习题11.1证明定理11.1.1：距离满足正定性、对称性和三角不等式。1.2.证明：若R”中的点列（x）收敛，则其极限是唯一的。设R"中的点列(x}和(y收敛，证明：对于任何实数α,β，成立等式3.lim(ox+By)=αlimx+βlimyk。4.求下列R中子集的内部、边界与闭包：(1) S= ((x,y)/x>0,y+ 0) :(2) S= (x,y)10<x2 +y2≤1) :1(3) S= (x,y)/0<x≤1, y=sin-5.求下列点集的全部聚点：kK=1(1) S=k+12k元2k元(2) S=sinCOs55(3) S= (x,y)/ (x2 +y)(y2 -x2+1)≤0) 。证明定理11.1.3：x是点集S（CR"）的聚点的充分必要条件是：存在S中的点列(x)，满6.足x*x（k=1,2,..)，且limx=x。设U是R2上的开集，是否U的每个点都是它的聚点。对于R?中的闭集又如何呢？A8证明SR"的所有内点组成的点集S°必是开集。证明SR"的闭包S=SUS'必是闭集。9.10.设E,FCR"。若E为开集，F为闭集，证明：EIF为开集，FIE为闭集。11.证明Cantor闭区域套定理。12.举例说明：满足limxk+1一x/=0的点列(x)不一定收敛。13.设E，FCR为紧集，证明ENF和EUF为紧集。14.用定义证明点集(0)U)k =1,2,..是R中的紧集。(k15.应用Heine-Borel定理直接证明：R”上有界无限点集必有聚点。习题11.21.确定下列函数的自然定义域：x111(2)u:(1) u=ln(y-x)+Ji- x2- y?(3) u= /R2-x2- y2-22 +/x2 + y2 +22 -r2(R>r):(4)u=arcsinx? + y?1
习 题 11.1 1. 证明定理 11.1.1： 距离满足正定性、对称性和三角不等式。 2. 证明：若 n R 中的点列{xk }收敛，则其极限是唯一的。 3. 设 n R 中的点列{xk }和{yk }收敛，证明：对于任何实数α, β ，成立等式 lim( ) k k k αx + βy →∞ = α k k x →∞ lim + β k k y →∞ lim 。 4. 求下列 2 R 中子集的内部、边界与闭包： （1）S = {(x, y)| x > 0, y ≠ 0}； （2）S = ≤ ； 2 2 {(x, y) | 0 < x + y 1} （3）S = {(x, y) | 0 < x ≤ } 1 1, sin x y = 。 5. 求下列点集的全部聚点： （1）S = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + − 1,2," 1 ( 1) k k k k ； （2）S = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1,2," 5 2 , sin 5 2 cos k kπ kπ ； （3）S = {( , ) | ( )( 1) ≤ 。 2 2 2 2 x y x + y y − x + 0} 6. 证明定理 11.1.3：x是点集S（ n ⊂ R ）的聚点的充分必要条件是：存在S中的点列{xk}, 满 足xk ≠ x（ k =1,2,"），且 x k→∞ lim k = x 。 7. 设 U 是 2 R 上的开集，是否 U 的每个点都是它的聚点。对于 2 R 中的闭集又如何呢？ 8. 证明S ⊂ Rn 的所有内点组成的点集SD 必是开集。 9. 证明S ⊂ Rn 的闭包 S = S ∪S′必是闭集。 10. 设 。若E 为开集，F 为闭集，证明： 为开集， 为闭集。 n E, F ⊂ R E \ F F \ E 11. 证明 Cantor 闭区域套定理。 12. 举例说明：满足 lim 0 +1 − = →∞ k k k x x 的点列{xk}不一定收敛。 13. 设 为紧集，证明 和 为紧集。 n E, F ⊂ R E ∩ F E ∪ F 14. 用定义证明点集 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∪ = 1,2," 1 {0} k k 是 R 中的紧集。 15. 应用 Heine-Borel 定理直接证明： n R 上有界无限点集必有聚点。 习 题 11.2 1．确定下列函数的自然定义域： （1） 2 2 1 ln( ) x y x u y x − − = − + ； （2） x y z u 1 1 1 = + + ； （3） ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 u = R − x − y − z + x + y + z − r R > r ； （4） 2 2 arcsin x y z u + = 。 1
2.设(x>0),求f(x)。(x +v)3/2X3.若函数z(x,y)= V+ f(V-1)且当y=4时z=x+1，求f(x)和z(x,y)。4．讨论下列函数当(x,y)趋于(0,0)时的极限是否存在：(1) f(x,y)=x-y,xy(2) f(x,y)=x?+y2x+yx3y3[1, 0<y<x?,(4) f(x,y) =(3) f(x,y)=x4 + y80其它点5．对多元函数证明极限唯一性，局部有界性，局部保序性和局部夹逼性。6．对多元函数证明极限的四则运算法则：假设当x趋于x。时函数f(x)和g(x)的极限存在，则(1) lim (f(x)±g (x)= lim f(x)± lim g (x);(2) lim (f(x) g (x) = lim f(x) lim g (x);r→Y1( lim g(x) ± 0)。(3) lim (f(x) / g (x))= lim f(x) / lim g (x)X→X7.求下列各极限：1+x2+μ21-xylimlim(2)(1) (s,5)(01) x2 + y2(x,)(0,0)x2+y/1+ xy 1x? + y?limlim(3)(4)(x)(0 0) /1+ x2 + y2 -1(x,y)→(0,0)xyIn(x +e)sin(x +y°)limlim(5)(6)x?+ y2x? + y2(x,j)→(0,0)(x,)→(0,0)1- cos(x2 + y2)(8) lim(x? + y2)e-(*+)lim(7)(x)(0,0) (x2 + y2)x2y28，讨论下列函数在原点的二重极限和二次极限：x'y?(1) f(x,y)=x"y?+(x-y)?(2) ()=(+)-(+),x?+y?11(3)f(x,y)=xsin=+ysin=yT9.验证函数1x>0且r2<y≤x?yx222(2x2-y)，x>0且x2<y<2x2,f(x,y)=20,其它点2
