齐次方程 1定义形如=()的微分方程称为齐次方程 2解法作变量代换u=,即y=x, =u+x d x d x 代入原式 l+x,=f(u), d x du f(u)-u 卧d 可分离变量的方程
一、齐次方程 ( ) x y f dx dy 形如 = 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 , x y 作变量代换 u = 即 y = xu, 代入原式 , dx du u x dx dy = + f (u), dx du u + x = . ( ) x f u u dx du − 即 = 可分离变量的方程 1.定义
当f()-≠O0时,得∫ =InFix r= ceo(u) (p() 将u=代入,得通解x=C 当彐un,使∫(u)-0=0,则=是新方程的解 代回原方程,得齐次方程的解y=unx
当 f (u) − u 0时, ln , ( ) C1 x f u u du = − 得 , (u) x Ce 即 = − （ = ） f u u du u ( ) ( ) 将 代入, x y u = , ( ) x y x Ce 得通解 = , 当 u0 ( ) 0, 使 f u0 − u0 = , 则 u = u0是新方程的解 代回原方程 , . 得齐次方程的解 y = u0 x
例1求解微分方程 (x-" dx +xcosdy =0 x 解令=),则d=xdm+uch, (x-ux cos u)dx +xcosu(udx+xdu)=0, coSL=一 sinu==nx+ C, 微分方程的解为sin=-lnx+C
例 1 求解微分方程 ( − cos ) + cos dy = 0. x y dx x x y x y 令 ， x y u = 则dy = xdu + udx， (x − uxcosu)dx + xcosu(udx + xdu) = 0, cos , x dx udu = − sinu = −ln x + C, sin ln x C. x y 微分方程的解为 = − + 解
dx 中y 例2求解微分方程,2 x" -xy+y 2y"-xy 解 dy 2y*-xy 29 de x'-xy+y rr 令n=y),则b=xd+udk, uterus 2u2_u 25 u+u
2 2 2 2 x xy y y xy dx dy − + − = , 1 2 2 2 − + − = x y x y x y x y , x y 令u = 则dy = xdu + udx, , 1 2 2 2 u u u u u xu − + − + = . 2 2 2 2 y xy dy x xy y dx − = − + 例 2 求解微分方程 解
112 L-2 2 u-1-In(u-2)-Inu=Inx+InC Cx √L(L 微分方程的解为(y-x)2=Cv(y-2x)3
ln ln ln , 2 1 ln( 2) 2 3 ln(u − 1) − u − − u = x + C . ( 2) 1 2 3 Cx u u u = − − 微分方程的解为 ( ) ( 2 ) . 2 3 y − x = Cy y − x ] , 1 1 2 2 ) 1 2 1 ( 2 1 [ x dx du u u u u = − + − − − −