第九章第1节1. (1) S=3.一19（2）发散.（3）S=.(4) S=（5）发散（6）S=34X220（7）S=-/2+1.提示：S,=/n+2-/n+1-~2+1.52k-!2k-1n=12k+1（8）S=1.提示：设S,=）则3S，=再两式相减2.3合 3k-1台3k11-qcoso由Zq"e0(9) S=提示：利用Euler公式1-qeio12qcos@+gn=0eio=cosa+isin，对上式两边取实部2. (1) (-00,0)U(2,+). (2) (-0,0). (3) (-1,1)21114.提示：xn =Xnn+1n+2n+36nl14.mSn-43其中an5. (1) Sn(2)-a.33n(n+1)n=ian第2节11元1.(1)limxn(2)limXncos-limx,limx,=0+.22n->00n→>00n→00n→00V3V3(3)(4)lim x, =1+lim xn =1-limx,=lim xn = -00 . =-8，22n->000n-00n->00(5)limx,=5,limx=-51→>0n→o0第3节1.（1）收敛，（2）发散.（3）发散.（4）收敛.（5）收敛（6）收敛（7）发散（8）发散，（9）收敛（10）收敛：（11）收敛（12）收敛（13）发散（14）收敛（15）收敛，（16）收敛（17）收敛Xn=a，所以当a>1时，级数收敛，当0<a<1时，级数发散；3.(1)limnn-→00(Xn+l1当a=l，x,=级数发散n+11
第九章 第 1 节 1．（1） 4 3 S = .（2）发散.（3） 4 1 S = .（4） 2 1 S = .（5）发散.（6） 20 9 S = 3 . （7） S = − 2 +1. 提示：Sn = n + 2 − n +1 − 2 +1. （8）S =1. 提示：设 ∑ = − = n k n k k S 1 3 2 1 ，则 ∑ = − − = n k n k k S 1 1 3 2 1 3 ∑ − = + = 1 0 3 2 1 n k k k ，再两式相减. （9） 2 1 2 cos 1 cos q q q S − + − = θ θ . 提示：由 ∑ ∞ = − = 0 1 1 n i n in qe q e θ θ ，利用 Euler 公式 θ θ θ e cos isin i = + ，对上式两边取实部. 2．（1）(−∞,0) ∪ (2,+∞).（2）(−∞,0).（3）(−1,1]. 4． ∑ ∞ = = 1 6 1 n n x . 提示： 3 1 2 2 1 1 + + + − + = n n n xn . 5．(1) 3 3 4 Sn = an , 其中 ( 1) 1 + = n n an . (2) 3 4 1 ∑ = ∞ n= n n a S . 第 2 节 1．（1） 2 1 lim = →∞ n n x ， 5 cos 2 1 lim π = − →∞ n n x .（2） = +∞ →∞ n n lim x ， lim = 0 →∞ n n x . （3） = −∞ →∞ n n lim x ， = −∞ →∞ n n lim x .（4） 2 3 lim = 1+ →∞ n n x ， 2 3 lim = 1− →∞ n n x . （5） lim = 5 →∞ n n x ， lim = −5 →∞ n n x . 第 3 节 1．（1）收敛.（2）发散.（3）发散.（4）收敛.（5）收敛.（6）收敛. （7）发散.（8）发散.（9）收敛.（10）收敛.（11）收敛.（12）收敛. （13）发散.（14）收敛.（15）收敛.（16）收敛.（17）收敛. 3．(1) a x x n n n n =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →∞ lim 1 1 , 所以当a > 1时, 级数收敛，当0 < a < 1时, 级数发散； 当a = 1， 1 1 + = n xn ，级数发散. 1
(2) lim nj=ln3>1，级数收敛Xn+X(3) lim n=ln2<1，级数发散1→00Xn+4.（1）收敛.(2）发散.(3）收敛x<(118.提示：反例：xXn+n?pnln?nnp2(9. (1) S=A-f(1). (2) 提示: 0≤f'(n)<f'(E)= f(n)-f(n-1)110.提示：a,+an+2n+111.提示：证明数列(mx+1)单调增加，于是存在α>0，使得nx+/≥α12.提示：设S，=xk,令yi=St, yn=/s, -sn-I(n=2,3,4,.)-113.提示：利用不等式≤S,-S-1=11Sn-IS,S,Sn-ISnV5+1与limn+14.提示：注意Fibonacci数列的性质an+I=an+an-I与<22ann→00Sanl"an(见例2.4.4).由D'Alembert判别法可知级数收敛.设S=则2S=2"n=0 2"an+2=4S-a-a2两式相加得到3S=a,+=2″第4节1：（1）发散，（2）条件收敛（3）当x专0时条件收敛：当x=0时绝对收敛（4）发散（5）条件收敛：（6）条件收敛（7）当xe(k元-元,k元+马)时绝对收敛；当x=k元±时条件收敛；其他情况下6"66发散时绝对收敛；设x*<k元"，当p>1绝对收敛，当p≤1时发散（8）当x=22（9）当x<2时绝对收敛，当x≥2时发散（10）条件收敛（11）当x<1时绝对收敛；2
