Chapter 2 §2.1波函数的统计解释（续11） The waue junction and Sorodinger Eguation 非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子 不会产生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全 空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现 的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比 例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数 乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 w(下，t)和Cw(行，t)描述同一状态 这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大 倍（原来的2倍）时，则相应的波动能量将为原 来的4倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波 无归一化问题。 为消除波函数有任一常数因子的这种不确定性，利 用粒子在全空间出现的几率等于一的特性，提出波函 数的归一化条件： 16
16 Chapter 2 The wave function and Schr ödinger Equation 非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子 不会产生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全 空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现 的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比 例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数 乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 ψ (r t, ) 和 描述同一状态 G C rt ψ ( , ) G 这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大 一倍（原来的 2 倍）时，则相应的波动能量将为原 来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波 无归一化问题。 为消除波函数有任一常数因子的这种不确定性，利 用粒子在全空间出现的几率等于一的特性，提出波函 数的归一化条件： §2.1 波函数的统计解释（续11 ）
Dhaster 2 §2.1波函数的统计解释（续12） The wave function and Scirdinger Eguation ∫nof,tdr=∫w(r,tfdr=l 满足此条件的波函数心行，)称为归一化波函数。 又因 ∫nlr,dr=C∫nlr,da=l 其中 V小(r,)rd红 称为归一化常数 于是o,)=(,)2= lo(r,t) ∫lr,t)2dr 归一化条件消除了波函数常数因子的一种不确定性
17 Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation 又因 2 2 2 ψ τ φτ (,) (,) 1 rt d C rt d ∞ ∞ = = ∫ ∫ K K 2 1 (,) C φ rt dτ ∞ = ∫ 其中 K 称为归一化常数 于是 ∫ ∞ == τφ φ ψω dtr tr trtr 2 2 2 ),( ),( ),(),( K K KK 归一化条件消除了波函数常数因子的一种不确定性。 1 2 = ∫∫ = ∞ ∞ d)t,r(d)t,r( τψτω K K 满足此条件的波函数 称为 ψ(r t, ) 归一化波函数。 G §2.1 波函数的统计解释（续12）
Dhaster 2 §2.1波函数的统计解释（续13） The wave function and Scirdinger Eguation Ex.1已知一维粒子状态波函数为 2 求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处 出现的几率最大。 So1ve:(1).求归一化的波函数 -4e=AV语-1 归一化常数A=a/元 2 归一化的波函数 WF.D)=(al7
18 Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation Ex.1 已知一维粒子状态波函数为 1 2 2 ( , ) exp 2 2i ψ rt A ax t ω ⎧ ⎫ = −− ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ K 求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处 出现的几率最大。 ∫∫ ∞∞− − ∞∞− = dxeAdxtr xa 2 22 2 ),(K ψ 2 2 A aπ = ( ) 2/1 = aA / π Solve: 1 归一化常数 = ( ) 1 2 2 1/2 2 2 (,) / i ax t rt a e ω ψ π − − = K (1).求归一化的波函数 归一化的波函数 §2.1 波函数的统计解释（续13）
§2.1波函数的统计解释（续14） Chapter 2 The wave function and Scirdinger Eguation (2②》几率分布：o小=w4-2e (3)由几率密度的极值条件 do,0=-&2a2e=0→ x=0 d 由于 do(x,t) dx2 <0 c=0 故x=0处，粒子出现几率最大。 19
19 Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation （2）几率分布： 2 22 ),(),( xa e a txtx − = = π ψω （3）由几率密度的极值条件 2 2 2 (,) 2 0 d xt a a x a xe dx ω π − = − = 由于 2 2 0 (,) 0 x d xt dx ω = < x = 0 故 处，粒子出现几率最大。 x=0 §2.1 波函数的统计解释（续14）
Dhaster 2 §2.1波函数的统计解释（续15） The wave function and Scirdinger Eguation 注意 (1)归一化后的波函数（行，）仍有一个模为一的因 子eò不定性(8为实函数)。 若行，)是归一化波函数，那末，w(行，)e°也是 归一化波函数，与前者描述同一几率波。 (2)只有当几率密度0（产，t)对空间绝对可积时，才 能按归一化条件∫位，)r=1进行归一化。 若⊙矿，t)=(行，t)对空间非绝对可积时，需用所 谓8函数归一化方法进行归一化。 30
20 Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation 注 意 （1）归一化后的波函数 仍有一个模为一的因 子 不定性（ δ为实函数）。 若 是归一化波函数，那末， 也是 归一化波函数，与前者描述同一几率波。 iδ e tr ),(K ψ ψ(r t, ) G ( , ) i rteδ ψ G 若 对空间非绝对可积时，需用所 谓δ函数归一化方法进行归一化。 2 ω ψ (,) (,) rt rt = K K （2）只有当几率密度 对空间绝对可积时，才 能按归一化条件 ∫ 进行归一化。 ∞ =1),( 2 dtr τψ K ω(,) r t K §2.1 波函数的统计解释（续15）