西安电子科技大学：《场论与复变函数》课程教学资源（课件讲义）第二章 解析函数 Analytic functions（主讲：付少忠）

第二章解析函数 历安毛子代枚大学 XIDIAN UNIVERSITY Analytic functions 例5.求出f()=上的奇点 7 解≠0时，了()=是 z=0时，无定义 .不可导 故z=0是f(z)=的奇点. ∴.在除z=0的复平面内，f(z)处处解析 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 17

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 17 第二章 解析函数 Analytic functions 例5.   1 f z z 求出 的奇点  解:   2 1 z f z 0 z    时，  z  0时，无定义  不可导   1 z f z . 0 z 故 是 的奇点     在除 的复平面内， 处处解析 z f z . 0  

第二章解析函数 历安毛子代枚大等 XIDIAN UNIVERSITY Analytic functions 定理：（解析函数的运算法则） 1)在区域D内解析的函数f(z)与g(z)的 和、差、积、商（除分母为零的点） 在D内解析 2)设h=g(z)在z平面上区域D内解析， w=f()在平面上区域G内解析. 如果Vz∈D→g(z)∈G,则复合函数 w=f[g(z)]在D内解析. 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 18

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 18 第二章 解析函数 Analytic functions 定理:(解析函数的运算法则) 1 在区域 内解析的函数 与 的 D f z g z     2 设h g z z D   在 平面上区域 内解析， 和、差、积、商（除分母为零的点） 在 内解析. D w f h h G   在 平面上区域 内解析. 如果    z D g z G,   则复合函数 w f g z D       在 内解析

第二章解析函数 历些毛子代枚大票 XIDIAN UNIVERSITY Analytic functions 例如： 多项式P(z)=a,z”+…+n在z平面上解析。 有理分式 P(Z）_43”+…+ 2(z）bzm+…+bm 除使2(z)=0的点外处处解析。 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 19

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 19 第二章 解析函数 Analytic functions 例如:   0 n 多项式 在 平面上解析。 P z a z a z    n     0 0 n n m m P z a z a Q z b z b      有理分式除使 的点外处处解析。 Q z   0

第二章解析函数 历些毛子代枚大学 XIDIAN UNIVERSITY Analytic functions 第二节 函数解析的充要条件 由前节的讨论看出，用定义判别一个函 数的解析性是很复杂的，有时是很困难的。 因此，有必要寻找判别函数解析的简便方法。 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 20

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 20 第二节 函数解析的充要条件 由前节的讨论看出，用定义判别一个函 数的解析性是很复杂的，有时是很困难的。 因此,有必要寻找判别函数解析的简便方法。 第二章 解析函数 Analytic functions

第二章解析函数 历些毛子代枝大学 XIDIAN UNIVERSITY Analytic functions 定理一（函数在一点可导的充分必要条件） f(z)=u(x,)+iw(x,y)在定义区域D内一点 z=x+y可导 充要 I4(x,),(x)在点(x,)可微 2 Ou Ov Ou=_ Ov axay’ay 柯西一黎曼方程(C,-R） &x 且f'()= 或f(z)= dyay 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 21

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 21 第二章 解析函数 Analytic functions 2 u v u v , x y y x                u v v u f z i f z i x x y y               且 或 定理一(函数在一点可导的充分必要条件) f z u x, y iv x, y D        在定义区域 内一点 1 u x, y ,v x, y x, y       充要 条件 在点 可微 z x iy   可导 柯西—黎曼方程C R . .  