(2) lim 1 ln3 1 1 = > ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →∞ n n n x x n , 级数收敛. (3) lim 1 ln 2 1 1 = < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →∞ n n n x x n , 级数发散. 4．(1) 收敛. (2) 发散. (3) 收敛. 8．提示： ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ + p n p n n x n x 2 1 2 1 ；反例： n n xn 2 ln 1 = . 9．(1) S = A − f (1) . (2) 提示: 0 ≤ f '(n) < f '(ξ ) = f (n) − f (n −1) . 10．提示: 1 1 2 + + + = n an an . 11．提示: 证明数列{nxn+1}单调增加, 于是存在α > 0 , 使得nxn+1 ≥ α . 12．提示: 设 ∑ , 令 ∞ = = k 1 n k S x 1 S1 y = , ( 2,3,4, ) yn = Sn − Sn−1 n = " . 13．提示: 利用不等式 n n n n n n n n S S S S S S S x 1 1 1 1 1 2 = − − ≤ − − − . 14. 提示: 注意 Fibonacci 数列的性质 an+1 = an + an−1 与 2 2 5 1 lim 1 < + = + →∞ n n n a a (见例 2.4.4). 由 D’Alembert 判别法可知级数收敛. 设 ∑ ∞ = = n 1 2n n a S , 则 ∑ ∞ = + = 0 1 2 2 n n n a S , 两式相加得到 ∑ ∞ = + = + 1 2 1 2 3 n n n a S a 1 2 = 4S − a − a . 第 4 节 1．（1）发散.（2）条件收敛.（3）当 x ≠ 0 时条件收敛; 当 x = 0时绝对收敛. （4）发散.（5）条件收敛.（6）条件收敛. （7）当 ) 6 , 6 ( π π π x ∈ kπ − k + 时绝对收敛; 当 6 π x = kπ ± 时条件收敛; 其他情况下 发散. （8）当 2 kπ x = 时绝对收敛; 设 2 kπ x ≠ , 当 p > 1 绝对收敛, 当 p ≤ 1时发散. （9）当 x < 2 时绝对收敛, 当 x ≥ 2 时发散.（10）条件收敛. （11）当 x < 1时绝对收敛; 2
[p>或p=1,q>1绝对收敛当x=1时，其他情况发散绝对收敛[p>或p=1,q>1当x=-1时,p=1,q≤1或0<p<1或p=0,q>0条件收敛；发散其他情况当x>1时发散（12）当a>1时绝对收敛：当0<a≤1时条件收敛n3.提示：当n→80时，+...+x,→02[司(-1)n+1(-1)2+112y，不一定收敛.反例：x5.ynnInnn=l二kn=2k2(-1)"x,不一定收敛.反例：6X1=n=2k-1(k27.收敛；提示：limx，=α>0>012=2(8.提示：，利用 Abel 判别法na-ao=in%=ina9.提示：令a,=x,,b,=1，则Bk=k，利用Abel变换得到-Zk(x -).F=nx.Xkk=lk=l10.提示：由于Zy,收敛,>0,E,n>,+<8、由于Jn=1k=n+1设xZ(xn+1一x)绝对收敛，所以收敛,于是可知(,)有界。设-x|=AH=21=2xn|≤B，令Bk=yn+1+yn+2++yn+k，利用Abel变换得到Z(xk+1 -X)B<(A+ B)x.BZxyklk=n+lf"(0)111.提示：首先有f(0)=0,F(0)=0，于是F2n23
当 x = 1时, ; ⎩ ⎨ ⎧ > = > 其他情况 p 1或p 1, q 1 发散 绝对收敛 当 x = −1时, ; ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≤ < < = > > = > 其他情况 或 或 或 1, 1 0 1 0, 0 1 1, 1 p q p p q p p q 发散 条件收敛 绝对收敛 当 x > 1时发散. （12）当a > 1时绝对收敛; 当0 < a ≤ 1时条件收敛. 3. 提示: 当n → ∞时, 0 2 1 2 2 < + + + → +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ n ⎡ n n n x x x x n " . 5. ∑ 不一定收敛. 反例: ∞ n=1 n y n x n n 1 ( 1) + − = , n n y n n ( 1) 1 1 + − = + . 6. ∑ 不一定收敛. 反例: ∞ = + − 1 1 ( 1) n n n x ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − = = 2 1 1 2 1 2 n k k n k k xn . 7. 收敛; 提示: lim = > 0 →∞ n α n x . 8. 提示: ∑ ∞ n=1 n n x α ) 1 ( 1 ∑ 0 0 ∞ = − = ⋅ n n n n x α α α , 利用 Abel 判别法. 9. 提示: 令an = xn ,bn = 1, 则 B k k = , 利用 Abel 变换得到 ∑ ∑ . = − = = − + − n k n k k n k k x nx k x x 1 1 1 1 ( ) 10. 提 示 : 由 于 ∑ 收 敛 , ∞ n=1 n y 0, , , N : + ∀ε > ∃N ∀n > N ∀p ∈ ∑ < ε + = + n p k n k y 1 . 由 于 ∑ 绝对收敛, 所以收敛,于是可知 ∞ = + − 2 1 ( ) n n n x x {xn } 有界. 设 x x A n ∑ n − n = ∞ = + 2 1 , xn ≤ B , 令 k n n n k B y y y = +1 + +2 +"+ + , 利用 Abel 变换得到 ( ) ( )ε 1 1 1 x y x B x x B A B n p k n p p k k k n p k n ∑ k k = − ∑ − < + + = + + + = + . 11. 提示: 首先有 f (0) = 0 , f '(0) = 0 , 于是 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n f 1 ～ 2 1 2 "(0) n f ⋅ . 3
