例6.1.5(Polya坛子抽样模型)考虑一个装有红、黄 两色球的坛子假设最初坛子中装有红、黄两色球各一个，每 次都按如下规则有放回地随机抽取：如果拿出的是红色的 球，则放回的同时再加入一个同色的球；如果拿出是黄色的 球也采取同样的法.以Xn表示第n次抽取后坛子中的红球数， 则Xo=1,且{Xn}是一个非时齐的Markov链，转移概率为 k P{Xn+1=k+1Xn=k}= n+2 17/65 n+2-k P{Xn+1=k Xn=k}= m+2 令Mn表示第n次抽取后红球所占的比例，则Mn= 并 且{Mn}是一个鞅.这是因为 E[Xn+1 Xn]=Xn+ Xn n+2 GoBack FullScreen Close Quit
17/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ~ 6.1.5 (Polya fƒ .) ƒòáCk˘!ë ¸⁄• f.bÅ– f•Ck˘!ë¸⁄•àòáßz g—UXe5Kkò£/ëѵXJ<—¥˘⁄ •ßKò£”û2\\òá”⁄•¶XJ<—¥ë⁄ •èÊ”{. ±XnL´1ngƒ f•˘•Íß KX0 = 1ßÖ{Xn}¥òáöû‡MarkovÛß=£V«è P{Xn+1 = k + 1|Xn = k} = k n + 2 P{Xn+1 = k|Xn = k} = n + 2 − k n + 2 -MnL´1ngƒ˘•§”'~ßKMn = Xn n+2ßø Ö{Mn}¥òá. ˘¥œè E[Xn+1|Xn] = Xn + Xn n + 2
y 由于{Xn}是一个Markov链，则Fn=o(X1,·,Xn)中 对Xn+1有影响的信息都包含在Xn中，所以 E[Mn+1|Fn]E[Mn+1Xn] =E E[Xn+1Xn] n+3 1 Xn 18/65 E[Xn+ n+3 n+2 Xn Mn. m+2 本例研究的模型是Polya首次引入的，它适用于描述群 体增值和传染病的传播等现象. GoBack FullScreen Close Quit
18/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit du{Xn}¥òáMarkovÛßKFn = σ(X1, · · · , Xn)• ÈXn+1kKè&E—ù¹3Xn•ß§± E[Mn+1|Fn] = E[Mn+1|Xn] = E Xn+1 n + 1 + 2 |Xn = 1 n + 3 E[Xn+1|Xn] = 1 n + 3 E[Xn + Xn n + 2 ] = Xn n + 2 = Mn. ~Ôƒ .¥Polyaƒg⁄\ßß·^u£„+ NOä⁄D/æD¬ yñ
下面的引理可以让我们由已知的鞅或下鞅构造出许多新 的下鞅 考虑定义在有穷域无穷开区间I上的函数(x),称它为 凸的，若Vx,y∈I,0<a<1,有 ap(c)+(1-a)p(y）≥p[ax+(1-a)yl (6.1.7) 成立 引理6.1.1（条件Jensen.不等式)设p(x)为实数集R上 19/65 的凸函数，随机变量M满足 (1) E[M]<o; (2) E[lp(M)川<∞. 则有 E[p(M)Fn]≥p[E[MFn] (6.1.8) 其中Fn是任意递增的σ代数列. GoBack FullScreen Close Quit
19/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit e°⁄nå±4·ÇdƽeE—Nı# e. ƒ½¬3k°çðm´mI˛ºÍϕ(x)ß°ßè ‡ße∀x, y ∈ I, 0 < α < 1ßk αϕ(x) + (1 − α)ϕ(y) ≥ ϕ[αx + (1 − α)y] (6.1.7) §·. ⁄n 6.1.1 (^áJensenÿ ™) ϕ(x)è¢Í8R˛ ‡ºÍßëÅC˛M˜v (1) E[|M|] < ∞; (2) E[|ϕ(M)|] < ∞. Kk E[ϕ(M)|Fn] ≥ ϕ[E[M|Fn]] (6.1.8) Ÿ•Fn¥?ø4OσìÍ
y 式(6.1.8)是著名的条件Jensen不等式，由它即可得到以 下定理. 定理 6.1.1设{Mn,n≥0}是关于{Fm,n≥0}的 鞅（下鞅），p(x)是R上的凸函数，且满足E[p(Mn)+]<o,n≥ 0,则{p(Mn),n≥0}是关于{Fn,n≥0}的下鞅.特别 地，{Mnl,n≥0}是下鞅；当E[M]<o,n≥0时， {M,n≥O}也是下鞅. 20/65 证明：根据定义易证，请读者利用引理6.1.1推导， GoBack FullScreen Close Quit
20/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ™(6.1.8)¥Õ¶^áJensenÿ ™ßdß=å± e½n. ½n 6.1.1 {Mn, n ≥ 0}¥'u{Fn, n ≥ 0} (e), ϕ(x)¥R˛‡ºÍßÖ˜vE[ϕ(Mn) +] < ∞, ∀n ≥ 0ßK {ϕ(Mn), n ≥ 0}¥'u{Fn, n ≥ 0}e. AO /ß{|Mn|, n ≥ 0}¥e¶E[M2 n ] < ∞, ∀n ≥ 0ûß {M2 n , n ≥ 0}è¥e. y²µä‚½¬¥yßû÷ˆ|^⁄n6.1.1Ì
y §6.2 鞅的停时定理及其应用 §6.2.1 鞅的停时定理 本节中我们所讨论的鞅，都是指关于某个随机变量序列 的鞅.所得到的结论对关于σ代数流的鞅也是成立的，为了便 于理解和应用，我们没有追求结论的一般性.对于一个关 于{Xn,n≥0}的鞅{Mn,n≥0}，易知Vn≥0，有 21/65 E[Mn]=E[Mo] (6.2.1) 我们想知道如果把此处固定的时间换作一个随机变量T, 是否仍然有 E[M分]=E[Md] (6.2.2) GoBack FullScreen Close Quit
21/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §6.2 û½n9ŸA^ §6.2.1 û½n !•·Ç§?ÿß—¥ç'u,áëÅC˛S .§(ÿÈ'uσìÍ6襧·ßè B un)⁄A^ß·ÇvkJ¶(ÿòÑ5. Èuòá' u{Xn, n ≥ 0}{Mn, n ≥ 0}ߥ∀n ≥ 0ßk E[Mn] = E[M0] (6.2.1) ·ÇéXJrd?½ûmnÜäòáëÅC˛Tß ¥ƒE,k E[MT ] = E[M0] (6.2.2)