二，线性代数中的典型思路 1.题设与代数余子式或伴随矩阵A有关，一般利用行列式展开定理或公式AA=A4“=14E求解： 2.涉及两个矩阵是否可交换AB=BA?,一般用逆矩阵的定义进行分析： 3.涉及到初等变换问题.一般利用初等矩阵转化为矩阵关系式讨论： 4.求参数问题，一般可考虑是否存在行列式为零的等式 5 已知 个向量组的行列式或线性相关性，研究与之相关的向量组的行列式或线性相关性时，可考 虑向量组的线性表示，转化为矩阵求解： 6.向量组的个数等于向量的维数时，向量组的线性相关性一般可考虑向量组的组成的行列式是否为 零 7.若已知AB=0.则想到B的每一列均为Ax=三0的解.且rA)+(B)<n 8.若已知线性方程组的的线性无关解1，·，，可考虑由基础解析所含解向量的个数满足n-r(4)≥ 转化为系数矩阵秩的关系 9.n阶矩阵A可以对角化÷入(k重根)，有n-r(A,E-A)=k; 10.若己知二次型f(工1,2，)的具体形式，则一般将相关问题转化为二次型实对称矩阵的特征值，特 征向量进行分析. 三，典型例题 (一)填空题 1.()设a,3,为3为列向量，已知行列式4y-a,B-2,2=40,则行列式a,3,= (2)己知a1,02为2维列向量，矩阵A-(2a1+a2,a1-2,B-(a1,02),若行列式A-6,则B= (3)若a1:a2,ag,3,32都是4维列向量，且4阶行列式a1,a2,a3:月1=m,a1,a2,2,agl=n,则4阶行列 式a,a2,1,月+3z= 2.(1)设A,B均为n阶矩阵，A4=2,B引=-3，则2AB-1=- (2)设矩阵A= 21）,E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E,则B=一 -12 12-1 (3)设a,均为3维列向量，3T是3的转置矩阵，如果aBT 36-3 则ar3=() 24-2 (4)设A,B为3阶矩阵，且A川=3，B剧=2A+B=2,则A1+B-1 12-1 (⑤)A=a= 36-3 则AE-A川=(). -2 6
, Ç5ìÍ•;.g¥ 1. KÜìÍ{f™½äë› A∗k', òÑ|^1™–m½n½˙™A∗A = AA∗ = |A|E¶); 2. 9¸á› ¥ƒåÜAB = BA?,òÑ^_› ½¬?1©¤; 3. 9– CÜØK, òÑ|^– › =zè› 'X™?ÿ; 4. ¶ÎÍØK, òÑ僥ƒ31™è" ™; 5. Æòáï˛|1™½Ç5É'5, ÔƒÜÉÉ'ï˛|1™½Ç5É'5û, å ƒï˛|Ç5L´,=zè› ¶); 6. ï˛|áÍ uï˛ëÍû, ï˛|Ç5É'5òÑåƒï˛||§1™¥ƒè "; 7. eÆAB = 0, KéBzò˛èAx = 0), Ör(A) + r(B) ≤ n. 8. eÆÇ5êß|Ç5Ã')ξ1, · · · , ξs, åƒdƒ:)¤§¹)ï˛á͘vn−r(A) ≥ s=zèXÍ› ù'X. 9. n › Aå±Èz⇔ ∀λi(kiä), kn − r(λiE − A) = ki ; 10. eÆg.f(x1, x2, x3)‰N/™, KòÑÚÉ'ØK=zèg.¢È°› Aä, A ï˛?1©¤. n, ;.~K (ò) WòK 1. (1) α, β, γè3èï˛, Æ1™|4γ − α, β − 2γ, 2α| = 40, K1™|α, β, γ| = . (2) Æα1, α2è2ëï˛, › A = (2α1 + α2, α1 − α2), B = (α1, α2),e1™|A| = 6, K|B| = . (3) eα1, α2, α3, β1, β2—¥4ëï˛,Ö4 1™|α1, α2, α3, β1| = m, |α1, α2, β2, α3| = n,K4 1 ™|α3, α2, α1, β1 + β2| = 2. (1) A, B˛èn › ,|A| = 2, |B| = −3,K|2A∗B−1 | = . (2) › A = 2 1 −1 2 ! , Eè2 ¸†› , › B˜vBA = B + 2E, K|B| = . (3) α, β˛è3ëï˛, β T¥β=ò› ,XJαβT = 1 2 −1 3 6 −3 2 4 −2 , Kα T β = ( ). (4) A, Bè3 › ,Ö|A| = 3, |B| = 2,|A + B| = 2, K|A−1 + B−1 | = . (5) A = αβT = 1 2 −1 3 6 −3 2 4 −2 , K|λE − A| = ( ). 6
