这里得到了方程的两个根,通常也表示成 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法 对于题(2),有这样的解法 将方程左边用平方差公式分解因式,得 (x-1)( 必有 x-1=0或x+1= 分别解这两个一元一次方程,得 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 思考 (1)方程x2=4能否用因式分解法来解?要用因式 分解法解,首先应将方程化成什么形式? (2)方程x-1=0能否用直接开平方法来解?要用 直接开平方法解,首先应将方程化成什么形式? 做一做 试用两种方法解方程 x2-900=0. D解下列方程 (2)16x-2 第22章元二次方程·2
c解》(1)移项,得 直接开平方,得 x=±万 (2)移项,得 方程两边都除以16,得 还有其他解 16 法吗? 直接开平方,得 2解下列方程 (1)3x+2x=0 c解(1)方程左边分解因式,得 x(3x+2)=0. 听以 x=0或3x+2=0 得 (2)移项,得 方程左边分解因式,得 22·第22章 次方程
所以 0或x-3=0 读《读 什么时候两数的积为零 谈谈因式分解法解方程的依据 用因式分解法解一元二次方程时,我们先将左边化为两个一次因 式的乘积右边是0的形式,如“试一试中的(x-1)(x+1)=0;然后 由乘积等于零,得到两个因式中至少有一个等于零,从而将一元二次方 程“降次”,转化为两个一元一次方程:x-1=0和x+1=0来解 这里方程变形的依据,实际上还是关于等式的性质:两数乘积等 于零,必须且只需其中至少有一个乘数等于零.也就是说,当且仅当 a=0或b=0时,ab=0.证明如下 设a、b是两个实数,如果a=0或b=0,因为零乘以任何数都等 于零,所以ab=0 反过来,如果d=0,那么必有a=0或b=0.我们不难用反证法 证明这个结论事实上,假设结论不成立,即a≠0且b≠0,这时必有 ab≠0,与已知ab=0矛盾,所以假设不成立,即a=0或b=0 解下列方程 (1)x=16 (2)45-x2=0; (4)x2-2x=0;(5)(1-2)(1+1)=0;(6)x(x+1)-5x=0. 3解下列方程 (1)(x+1)2-4=0 (2)12(2-x)-9=0. 第22章元二次方程·23
分机两个方程都可以通过简单的变形,化为 的形式,用直接开平方法求解 c7(1)原方程可以变形为 直接开平方,得 你是这样解 的吗?还有没有 x+1=±2. 其他解法? (2)原方程可以变形为 直接开平方,得 血知道n? 小张和小林一起解方程 x(3x+2)-6(3x+2)=0. 小张将方程左边分解因式,得 (3x+2)(x-6)= 所以 3x+2=0或x-6=0 得 小林的解法是这样的: 移项,得x(3x+2)=6(3x+2) 24·第22章 次方程
方程两边都除以(3x+2),得 =6. 小林说:“我的方法多简便!”可另一个根x=-÷哪 里去了?小林的解法对吗?你能解开这个谜吗? 练习 解下列方程 (1)(x+2)2-16=0 (3)4(1-3x)2=1 (4)3(x-1)2-18=0 2.配方法 4解方程:x2+2x=5 思考 要用直接开平方法求解,首先希望能将方程化为 想两数和 的平方公式,有 的形式那么,怎么实现呢? 为此,通常设法在方程两边同时加上一个适当的数, 使左边配成一个含有未知数的完全平方式(右边是一个从中能得到什么 常数).那么,本题中,要把x2+2x=5的左边配成完全平 方式,这个“适当的数”是什么呢? c解原方程两边都加上1,得 x2+2x+1=6 (x+1)2=6