=Xx-x)+(x)-1(x)+1,Vm)x-x)<(2M+)…(5分) (2)不一定 (6分) 令(x)=1x2+,则f(x)=imnf(x)在[a上不能保证处处可导(10分) 得分 五、(10分)设a=[Fmd,证明∑发 sin t 评阅人 sin nt dt dt=1,+I (3分) sI sint sin nt 1= dt<nIntdt= n (5分) l2 dt (7分) (8分) 因此ax,由此得到∑发散 (10分) 得分 (15分)fxy)是{(xy)1x2+y2s1上二次 评阅人 连续可微函数,满足0faf 积分 f 解:采用极坐标x=rcs,y= raine,则 1= dr cos.---- at+ sine grde=」x以(ay d-dx(6分) ay (-,) (10分) 第5页(共6页)
第 5 页（ 共 6 页） 专业： 线 年级： 封 所在院校： 密 身份证号： 姓名： '( )( ) ( ) ( ) '( )( ) m j mj nj n j = −+ − + − f ξ η xx f x fx f xx < + (2 1 M )ε . …（5 分) （2）不一定. ……………………………（6 分) 令 2 1 ( ) nfx x n = + ，则 ( ) lim ( ) n n f x fx →∞ = 在[a b, ]上不能保证处处可导.（10 分) 五、（10 分）设 3 2 0 sin sin n nt a t dt t π = ∫ ， 证明 1 1 n n a ∞ = ∑ 发 散. 解： 3 3 3 2 2 1 2 0 0 sin sin sin sin sin sin n n nt nt nt t dt t dt t dt I I ttt π ππ ∫∫∫ = + =+ π ……. （3 分) 3 2 3 1 0 0 sin sin 2 n n nt n I t dt n tdt t π π π = <= ∫ ∫ ， ………………………（5 分) 3 3 3 22 2 2 sin 1 sin 2 8 nn n nt I t dt t dt d tt t ππ π ππ π ⎛ ⎞ ⎛⎞ π π = < ⋅ =− ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ∫∫ ∫ ………..（7 分) 3 2 2 8 8 π n n π π π ⎛ ⎞ = −< ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . …………..（8 分) 因此 2 1 1 n a n π > ，由此得到 1 1 n n a ∞ = ∑ 发散. ……………………（10 分) 六、（15 分） f (, ) x y 是{ } 2 2 ( , )| 1 xy x y + ≤ 上二次 连续可微函数，满足 2 2 2 2 2 2 f f x y x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ ，计算 积分 2 2 x y 1 22 22 xf yf I dxdy xy xy x y + ≤ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = + ⎜ ⎟ + + ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∫∫ . 解： 采用极坐标 xr yr = cos , sin θ = θ ，则 1 2 0 0 cos sin f f I dr rd x y π θ θ θ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = ⋅+ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫ 2 22 1 0 xyr f f dr dy dx x y + = ⎛ ⎞ ∂ ∂ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫ …..（6 分) 2 22 1 2 2 0 xyr f f dr dxdy x y + ≤ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫∫ 2 22 ( ) 1 2 2 0 xyr dr x y dxdy + ≤ = ∫ ∫∫ ……. （10 分) 得 分 评阅人 得 分 评阅人
= drl edpl cos2 0de (15分) 得分 七、(15分))假设函数f(x)在[O,1上连续,在(0,1)内二阶可导, 评阅人 过点AO,f(0),与点B(1,f(1)的直线与曲线y=f(x)相交于点 C(c,f(c),其中0<c<1.证明:在(0,1)内至少存在一点5,使∫"(2)=0 证明:因为f(x)在[0,c]上满足 Lagrange中值定理的条件,故存在51∈(0,c), 使f(5) f(c)-f(0) (4分) 由于C在弦AB上,故有 o)-()=0)-/0)=f()-o (7分) 从而f(5)=f()-f(0) (8分) 同理可证,存在2∈(c,1),使f(52)=f()-f(0). (11分) 由∫()=f(52),知在[,如2]上f(x)满足Roll定理的条件,所以存在 5∈(,2)c(0,1),使f"()=0 (15分) 第6页(共6页)
