ejot=/ot是一个旋转因子。相量2i=Lm乘以ot表示 相量m以o为角速度沿逆时针方向旋转,t=0时,幅角位于g;处。 旋转相量在虚轴上的投影 I sin@ot+o;)为正弦量的瞬时值。 m sing;为)的初始值,如图46(b)所示。所以,也可以用旋转 相量表示正弦量 例4.5已知正弦电压1(1)=141sn(ot+/3)V,u2(t=70.5 sin(ot-/6)V,写出1和a2的相量,并画出相量图。 4(→C=141/z 100/-V 70.5 12(→U z=50/v 相量图如图4.7所示 图47例4.5图
e jωt = /ωt 是一个旋转因子。 相量 乘以 /ωt 表示 相量 m以ω为角速度沿逆时针方向旋转， t=0时， 幅角位于φ i 处。 旋转相量在虚轴上的投影 I sin(ωt+φi )为正弦量的瞬时值。 Im sinφ i 为i(t)的初始值， 如图4.6(b)所示。 所以， 也可以用旋转 相量表示正弦量。 例 4.5 已知正弦电压u1 (t)=141 sin(ωt+π/3) V， u2 (t)=70.5 sin(ωt-π/6) V， 写出u1和u2的相量，并画出相量图。 I I m . . 2 = 2 u U V u U V 3 50 2 3 70.5 3 100 2 3 141 . 2 2 . 1 1 → = = → = = 相量图如图4.7 ＋1 U1 . U2 . 6 3 图 4.7 例4.5图
例4.6已知两个频率均为50Hz的正弦电压,它们的相量 分别为01=380/m/6V,2=20//3V,试求这两个电压的解 析式 解o=2πf2兀×50=314rad/s U/1l1=2U1si(ot+o1)=380√3n(314t.6V U2←→>2=√2U2si(ot+2)=20√2n(314t兀/3)V 422两个同频率正弦量之和 1.两个同频率正弦量的相量之和 设有两个同频率正弦量 u,(t)=Um sin( at+u)=v2U, Sin( at +1) u,(t)=U2m sin( at+)=v2U2 sin( ot+2) 利用三角函数,可以得出它们之和为同频率的正弦量,即 ()=1(0)+a2()=√2Usmn(ot+g)
例 4.6 已知两个频率均为50 Hz的正弦电压， 它们的相量 分别为 Ù1=380 /π/6 V, 2=220 /—π/3 V， 试求这两个电压的解 析式。 解 ω=2πf=2π×50=314 rad/s u 1= U 1 sin(ωt+φ 1 )=380 sin(314t+π/6)V u 2= U 2 sin(ωt+φ 2 )=220 sin(314t-π/3) V 4.2.2 两个同频率正弦量之和 1. 两个同频率正弦量的相量之和 设有两个同频率正弦量 2 2 2 2 1 → . U 2 → . U ( ) sin( ) 2 sin( ) ( ) sin( ) 2 sin( ) 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 = + = + = + = + u t U t U t u t U t U t m m 利用三角函数，可以得出它们之和为同频率的正弦量，即 ( ) ( ) ( ) 2 sin( ) u t = u1 t + u2 t = U t +
其中U=√(1c0s9+U2cosa2)+(1smn+U2sm2)2 U, sin +U2 sin P=arctan U, CoS ,+U, COS 可以看出,要求出同频率正弦量之和,关键是求出它的有效 值和初相。 可以证明,若v=u1+u2,则有 l1-l2 U=01+U2 (a) 2.求相量和的步骤 (b) 图48两个相量加减的三 (1)写出相应的相量,并表示为代数形式。 角形法则 (2)按复数运算法则进行相量相加,求出和的相量 (3)作相量图,按照矢量的运算法则求相量和。 如图4.8所示。图4.9表示多个相量加减的多边形法则
可以看出， 要求出同频率正弦量之和，关键是求出它的有效 值和初相。 可以证明， 若u=u 1+u 2， 则有 2. 求相量和的步骤 (1) 写出相应的相量，并表示为代数形式。 (2) 按复数运算法则进行相量相加，求出和的相量。 (3) 作相量图， 按照矢量的运算法则求相量和。 如图4．8所示。图４.9表示多个相量加减的多边形法则。 其中 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 cos cos sin sin arctan ( cos cos ) ( sin sin ) U U U U U U U U U + + = = + + + 2 . 1 . . U = U +U I 2 . I 2 . I 1 . I 2 . (a) I 2 . I 1 . －I 2 . －I 2 . I 1 . －I 2 . I 1 . (b) I 1 . ＋ 图 4.8 两个相量加减的三 角形法则
例4.7()-20√inV,v()=220、厘n(1-120°)V,求 l+la2和A 解(1)相量直接求和。 l4→>U4=220100=220+0 l→UB=220/-120=220c0(-120)+j220sm(-120) 110-103 u4+uB<→U+U=110-103=220/60 u-n<→U4UB=330+l103=380/60V l4+u2=220√2snot-60°) l1-l2=380√2(smor+30
例4.7 uA(t)=220 sinωtV， uB(t)=220 sin(ωt—120°) V， 求 u A+uB和 uA—uB 。 解 (1) 相量直接求和。 2 2 u u t V u u t V u u U U j V u u U U j V j V u U j u U j V A B A B A B A B A B A B B B A A 380 2(sin 30 ) 220 2(sin 60 ) 330 110 3 380 60 110 110 3 220 60 110 110 3 220 120 220(cos( 120 ) 220sin( 120 ) 220 0 220 0 0 0 0 . . 0 . . 0 0 0 . 0 . / / / / − = + + = − − → − = + = + → + = − = = − − → = − = − + − → = = +
(2)作相量图求解。见图410,根据等边三角形和顶角为 120°的等腰三角形的性质可以得出上述同样的结果,读者自行 分析 30 30° 120° U4 U=U1+U2+3-U 图49相量加减的多边形法则 作业:P99页(2)(3) 图4.10例47图 P148页4.6 BACK
(2) 作相量图求解。 见图4.10， 根据等边三角形和顶角为 120°的等腰三角形的性质可以得出上述同样的结果， 读者自行 分析。 120° 120° 120° 60° 30° 30° UA . UB . UC . UB . UB . UA . ＋ UB . UA . － UB . － 图 4.10 例4.7图 U1 . U2 . U3 . U2 . U . U3 . U4 . U1 . U2 . U3 . U . －U4 . = ＋ ＋ 图 4.9 相量加减的多边形法则 作业： P99页 （2） （3） P148页 4.6