 Gamma��欧式股票期权 Gamma与到期时间的关系 inthemoney atthemoney outofthemoney Greeks 20 Delta,Theta,Gamma的关系 1.从BSM方程容易推导出三者的关系 2.如果投资组合是Delta中性的，则 如果Theta是较大的正数，Gamma就是很大的负数， 因此，Theta可以作为Gamma的替代指标使用 2 2 2 2 1 2 rS S r t S S s ¶P ¶P ¶ P + + = P ¶ ¶ ¶ 1 2 2 2 Q + rSD + s S G = rP 1 2 2 2 Q + s S G = rP Greeks 21 Vega 1.Vega是期权的价值对标的资产波动率的偏导数，度 量了期权价值对标的资产波动率的敏感性 2.Vega中性与Vega对冲 由于标的资产及其远期、期货合约的Vega都等于零， 因此，不能用来改变投资组合的Vega 要改变投资组合的Vega，必须使用那些Vega不等于 零的工具，例如期权 3.欧式期权的Vega Vega s ¶P ¶ @ 0 1 ( ) V c p ega =Vega = S T N¢d Greeks 22 Vega��与股价的关系 X Greeks 23 Vega��与到期时间的关系 inthemoney atthemoney outofthemoney Greeks 24 Rho 1.Rho是期权价值对无风险利率的偏导数，度量了期权 价值对利率变化的敏感性 2.标的股票不支付红利的欧式期权 买权 卖权 rho r ¶P ¶ @ 2 rho ( ) rT c XTe N d - = 2 rho ( ) rT p XTe N d - = - -
Rhe 外汇期权 Rho欧式股票:与股价的关系 rho,一个对应于本币利率(见上 于外币利率 公eie Rho令欧式股票买权:与到期时间的关系 搂资组合保险定义 1.资 用期权限制表的资产价格下跌的风险 股票指数爽权 公e Greeks e*.Greeks 组合保验合权 丰担含@心的产士天项产 ■股票空头头寸,数量等于卖的Deta ■执行价格 ■无风险资产,数量等于卖空股票获导的收入址费权 2.捡缰哩常常健合煳权逝亍拶资组合保险 股票头寸:△,==N(4) 3.期权合成技术动态复制 无风险资产头寸 ■似曾相识命在推导BSM过种中的Dea对冲就 2.在一定条件下复 的攒组合是自融资的 标的股票与我又动态复制无风险资 4.动态复制 ■标的资产+无风险资产 ■股指期货+无风险资产 :i
5 Greeks 25 Rho��外汇期权 1.外汇期权涉及本币利率与外币利率，因此，有两个 rho，一个对应于本币利率(见上一页)，另一个对应 于外币利率 买权 卖权 0 1 rho ( ) f r T c Te S N d - = - 0 1 rho ( ) f r T c Te S N d - = - Greeks 26 Rho��欧式股票:与股价的关系 Greeks 27 Rho��欧式股票买权:与到期时间的关系 outofthemoney atthemoney inthemoney Greeks 28 投资组合保险��定义 1.投资组合保险：用期权限制表的资产价格下跌的风险 2.股票投资组合+股票指数卖权 P/L 股价 Greeks 29 投资组合保险��合成期权 1.投资组合保险对期权的要求 流动性 执行价格 到期时间 2.基金经理常常创建合成期权进行投资组合保险 3.期权合成技术��动态复制 似曾相识��在推导BSM过程中采用的Delta对冲就是 用标的股票与买权动态复制无风险资产 4.动态复制 标的资产+无风险资产 股指期货+无风险资产 Greeks 30 投资组合保险��标的资产+无风险资产 1.欧式股票卖权=标的资产+无风险资产 股票空头头寸，数量等于卖权的Delta 无风险资产，数量等于卖空股票获得的收入加上卖权 的价值 股票头寸： 无风险资产头寸： 2.在一定条件下，复制卖权的投资组合是自融资的 (1) 1 p p N d S ¶ D = = - ¶ p p -D gS