3.①)已知A,B为n阶矩阵，且A?+AB=E,r(B)=2,则秩r(AB-2BA-B)= (2)设3阶矩阵A的特征值互不相同，若行列式A=0,则A的秩为 (3)设A是n阶实对称矩阵.满足A1+2A2+42+2A=0.若(A)=r,则A+3= (4已知A是3阶实对称矩阵，满足A+243+42+2A=0,且秩r(4)=2,则4的特征值为一-，秩r(A+ E)= ()设a1=(L,2,-1,0)T,a2=(1,1,0,2)T,ag=(2,1,1,a)T,若由a1,a2,g生成的向量空间的维数 是2，则a= 21-2 (6)设A= 520 ,B是3阶非0矩阵，且AB=0,则a=(). 3a4 2-13 ()设A= 1 ,若存在秩大于1的3阶矩阵B使得BA=0,则An=(). 4(山)设A为3阶矩阵，4=3，A为A的伴随矩阵.交换A的第1行与第2行得矩阵B,则BA1=一 (2)设A为3阶矩阵，A为A的伴随矩阵，14=，则（号A)-1-8A|=( (3).(山)设4阶矩阵A与B相似，B是B的伴随矩阵，若B的特征值是1，-1,2,4，则AA= (②)(2013)设A-(a)为3阶非零矩阵，4为4的行列式，A为a的代数余子式.若a与+A=0,i,j 1.2.3.则1A= 5.()向量a1=(2,1,1,1),a2=(2,1,a,a,g=(3,2,1,a,a4=(4,3,2,1)线性相关且a≠1，则a= (2)已知向量组8=(1，-3,6，-1)7,2=(a,0,6,2)7可以由向量组a1=(1,3,0,5)7,a2=(1,2,1,47,ag= (1,1.2.3)2线性表示则a=.b= =(2,3,a,ag=(，a+2,-27若=(1,3,4可由a1,a2,ag线性表出， 线性表出，则a= (4④向量a-(1,1,1)关于R3的基a1-(1,1,1),02-(0,1,1)T,a3=(0,0,1)F的坐标为--
3.(1) ÆA, Bèn › , ÖA2 + AB = E, r(B) = 2, Kùr(AB − 2BA − B2 ) = . (2) 3 › AAäpÿÉ”.e1™|A| = 0,KAùè . (3) A¥n ¢È°› , ˜vA4 + 2A2 + A2 + 2A = 0, er(A) = r, K|A + 3E| = . (4) ÆA¥3 ¢È°› ,˜vA4+2A3+A2+2A = 0 ,Öùr(A) = 2, KAAäè ,ùr(A+ E) = . (5) α1 = (1, 2, −1, 0)T , α2 = (1, 1, 0, 2)T , α3 = (2, 1, 1, a) T ,edα1, α2, α3)§ï˛òmëÍ ¥2,Ka = . (6) A = 2 1 −2 5 2 0 3 a 4 ,B¥3 ö0› ,ÖAB = 0,Ka = ( ). (7) A = 2 −1 3 a 1 b 4 c 6 , e3ùåu13 › B¶BA = 0, KAn = ( ). 4. (1) Aè3 › , |A| = 3,A∗èAäë› . ÜA111Ü121› B,K|BA∗ | = . (2) Aè3 › ,A∗ èAäë› , |A| = 1 8 ,K|( 1 3A) −1 − 8A∗ | = ( ); (3). (1) 4 › AÜBÉq, B∗¥Bäë› , eB∗Aä¥1, −1, 2, 4, K||A|A−1 | = . (2) (2013) A = (aij )è3 ö"› ,|A|èA1™, AijèaijìÍ{f™. eaij +Aij = 0, i, j = 1, 2, 3, K|A| = . 