9< 注意到 Z-Z 0 0 1+ -如0,x3-0 )+…+(-)"+…(2) 改()_f(5)(z-x)” z0(5-z0) f(9) ∑ H=0 (-zn)y+(2=n)”-(得证!
1 ( ) ( ) (2) 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 + − − + + − − + − − + − = − n z z z z z z z z z z z , 1 1 1 ( ) 1 1 0 0 0 0 0 z z z z z z z z − − − − = − − − = − 注意到 1, 0 0 = − − q z z z = − − − = − 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n z z z z f z f 故 n ---(*)得证！ n n z z z f ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 − − = = +
证明设k:-z0=r,{-z≤r}cD, (不讲) z为k内任一点由Cch积分公式: f(z)= 1 ff(s) 2 i Jk5 /~<, 5-z 0 01 z-2 0 1+ 0 )"+…(3)
证明 (不讲) − = − = − k d z f i f z z k Cauchy k z r z r D ( ) 2 1 ( ) , : : ,{ } , 0 0 为 内任一点由 积分公式 设 1, 0 0 = − − q z z z 0 0 0 0 0 1 1 1 ( ) 1 1 z z z z z z z z − − − − = − − − = − ( ) ] (3) [1 ( ) 1 0 0 2 0 0 0 0 0 + − − + + − − + − − + − = n z z z z z z z z z z
不讲)两端乘以),沿着逐项积分得 2ru f()= 1rf(5) f() 2ri Jks -z 2ni 0 Z-2 f() 十 2mk(5-a)2 0 (z-x0) f(2)d 十 2mk(g-z)"+ f(x0)+f"(z0)+…+ 0 (Z-Z 0) 函数f(z)在处的ralo级数
函 数 在 处 的 级 数 两端乘以 沿 着 逐项积分得 f z z Talor z z n f z f z f z d z f i z z d z f i z z d z f i d z f i f z k i f n n k n n k k k 0 0 0 ( ) 0 0 1 0 0 2 0 0 0 ( ) ( ) (4) ! ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 2 1 ( ) , , 2 ( ) − − = + + + − + + − − + + − − + − = − = + (不讲)
级数(4)的收敛范围是以为中心,r为半径 的圆域5-z<r,圆k的半径可以任意增大 只要圆及其内部包含在内即可,∫(z)在 解析点处的Tgor级数收敛半径至少等于 从z到D的边界上各点的最短鹏离证毕 证明 (不讲)
. ! , ( ) , , (4) 0 0 0 0 从 到 的边界上各点的最短距离 证 毕 解析点 处 的 级数收敛半径至少等于 只要圆 及其内部包含在 内即可 在 的圆域 圆 的半径 可以任意增大 级 数 的收敛范围是以 为中心， 为半径 z D z Taylor k D f z z r k r z r − 证明 (不讲)
1)若f(x)有奇点,那么f(x)在解析点 z的rao展开式的收敛半等于从z到 f(z)的最近的一个奇点之间的距离即, R=zo-al (2)a在收敛圆上这是因为(z)在收敛 圆内解析所以奇点a不可能在收敛圆内 又:奇点a不可能在收敛圆外不然的话, 收敛半径还可以扩大,因此,奇点a只能在 收敛圆周上
收敛圆周上. 收敛半径还可以扩 只能在 又 奇 点 不可能在收敛圆外,不然的话, 圆内解析 所以奇点 不可能在收敛圆内. 在收敛圆上,这是因为 在收敛 大 ,因此,奇 点 , (2) f (z) = 0 − 0 0 ( ) , ( ) ( ) R z f z z Talor R z f z f z 的最近的一个奇点 之间的距离,即 的 展开式的收敛半径 等于从 到 (1) 若 有奇点, 那 么 在解析点