第二章解析函数 历华毛子代枝大” XIDIAN UNIVERSITY Analytic functions 2.可导与连续的关系 f(z)在z点可导→f(z)在z点连续,反之,不成立。 证明:'(zo)存在,.ε>0,36>0,当0<4z<时 fa+4)-f3】-f(,)K8 z 记e(4)=,+)-/飞】-rk)则有rp(a)=0 .f(+k)-f()=f'()z+p(z)z 故f(名,+4)=f(2),即f(2)在z,点连续 反之:由例2可知f(z)=z处处连续,但处处不可导。 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions
场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 7 第二章 解析函数 Analytic functions 2. 可导与连续的关系 0 0 f z z f z z 在 点可导 在 点连续,反之,不成立。 证明: f z , , z 0 存在, 0 0 0 当 时 0 0 0 f z z f z f z z 0 0 0 f z z f z z f z z 记 0 0 z lim z 则有 f z z f z f z z z z 0 0 0 0 0 0 z 0 lim f z z f z , f z z 故 即 在 点连续 反之: 由例2可知 f z z 处处连续,但处处不可导
第二章解析函数 历些毛子种技大” XIDIAN UNIVERSITY Analytic functions 3.求导法则 (与高等数学相 同) () (c)'=0 c为复常数 (2)(z“)=z”,n为正整数 (3)[f(z)±g(z)]=f'(z)±g(z) (4)[f(z)g(z)]=f'(z)g(z)+f(z)g(z) 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions
场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 8 第二章 解析函数 Analytic functions 3. 求导法则 (与高等数学相 同) 1 0 c c 为复常数 1 2 n n z nz , n 为正整数 3 f z g z f z g z 4 f z g z f z g z f z g z
第二章解析函数 历些毛子种枚大票 XIDIAN UNIVERSITY Analytic functions L得-a6r2ek 82(z) 2,g(z)≠0 (6){f[g(a2)]}=f"(w)g'(z),其中w=g(a) ()因-网 其中w=f(z)与z=p(w)是互为反函数的单值 函数,且p(w)≠0 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions
场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 9 第二章 解析函数 Analytic functions 2 5 0 f z g z f z f z g z , g z g z g z 6 f g z f w g z , w g z 其中 1 7 f z w 其中w f z z w 与 是互为反函数的单值 函数,且w 0
第二章解析函数 历些毛子代枝大学 XIDIAN UNIVERSITY Analytic functions 4.微分的概念 设w=f(z)在z可导,则 Aw=f(zo+Az)-f(zo)=f(zo)4z+p(Az)Az 其中p(4)=0· P(Az)Az =0 △z 故p(4z)4z=o(4z) 称f'(z)△z为w=f(z)在z点的微分。 记作dw=f'(z) 场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 10
场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 10 第二章 解析函数 Analytic functions 4. 微分的概念 设w f z z 在 0 可导,则 w f z z f z f z z z z 0 0 0 0 0 z lim z 其中 0 0 z z z lim z 故 z z o z f z z w f z z 0 0 为 在 点的微分。 记作 dw f z dz 0 称
第二章解析函数 历些毛子种枚大票 XIDIAN UNIVERSITY Analytic functions 可见:可导分可微,且(z)= w dz z= 如果f(z)在区域D内每一点可微, 则称f(z)在D内可微 记作w=f'(z)k 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 11
场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 11 第二章 解析函数 Analytic functions 0 0 z z dw f z dz 可见:可导 可微,且 如果 在区域 内每一点可微, f z D 则称 在 内可微. f z D 记作 dw f z dz