第 6 页（ 共 6 页） 1 2 5 22 00 0 cos sin 168 r dr d d π π = = ρ ρ θ θθ ∫∫ ∫ . ……………….（15 分) 七、（15 分））假设函数 () f x 在 [0, 1]上连续，在(0, 1) 内二阶可导， 过点 (0, (0)) A f ，与点 (1, (1)) B f 的直线与曲线 () y = f x 相交于点 Cc f c ( , ( ))，其中 0 1 < <c . 证明：在 (0, 1) 内至少存在一点 ξ ，使 () 0 f ′′ ξ = . 证明：因为 f ( ) x 在 [0, ] c 上满足 Lagrange中值定理的条件，故存在 1 ξ ∈(0, ) c ， 使 1 ( ) (0) ( ) 0 f c f f c ξ − ′ = − . …………………………………………………………………. （4 分) 由于 C 在弦 AB 上，故有 ( ) (0) (1) (0) 0 10 f cf f f c − − = − − = f (1) (0) − f . ……………….………….……….. （7 分) 从而 1 f ′( ) (1) (0) ξ = − f f . ……………………………………………...………..……….. （8分) 同理可证，存在 2 ξ ∈( , 1) c ，使 2 f ′( ) (1) (0) ξ = f f − . ………………….……..（11 分) 由 1 2 f f ′ ′ () () ξ = ξ ， 知 在 1 2 [, ] ξ ξ 上 f ′( ) x 满 足 Rolle 定理的条件，所以存在 1 2 ξ ξξ ∈ ⊂ ( , ) (0, 1) ，使 f ′′() 0 ξ = . …………………………………….………….…….（15 分) 得 分 评阅人
首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 (数学类,2010) 填空题 xx2 1)设B>a>0,则 (2)若关于x的方程k+2=1(k>0)在区间(0,+∞)内有惟一实数解,则常数 k (3)设函数f(x)在区间ab上连续由积分中值公式有()=(x-a)f(5) (a≤5≤x<b)若导数f(a)存在且非零,则lim 的值等于 x→ax 4)设(axb) 、设f(x)在(-1,1)内有定义,在x=0处可导,且f(0)=0.证明 三、设∫(x)在[0,∞)上一致连续,且对于固定的x∈[0,∞),当自然数n→∞时 f(x+n)→>0 证明:函数序列{f(x+n)n=1,2,…}在[O,上一致收敛于0 四、设D={(x,y):x2+y2<1},f(x,y)在D内连续,g(x,y)在D内连续有界,且满足 条件:(1)当x2+y2→1时,f(x,y)→>+; (2)在D中∫与g有二阶偏导数, g+9 证明:f(x,y)≥g(x,y)在D内处处成立 五、设R={(x,y):0≤x≤10≤y≤1} R={(x,y):0≤x≤1-E:0≤y≤1-E 考虑积分=dxd dxy定 义 /= lim I
首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （数学类，2010） 一、 填空题 (1) 设 β > > α 0 ，则 2 2 2 0 x x dx e e x −α −β +∞ − ∫ =_____________. (2) 若关于 x 的方程 2 1 kx k 1( 0) x += > 在区间 (0, ) +∞ 内有惟一实数解，则常数 k = _____________. (3) 设函数 f ( ) x 在区间 [,] a b 上连续 . 由积分中值公式有 () ( ) ( ) x a f t dt x a f = − ξ ∫ ( ) a xb ≤≤< ξ .若导数 f ( ) a + ′ 存在且非零，则 lim x a a x a ξ → + − − 的值等于_____________. (4) 设()6 a bc × = G GGi ，则( ) ( )( )( ) ab bc ac +×+ + GG GG GG i =_____________. 二 、 设 f ( ) x 在 ( 1,1) − 内有定义，在 x = 0 处可导，且 f (0) 0 = . 证 明 : 2 1 (0) lim 2 n n k k f f →∞ = n ⎛ ⎞ ′ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ∑ . 三、设 f ( ) x 在 [0, ) ∞ 上一致连续，且对于固定的 x∈[0, ) ∞ , 当自然数 n → ∞ 时 fx n ( )0 + → . 证明: 函数序列{ ( ) 1,2, } fx n n + = ： " 在[0,1] 上一致收敛于 0. 四、设 2 2 D xy x y = +< {( , ) : 1}， f (, ) x y 在 D 内连续， gxy (, ) 在 D 内连续有界，且满足 条件： (1) 当 2 2 x y + →1时， f xy (, ) → +∞ ； (2) 在 D 中 f 与 g 有二阶偏导数， 2 2 2 2 f f f e x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ , 2 2 2 2 g g g e x y ∂ ∂ + ≥ ∂ ∂ . 证明： f (, ) (, ) xy gxy ≥ 在 D 内处处成立. 五、设 R xy x y = ≤≤ ≤≤ {( , ) : 0 1;0 1} R xy x y {( , ) : 0 1 ;0 1 } ε = ≤ ≤− ≤ ≤− ε ε . 考虑积分 R 1 dxdy I xy = − ∫∫ ， R 1 dxdy I ε xy ε = − ∫∫ ， 定义 0 I lim I ε ε → + =