5. (1) ï˛α1 = (2, 1, 1, 1), α2 = (2, 1, a, a), α3 = (3, 2, 1, a), α4 = (4, 3, 2, 1)Ç5É'Öa 6= 1, Ka = . (2) Æï˛|β1 = (1, −3, 6, −1)T , β2 = (a, 0, b, 2)Tå±dï˛|α1 = (1, 3, 0, 5)T , α2 = (1, 2, 1, 4)T , α3 = (1, 1, 2, 3)TÇ5L´,Ka = , b = . (3) α1 = (1, 2, 1)T , α2 = (2, 3, a) T , α3 = (1, a + 2, −2)T ,eβ1 = (1, 3, 4)Tådα1, α2, α3Ç5L—,β2 = (0, 1, 2)TÿUdα1, α2, α3Ç5L—,Ka = . (4) ï˛α = (1, 1, 1)'uR3ƒα1 = (1, 1, 1)T , α2 = (0, 1, 1)T , α3 = (0, 0, 1)TãIè . 7
(⑤)设a1=(1,2,-1,0)7,a2=(1,1,0,2)7,ag=(2,1,1,a)T若由a1:a2,a3生成的向量空间的维数 是2.则a= (6)从2的基a1=(1,0)T,a2=(1,-1)T到基品=(L,1)T,品=(1,2)T的过度矩阵为- 6.设A为3阶矩阵，1，a2是Ac=0的基础解析，3阶非零矩阵B满足AB=2B,则4+E引=- 111 7.()设A 201,A是A的伴随矩阵，则Az=0的通解是( -110/ 123 (②)己知A是4×3的非零矩阵，若B 456使得AB=0,则齐次线性方程组Ar=0的通解 789 8.()设3阶矩阵A的特征值为1,2,3.E为3阶单位矩阵，则4A-1-E=一一 (②)若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为，寺，，点，则行列式B-1-E= (3)设3阶矩阵A的特征值为2,3，.若2A川=-48，则入= (④)设4为2阶矩阵，a1,a2为线性无关的2维列向量.Aa1=0,A2=2a1+a2,则4的非零特征值 为 (6)若3维列向量a,B满足aT3=2,其中aT为a的转置，则3aT的非零特征值为- (6)设A是n阶矩阵，A=E+xy了，x与y都是n×1矩阵，且xy=2,则A的特征值是- 8
(5) α1 = (1, 2, −1, 0)T , α2 = (1, 1, 0, 2)T , α3 = (2, 1, 1, a) T ,edα1, α2, α3)§ï˛òmëÍ ¥2,Ka = . (6) lR2ƒα1 = (1, 0)T , α2 = (1, −1)Tƒβ1 = (1, 1)T , β1 = (1, 2)TL›› è . 6. Aè3 › , α1, α2¥Ax = 0ƒ:)¤, 3 ö"› B˜vAB = 2B, K|A + E| = . 7. (1) A = 1 1 1 2 0 1 −1 1 0 , A∗¥Aäë› ,KA∗x = 0œ)¥( ). (2) ÆA¥4 × 3ö"› , eB = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ¶AB = 0, K‡gÇ5êß|Ax = 0œ) ¥ . 8. (1) 3 › AAäè1, 2, 3.Eè3 ¸†› ,K|4A−1 − E| = . (2) e4 › AÜBÉq, › AAäè1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , K1™|B−1 − E| = . (3) 3 › AAäè2, 3, λ.e|2A| = −48,Kλ = . (4) Aè2 › , α1, α2èÇ5Ã'2ëï˛. Aα1 = 0, Aα2 = 2α1 + α2,KAö"Aä è . (5) e3ëï˛α, β˜vα T β = 2, Ÿ•α Tèα=ò,KβαTö"Aäè . (6) A¥n › , A = E + xyT , xÜy—¥n × 1 › ,Öx T y = 2, KAAä¥ . 8