武汉大学：《数值分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 曲线拟合 6.2-6.3 线性拟合问题、线性最小二乘问题

得到关于c1,C2,,cn的方程组 bu 81 b 12 2 g b b n-1.1 n-ln n-1 6n-1 b C g 法方程组(或正规方程组)

得到关于c1 ,c2 ,…,cn的方程组 11 12 1 1 1 12 22 2 2 2 1,1 1,2 1, 1 1 1 2 ... ... n n n n n n n n n n nn n n b b b c g b b c g b b b b c g b b b c g − − − − −                     =                     法方程组(或正规方程组)

例1数据 020406080100 f181.477.774.272470.3688 f(t)=803-0.lt 40 100t

例1 数据 t i 0 20 40 60 80 100 fi 81.4 77.7 74.2 72.4 70.3 68.8

63线性最小二乘问题 设A是mxn阶矩阵(m>n),称线性方程组 Ax=b (1) 为超定方程组;这里x∈Rb∈Rm 如果A的秩r(A)=n,称A为列满秩矩阵 记残向量r=b-Aⅹ,考虑确定一个向量x, 使‖r2=|b-Ax×|2达到最小的问题称为线 性最小二乘问题,这样的x称为方程组(1)的最 小二乘解

6.3 线性最小二乘问题 设A是m×n阶矩阵(m>n), Ax=b (1) 为超定方程组; 这里x∈Rn ,b∈Rm. 如果A的秩r(A)=n, 称A为列满秩矩阵. 记残向量r=b-Ax，考虑确定一个向量x， 使‖r‖2 2＝‖b-Ax‖2 2 , 达到最小的问题称为线 性最小二乘问题， 这样的x称为方程组(1)的最 小二乘解

63.4最小二乘解的存在惟一性 结论1:设A是m×n阶矩阵,x∈Rn,b∈Rm 由线性方程组理论可知,线性方程组 AX-b (24) 有解的充分必要条件是 r(A)r(Ab).(25)

6.3.4 最小二乘解的存在惟一性 结论1 ：设A是m×n阶矩阵，x∈Rn , b∈Rm. Ax=b (24) r (A)= r (A|b). (25)

定理637设方程组24)有解,令x是其一个 解.那么,方程组(24)的所有解的集合为 {x}+N(A).方程组(24)有惟一解的充分必要条 件是mu(A)=0这里,nul(A)表示A的核子空 间的维数

定理6.3.7 (24)有解，令x是其一个 解. 那么，方程组(24)的所有解的集合为 {x}+N(A). 方程组(24)有 惟一解的充分必要条 件是null(A)=0. 这里， null (A)表示A的核子空 间的维数