(1)证明=∑ =(x+y) (2)利用变量替换: 计算积分的值,并由此推出=∑ v=-(-x 六、已知两直线的方程:L:x=y=-,:=2=2-b (1)问:参数a,b满足什么条 件时,L与L是异面直线? (2)当L与L不重合时,求L绕L旋转所生成的旋转面丌的方程,并指出曲面r的类 型 七、设A,B均为n阶半正定实对称矩阵,且满足n-1≤ rank A≤n.证明:存在实可逆矩 阵C使得CAC和CBC均为对角阵 八、设V是复数域C上的n维线性空间,J:→C(j=1,2)是非零的线性函数,且线 性无关 证明:任意的a∈V都可表为a=a1+a2,使得 f(a)=f1(ax2),f2(a)=f2(a1)
（1） 证明 2 1 1 n I n ∞ = = ∑ ； （2）利用变量替换： 1 ( ) 2 1 ( ) 2 u xy v yx ⎧ = + ⎪⎪ ⎨ ⎪ = − ⎪⎩ 计算积分 I 的值，并由此推出 2 2 1 1 6 n n π ∞ = = ∑ . 六、已知两直线的方程： Lx y z : = = ， : 1 1 x y zb L a − ′ = = .（1）问：参数 a b, 满足什么条 件时， L 与 L′ 是异面直线？ （2）当 L 与 L′ 不重合时，求 L′ 绕 L 旋转所生成的旋转面π 的方程，并指出曲面π 的类 型. 七、设 A B, 均为n 阶半正定实对称矩阵，且满足 n An −≤ ≤ 1 rank . 证明: 存在实可逆矩 阵C 使得 T T C AC C BC 和 均为对角阵. 八、设V 是复数域C 上的 n 维线性空间， : j f V → C ( j =1,2 ) 是非零的线性函数, 且线 性无关. 证明: 任意的α ∈V 都可表为α = + α α 1 2 ,使得 1 12 f f () ( ) α = α ， 2 21 f f () ( ) α = α
首届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案 (数学类,2010) 、填空题 r- xt (1)设B>a>0,则 (2)若关于x的方程k+2=1(k>0)在区间(0.+∞)中有惟一实数解,则常数。2√ (3)设函数f(x)在区间[a上连续由积分中值公式有∫f()d=(x-a)()(as5≤x<b) 若导数f(a)存在且非零,则lim2的值等于 (4)设(axb)C=6,则[(a+b)×(b+c)(a+c)=12 、设f(x)在(-1)内有定义,在x=0处可导,且f(O)=0证明:lm∑ k)_f(0) 证:根据题目假设和泰劳展开式,我们有f(x)=f(0)+f(0)x+a(x)x,其中a(x)是x的函数, a(0)=0,且a(x)→0,当x→>0 因此,对于任意给定的E>0,存在6>0,使得a(x)<6,只要< 对于任意自然数n和k≤n,我们总有f f(0)=2+a 取N>δ-,对于上述给定的E>0,便有 <E,只要n>N,k≤n n 于是 f(0∑5≤ 只要n>N 此式又可写成 ;/(0+)s2+只要n>N 令n→∞,对上式取极限即得 第1页(共8页
第 1 页（ 共 8 页） 首届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案 （数学类，2010） 一、 填空题 （1） 设 β > > α 0 ，则 2 2 2 0 x x dx e e x −α −β +∞ − ∫ = π ( ) β α − . （2）若关于 x 的方程 2 1 kx k 1( 0) x += > 在区间(0, ) +∞ 中有惟一实数解，则常数 k = 2 3 9 . （3）设函数 f ( ) x 在区间[,] a b 上连续.由积分中值公式有 () ( ) ( ) x a f t dt x a f = − ξ ∫ ( ) a xb ≤≤< ξ . 若导数 f ( ) a + ′ 存在且非零， 则 lim x a a x a ξ → + − − 的值等于 1 2 . （4）设()6 a bc × = G GGi ，则[( ) ( )] ( ) ab bc ac +×+ + GG GG GG i =___12________. 二、设 f ( ) x 在( 1,1) − 内有定义，在 x = 0 处可导，且 f (0) 0 = .证明： ' 2 1 (0) lim 2 n n k k f f →∞ = n ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ∑ . 证： 根据题目假设和泰劳展开式，我们有 ' f ( ) (0) (0) ( ) , x f f x xx =+ +α 其中α( ) x 是 x 的函数， α(0) 0, = 且 α( ) 0, 0 x x → → 当 。 因此，对于任意给定的ε > 0 ，存在δ > 0 ，使得 α() , x x < ε δ 只要 < 。 对于任意自然数n 和 k n ≤ ，我们总有 ' 2 2 22 (0) k k kk f f n n nn α ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ = + ⎝⎠ ⎝⎠ 。 取 1 N δ− > ，对于上述给定的ε > 0 ，便有 2 , , k n Nk n n α ε ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ < >≤ ⎝ ⎠ 只要 。 于是， ' 2 22 1 11 (0) , n nn k kk k kk f f nN n nn ε = == ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −≤ > ⎝ ⎠ ∑ ∑∑ 只要 。 此式又可写成 ' 2 1 111 (0)(1 ) (1 ), 2 2 n k k f f nN n nn ε = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − +≤ + > ⎝ ⎠ ∑ 只要 。 令 n → ∞ ，对上式取极限即得