例1-4计算n阶行列式 I1-m I2 D.= .xm-m 分析该行列式具有各行元素之和相等的特点，可将第2,3， ,n列都加到第1列，则第1列的元素相等，再进一步化简.对于 各列元素之和相等的行列式，也可类似处理， 平 Dci+cs x1+.十xm-mx2 na-n x1十.十xn-mx?一m ra-r x1十.十m-mx2.xn一m x+.+xn-mx:.x 0 一m.0 = ξ 0 0.m (-m)"-1(x1+.+xn-n) 例1-5设x1,x2,x3是方程x3+x+g=0的三个根，则 x1 T2 X3 行列式xx1x2=0 分析该行列式具有行（列）和相等的特点.由于x1x2,x3 是方程x3+px十q=0的三个根，从而 ·12·
x3+r+q=(x-x1)(x-x2)(x-x3)= x3-(x1十x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x-x1x2x3 可见x1+x2十x3=0,故 x1+x2十x3x2x3 Is x1 I: c1+c3 x1+x2+x3x1x2= n+x2+I3 x3 T1 0x=0 0x3x1 例1-6计算n阶行列式 a1+ba2. an D,= a a2+b2. (b1b2.bn≠0) a a2.an十bn 分析该行列式的各行含有共同的元素a1,a2,.,am,可在 保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列（称为升阶法或加边 法)，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量 的零元素. 解 a2 an 0a1+b1 D.开励 0 a1a2+b2. r41-r 0 a .am+bn ·13·
1 142 . 0 c:+ca 0 c:+ -10 0 1+公+.+ a1a2. a 0 0. 0 0 0b2.0 0 00.bn 6.(1++.+发) 例1-7计算n阶行列式 21 121 D,= 1.1 (n≥3) 12 分析该类行列式称为三对角行列式，通常的计算方法是将 它按某行（列）展开，得到D,与D。1和D,2的关系，再进一步递推 求解或归纳证明. 解 ·14
11 2 D.按第1行展开2D1十1(-1)+ 1 1 2 2D.1-Dn2 把上面的递推公式改写为 D.-D=D1-D2 利用上式继续递推，可得 D-D=D-D2=.=D2-D 211 由于D,=23D=2,所以D.-D=1.从而又有 D.=D1+1=(Dm2+1)+1= Dm2+2=.=D1+(n-1)=n+1 例1-8计算n阶行列式 11.1 x2. . D,= x2x2.x .xg 分析Dn不是范德蒙行列式，但可考虑构造n十1阶的范德 蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果，间接地求出D,的值 解构造n+1阶范德蒙行列式 ·15
1 1 . 1 1 工 x x . x f(x)= 2 x24 . tH2 1 x x xi x员 x" 将f(x)按第n+1列展开得 f（x）=A1+A21x+.+An+1x1+A+1,1x” 其中x1的系数为 A1=(-1)*1Dn=-D. 又根据范德蒙行列式的结果知 f）=x-x-x-）,x-x) 由上式可求得x」的系数为 -(x1+x2十.+xn)(x;-x,) ≥21 Dn=(x1+x2+.+xn)[(x,-x) 3>21 例1-9已知D=a:a:a,as (a:≠0)，则 as az as as as az as a7 A13+A23+A33+A43=0 分析直接求第3列元素的代数余子式Aa(i=1,2,3,4), 须要计算4个3阶行列式，工作量太大. 法1利用一列元素与另一列元素的代数余子式乘积之和等 于零的性质，得 a12A13+a2A23+a32A33+a42A43= ·16·