西安电子科技大学：《场论与复变函数》课程教学资源（课件讲义）第二章 解析函数 Analytic functions（主讲：付少忠）

第二章解析函数 历安毛子代枚大等 XIDIAN UNIVERSITY Analytic functions 解析函数 定义： 1°如果f(z)在z及z的某邻域内处处可导， 则称f(z)在z点解析。 2°如果f(z)在区域D内每一点解析， 则称f(z)在区域D内解析（或解析函数）： 3°如果f(z)在z点不解析， 则称z为f(z)的奇点。 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 12

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 12 第二章 解析函数 Analytic functions 二、解析函数 定义: 1   0 0 如果 在 及 的某邻域内处处可导， f z z z   0 则称 在 点解析。 f z z 2 如果 在区域 内每一点解析， f z D   则称 在区域 内解析 或解析函数 。 f z D     3   0 如果 在 点不解析， f z z 则称 为 的奇点。 z f z 0  

第二章解析函数 历些毛子代枚大票 XIDIAN UNIVERSITY Analytic functions 注意： ()f(z)在z,解析→f(z)在z可导。 反之，不成立。 (2)f(z)在区域D内解析 台f(z)在区域D内可导。 (3)f(z)在z解析→ f(z)在z的某邻域Ns(z)内解析。 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 13

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 13 第二章 解析函数 Analytic functions 注意: 1 f z z f z z  在 解析 在 可导。 0 0    2 f z D  在区域 内解析 3   0 f z z 在 解析  反之，不成立。  f z D  在区域 内可导。 f z z N z  在 的某邻域 内解析。 0 0   

第二章解析函数 历些毛子代找大学 XIDIAN UNIVERSITY Analytic functions 例3.研究f(z)=z2,g(z)=x+2y的解析性。 解：()·(z）=2z,即f(2)处处可导。 .处处解析 (2）·im g(z+Az)-g(z) 4z-→0 △z (x+Ax)+2(y+Ay)i-x-2yi lim 4z→0 △z lim △x+24yi 不存在 Ax+Ayi ∴.g(z)=x+2处处不可导，亦处处不解析 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 14 第二章 解析函数 Analytic functions 例3.     2 研究 的解析性。 f z z , g z x yi    2 解:       2 1 2 z z, f z   即 处处可导。 处处解析       0 2 z g z z g z lim  z          0 2 2 z x x y y i x yi lim  z           0 2 z x yi lim x yi          不存在    g z x yi   2 处处不可导，亦处处不解析

第二章解析函数 历些毛子科枚大学 XIDIAN UNIVERSITY Analytic functions 例4.研究f(z)=z的解析性 解：设z为复平面上任意一点 则 f(3,+4）)-f(o)_k+4z-2 △z △z （6+4区+)-品=+ △Z+△z △z 当z,=0时， f(3+4）-f(3）=0,即f(a)=0 △z △z 当z0≠0时，由例2知im 不存在 42→0△z 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 15

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 15 第二章 解析函数 Analytic functions 例4.   2 研究 的解析性 f z z  解: 0 设 为复平面上任意一点 z     2 2 0 0 0 0 f z z f z z z z z z         则  z z z z z z 0 0 0 0   z        0 0 z z z z z        0 0    0 0 z f z z f z lim ,  z       即f z  0   0 当 时， z0  0 0 2 z z lim  z    由例 知 不存在 0 当 z  0 时

第二章解析函数 历安毛子代枚大等 XIDIAN UNIVERSITY Analytic functions .lim f(+4k)-f(3】不存在 4z→0 △z 故f(z)在z不可导， 因此，f(z)=z在z=0点可导，但处处不解析. 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 16

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 16 第二章 解析函数 Analytic functions  0 0    z 0 f z z f z lim  z       不存在   0 故 在 不可导. f z z   2 因此， 在 点可导 但处处不解析 f z z z , .   0