。 例6.1.2在例6.1.1中设E[X]=4≠0，E[Xk< ∞，(k=1,2,…),则有ESnl]<∞， E[S+Fn]=E[Xi+Xn+Fn]=Sn+u i=1 显然，若u>0(μ<0)，则{Sn}是一关于{Fn}的下鞅（上 鞅) 12/65 GoBack FullScreen Close Quit
12/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ~ 6.1.2 3~6.1.1•E[Xk] = µ 6= 0, E[|Xk|] < ∞, (k = 1, 2, · · · )ßKkE[|Sn|] < ∞ß E[Sn+1|Fn] = E X n i=1 Xi + Xn+1|Fn = Sn + µ w,ßeµ > 0(µ < 0)ßK{Sn}¥ò'u{Fn}e(˛ ).
例6.1.3考虑一个公平博弈问题.设X1,X2,·独立 同分布，分布函数为 P{X=1}=P{X=-1= 于是可以将X(亿=1,2·)看做一个投硬币游戏的结果：如 果出现正面就赢1元，出现反面则输1元.假设我们按以下的 规则来赌博，每次投掷硬币之前的赌注都比上一次翻一倍， 直到赢了赌博即停.令Wn表示第n次赌博后所输（或赢）的总 13/65 钱数，则Wo=0,由于无论何时只要赢了就停止赌博，所 以Wn从赢了之后起就不再变化，于是有P{Wn+1=1Wn= 1}=1. GoBack FullScreen Close Quit
13/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ~ 6.1.3 ƒòá˙²ÆâØK. X1, X2, · · · ’· ”©Ÿß©ŸºÍè P{Xi = 1} = P{Xi = −1} = 1 2 u¥å±ÚXi(i = 1, 2 · · · )wâòá›M1iZ(JµX J—y°“I1ß—yá°K—1. b·ÇU±e 5K5ŸÆßzg›ïM1ÉcŸ5—'˛ògÄòß ÜI ŸÆ= . -WnL´1ngŸÆ§—(½I)o aÍ, KW0 = 0ßduÃÿ¤ûêáI “ éŸÆߧ ±WnlI É“ÿ2Czßu¥kP{Wn+1 = 1|Wn = 1} = 1.
y 下假设前次投掷的硬币都出现了反面，按照规则，我 们已经输了1+2+4+.+2n-1=2m-1元，即Wn= -(2”一1).假如下一次硬币出现的是正面，按规则Wn+1= 2m-(2m-1)=1,由公平的前提知道 1 P{Wn+1=1Wn=-(2”-1)}= P{Wn+1=-2”-2m+1|Wn=-(2”-1)}= 14/65 易证E[Wn+1Fnl=Wn,这里Fn=o(X1,·,Xn),从 而{Wn}是一个关于{Fn}的鞅. GoBack FullScreen Close Quit
14/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ebcng›ïM1——y á°ßUÏ5Kß· ÇƲ— 1 + 2 + 4 + · · · + 2n−1 = 2n − 1 ß=Wn = −(2n − 1). bXeògM1—y¥°ßU5KWn+1 = 2 n − (2n − 1) = 1ßd˙²cJ P{Wn+1 = 1|Wn = −(2n − 1)} = 1 2 P{Wn+1 = −2 n − 2 n + 1|Wn = −(2n − 1)} = 1 2 ¥yE[Wn+1|Fn] = WnߢpFn = σ(X1, · · · , Xn)ßl {Wn}¥òá'u{Fn}.
例6.1.4我们可以把例6.1.3再一般化.设X1,X2,·…仍 如例6.1.3假定，而每次赌博所下赌注将与前面硬币的投掷结 果有关，以Bn记第n次所下的赌注，则Bn是X1,·,Xn-1的 函数，换言之Bn是于n-1可测的（设B1为常数）.仍然令Wn同 例6.1.3之定义，Wo=0,则有 Wn=∑ BjXj j=1 15/65 假设E[B<o(这保证了每次的赌本都有一定节制)，那 么{Wn}是一个{Fn}鞅. GoBack FullScreen Close Quit
15/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ~ 6.1.4 ·Çå±r~6.1.32òÑz.X1, X2, · · · E X~6.1.3b½ß zgŸÆ§eŸ5ÚÜc°M1›ï( Jk'ß±BnP1ng§eŸ5ßKBn¥ X1, · · · , Xn−1 ºÍ, ÜÛÉBn¥Fn−1åˇ (B1è~Í).E,-Wn” ~6.1.3ɽ¬ßW0 = 0ßKk Wn = X n j=1 BjXj bE[|Bn|] < ∞(˘y zgŸ —kò½!õ)ß@ o{Wn}¥òá{Fn} .
事实上，注意到E[Wn<o(这可由E[Bn]<o得 到)，而且Wn是Fn可测的，并且 n+1 E[Wn+1|Fn]=E[>BjXjFn] j=1 =E>BjXjFn]+E[Bn+1Xn+1Fnl =1 16/65 =>BjXj+Bn+iE[Xn+Fn] j=1 =Wn+Bn+1E[Xn+1] =Wn GoBack FullScreen Close Quit
16/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit Ø¢˛ß5øE[|Wn|] < ∞ (˘ådE[|Bn|] < ∞ )ß ÖWn¥Fn åˇßøÖ E[Wn+1|Fn] = E[ X n+1 j=1 BjXj|Fn] = E[ X n j=1 BjXj|Fn] + E[Bn+1Xn+1|Fn] = X n j=1 BjXj + Bn+1E[Xn+1|Fn] = Wn + Bn+1E[Xn+1] = Wn