12.提示：反证法令y,=(1+一)xn，若Zy,收敛，则由Abel判别法，Exn1n=ln=l2ny收敛=in+1113.提示：由limn>0，可知数列(x当n充分大时是单调减少的；同n->00(Xn+)时存在β>α>0，当n充分大时，成立>1+B>(1+-)α这说明数列nnXn+1当n充分大时也是单调减少的，于是nx，≤A，从而数列x趋于零ux11111114.-ln2.提示：设b，=1++-Inn,Cn..32n2n+1n+2nn (-1)n+11111111.1的更序级数1+.的部分和数列为(S.A325749116n1-1则有S3n=b4n-bn-2c +21n2. 再利用 limb,=与 limc,= ln2.n->o10第5节1.（1）收敛（2）发散（3）收敛.（4）收敛.（5）当x>1时收敛，当x≤1时发散（6）收敛（7）当x<2时收敛，当x≥2时发散（8）收敛。（9）收敛（10）当min(p,2)>1时收敛，当min(p,2q)≤1时发散2 ：提示(-)-21.n+2(2):提示：.k(k +1)23n=k3-1_2n2+n+1(3)2.提示：k=2k3+133 n(n-1)3.提示：设cosx=1-αn，则0<αnan4.提示：设tan(则lim2+a,)=1+αn4n->00an4
12．提示： 反证法. 令 n n x n y ) 1 = (1+ , 若 ∑ 收敛, 则由 Abel 判别法, ∞ n=1 n y ∑ = ∞ n=1 n x ∑ ∞ n=1 +1 n y n n 收敛. 13. 提示: 由 lim 1 0 1 >⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →∞ n n n x x n , 可知数列{xn }当 充分大时是单调减少的; 同 时存在 n β > α > 0 , 当 n 充分大时, 成立 β α ) 1 1 (1 x 1 n n x n n > + > + + , 这说明数列 {n xn } α 当n充分大时也是单调减少的, 于是nα xn ≤ A , 从而数列{xn }趋于零. 14. ln 2 2 3 . 提示: 设 = 1 + bn 2 1 + 3 1 + . + n 1 - ln n, n n n cn 2 1 2 1 1 1 + + + + + = " , ∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) n n n 的更序级数 1 + 3 1 - 2 1 + 5 1 + 7 1 - 4 1 + 9 1 + 11 1 - 6 1 + . 的部分和数列为 , 则有 { } Sn 2ln 2 2 1 S3n = b4n − bn − cn + . 再利用 = γ →∞ n n lim b 与 lim = ln 2 →∞ n n c . 第 5 节 1．（1）收敛.（2）发散.（3）收敛.（4）收敛.（5）当 时收敛，当 时发 散.（6）收敛.（7）当 x > 1 x ≤ 1 x < 2 时收敛，当 x ≥ 2 时发散.（8）收敛.（9）收敛. （10）当min( p,2q) > 1时收敛，当min( p,2q) ≤ 1时发散. 2. (1) 2 1 ; 提示： ∏ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − n k 2 k 2 1 1 n n 1 2 1 + = ⋅ . (2) 3 1 ; 提示： ∏ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − n k 2 k(k 1) 2 1 n n 2 3 1 + = ⋅ . (3) 3 2 ; 提示： ∏ = + − n k k k 2 3 3 1 1 ( 1) 1 3 2 2 − + + = ⋅ n n n n . 3. 提示： 设 n n cos x = 1−α , 则 2 2 1 0 n n < α < x . 4. 提示： 设 n n a α π + ) = 1+ 4 tan( , 则 lim = 2 →∞ n n n a α . 4
5.提示：利用Ip，发散到0的充分必要条件是≥inp,发散到-n=ln=l(-q)I(1-q2)(1-q2kI1(1+qh)=6.提示：(-q)(-q)(-q-)(-q-)k=l5
5．提示：利用∏ 发散到 的充分必要条件是 发散到 ∞ n=1 pn 0 ∑ ∞ =1 ln n pn − ∞ . 6. 提示： ∏= + n k k q 2 1 (1 ) ∏ ∏ = = − − = n k k n k k q q 2 1 2 1 2 (1 ) (1 ) ∏ ∏ ∏ = = − = − ⋅ − − = n k n k k k n k k q q q 1 1 2 2 1 2 1 2 (1 ) (1 ) (1 ) ∏ ∏ = − = + − − = n k k n k n k q q 1 2 1 2 1 2 (1 ) (1 ) . 5