a2(A13+A23+A3+A3）=0 于是由a2≠0知A13十A23十A33十A3=0. 法2将A3十A23十A3+A8改写成1·A3+1·A28+ 1·A3+1·A3,理解成将行列式D的第3列元素全换成1后按 第3列展开而得到的，于是 a:a2 1 a A1g+A23+A3+A8= a:ar 1 as as a:1 as =0 as a:I ar 例1-10设f(x)=co十c1x十c2x2+.+cmx".若f(x)有 n+1个不同的罕点，证明f(x)是零多项式. 分析f(x)中有n十1个系数co,G1,c,要确定.若f(x)有 n+1个不同的鉴点a(i=1,2,.,n十1)，则由f(a)=0(i=1, 2,.,n十1)得到了含n+1个未知数co,c,c.和n十1个方程 的齐次线性方程组，从而可利用Cramer法则求解. 证设a,(i=1,2,.,n十1)是f(x)的n十1个不同的根， 即a,≠a,i≠》，则由f(a)=0(i=1,2,.,n+1),得 c0十c1a1十c2a+.+cna1=0 c十c1a2十c2a2+.+cna=0 co+c1a+l+c2a1十.+cna:=0 该方程组的系数行列式是范德蒙行列式的转置，即 |1aa好.ai D= 1a.a=Ⅱ(a,-a)≠0 1a+1a1.a1 由Cramer法则知，上述方程组只有惟一零解，即c,=c=.= ·17
cm=0,故f(x)=0. 五、课后习题全解（习题一） 1.利用对角线法则计算下列3阶行列式： 201 a b c (1)1-4-1； (2)b c a; -183 c a b |1111 (3)a b c (4)y +y a2 b2 c2 r+y x y 解(1)D=2×(-4)×3+0×(-1)×(-1)+ 1×1×8-2×(-1)×8-0×1×3 1×(-4)×(-1)=-4 (2)D acb +bac+cba-a-b3-c3= 3abc-a3-b3-c3 (3)D=b2+ca2+ab2-(b2-ac2-ba2= (a一b)(b-c)(c-a) (4)D=x(x+y)y+yr(x+y)+(x+y)yx- x3-y3-(x十y)3=-2(x3+y2) 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： (1)1234; (2)4132; (3)3421, (4)2413; (5)13.(2n-1)24.(2n); (6)13.(2n-1)(2n)(2n-2).2. 解(1)t=0+0+0+0=0 (2)t=0+1+1+2=4 (3)t=0+0+2+3=5 ·18
(4)t=0+0+2+1=3 (5)t=0+0+.+0+(n-1)+(n-2)+. +1+0=0,2a (6)t=0+0+.+0+0+2+4+.+(2n-2)= 2[1+2+.+(n-1)]=(n-1)n 3.写出4阶行列式中含有因子anag的项. 解4阶行列式中包含a1a2s的所有项数为4元排列 13p3p,的个数.因为p3,p,所取的排列是2,4这两个数所取的 两个全排列，从而13：p:能组成的4元排列共有2个，即 1324, 1342 这两个排列的逆序数分别为】和2，故4阶行列式中含有因子 a1a3的项为 -a11a23a32at:,a11a23a3ta42 4.计算下列各行列式： 14124 2141 (1) 1202 3-121 (2) 10520 1232 ； 0117 5062 -ab ac a100 ae (3) -161 -cd de (4) 0 0 bf -1 cf c 1' -ef 0 0 -1d 0 -72 -41 (1)D-4 20 2 r1+7m r3-10r2 0 -152 -20 +15r 0 1 1 7 ·19
00945 10015 1202 ÷9 1202 0 017 85 为÷17 153 =0 0015 011 7 0117 |2141 (2)D+n 5062 =0 1232 5062 -6c e n÷adyb-ce c÷b b c a÷ ec3÷e -111 abcdef 1-1 1 =4abcdef 11-1 (4)D按第1行展开a·（一1） b1 0 -1c1+ 0-1d -110 1·(-1)-20 c1= 0-1d ( dabcd +ab+ad+od+ 5.证明： ·20
a2 ab b2 (1)2aa+b2b=(a-b)3; 11 1 ar+by ay+bx az+br x y z (2)ay+bz az+br ax+by =(a+6)yx az+br ax+by ay+bz a2(a+1)2(a+2)2(a+3)2 6(b+1)2(b+2)2(b+3)2 (3) c2(c+1)2(c+2)2(c+3)2 =0: d(d+1)2 (d+2)2(d+3)2 11111 a b c d (4) =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)X a'bi cd (b-d)(c-d)(a+b+c+d): x-10.0 0 -1. 0 0 0 0 x . 0 0 (5) 0 0 0. x -1 amar1ar2.a2x十a1 x0十a1x-1+.+ar1x十am 【a2-b2b(a-b)62| 证 )D-。2(a-b)a-b2b= c2-c3 0 01 ·21·