2. 设 2 2 3 / 2 3 (x y ) x x y f + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ (x > 0) ，求 f (x) 。 3． 若函数 z(x, y) = y + f ( x −1) ， 且当 y = 4时 z = x +1，求 f (x) 和 z(x, y)。 4． 讨论下列函数当(x, y) 趋于(0,0) 时的极限是否存在： （1） x y x y f x y + − ( , ) = ； （2） 2 2 ( , ) x y xy f x y + = ； （3） （4） ⎩ ⎨ ⎧ < < = 0 ; 1, 0 , ( , ) 2 其它点 y x f x y 4 8 3 3 ( , ) x y x y f x y + = 。 5． 对多元函数证明极限唯一性，局部有界性，局部保序性和局部夹逼性。 6． 对多元函数证明极限的四则运算法则：假设当 x 趋于 x 0时函数 f (x)和 g (x)的极限存在， 则 （1） (f (x)±g (x)) = f (x)± g (x)； 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x （2） (f (x) ·g (x)) = f (x)· g (x)； 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x （3） (f (x)／g (x)) = f (x)／ g (x) （ g (x) ≠ 0）。 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x 7． 求下列各极限： （1） 2 2 ( , ) (0,1) 1 lim x y xy x y + − → ； （2） 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 1 lim x y x y x y + + + → ； （3） xy xy x y 1 1 lim ( , ) (0,0) + − → ； （4） 1 1 lim 2 2 2 2 ( , ) (0,0) + + − + → x y x y x y ； （5） 2 2 2 ( , ) (0,0) ln( ) lim 2 x y x e y x y + + → ； （6） 2 2 3 3 ( , ) (0,0) sin( ) lim x y x y x y + + → ； （7） 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( ) 1 cos( ) lim x y x y x y x y + − + → ； （8） 。 2 2 ( ) lim ( ) x y y x x y e − + →+∞ →+∞ + 8． 讨论下列函数在原点的二重极限和二次极限： （1） 2 2 2 2 2 ( ) ( , ) x y x y x y f x y + − = ； （2） 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) ( , ) x y x x y y f x y + + − + = ； （3） x y y f x y x 1 sin 1 ( , ) = sin + 。 9. 验证函数 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − > < < ⎟ > < ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 其它点 且 且 0, (2 ), 0 2 , 1 , 2 1 , 0 2 2 1 ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x x y x x y x x x y x x f x y 2
在原点不连续，而在其它点连续。10.讨论函数xyx+2+0f(x,y)=/x? +y20,x2+y2=0的连续范围。11.设f(t)在区间(a,b)上具有连续导数，D=(a,b)×(a,b)。定义D上的函数(f(x)-f(y)x+y,F(x,y)=x-yf'(x),x=y.证明：对于任何ce(a,b)成立lim F(x,y)= f'(c)。(x,y)-(c,c)12.设二元函数f(x,y）在开集DcR内对于变量x是连续的，对于变量y满足Lipschitz条件：If(x,y')-f(x,y")/ ≤lly'-y"l,其中(x,y),(x,")eD，L为常数（通常称为Lipschitz常数）。证明f(x,)在D内连续。13.证明：若和g是D上的连续映射，则映射f+g与函数<f.g>在D上都是连续的。14.证明复合映射的连续性定理（定理11.2.2）。习题11.31.设DcR"，:D→R"为连续映射。如果D中的点列(x)满足limx=a，且aeD，证明lim f(x)= f(a) 。2．设f是R”上的连续函数，c为实数。设A,=(xeR"If(x)<c), B,=(xeR"If(x)≤c)。证明A为R”上的开集，B.为R”上的闭集。3.设二元函数1f(x,y) =(x,y) e D =[0,1)x[0,1),1- xy证明：f在D上连续，但不一致连续。4.设A为R”上的非空子集，定义R”上的函数f为f(x)= inf (Ix- y ll ye A) 。它称为x到A的距离。证明：(1）当且仅当xeA时，f(x)=0：(2）对于任意x",x"ER"，不等式If(x)- f(x")≤|x"- x成立，从而在R”上一致连续；(3）若A是紧集，则对于任意c>0，点集(xeR"If(x)≤c)是紧集。5.设二元函数f在R2上连续。证明：3
在原点不连续，而在其它点连续。 10. 讨论函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ = + 0, 0 , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 的连续范围。 11．设 f (t) 在区间(a,b)上具有连续导数， D = (a,b) × (a,b) 。定义 D上的函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ′ = ≠ − − = ( ), . , , ( ) ( ) ( , ) f x x y x y x y f x f y F x y 证明：对于任何c ∈ (a,b) 成立 lim ( , ) ( ) ( , ) ( , ) F x y f c x y c c = ′ → 。 12．设二元函数 f (x, y) 在开集 2 D ⊂ R 内对于变量 x 是连续的，对于变量 y 满足 Lipschitz 条件： | f (x, y′) − f (x, y′′) | ≤ L | y'− y′′ | ， 其中(x, y′), (x, y′′)∈D ， L 为常数（通常称为 Lipschitz 常数）。证明 在 内连 续。 f (x, y) D 13．证明：若 f 和 g 是 D 上的连续映射，则映射 f + g 与函数＜f , g＞在 D 上都是连续的。 14. 证明复合映射的连续性定理（定理 11.2.2）。 习 题 11.3 1． 设D⊂ n R ， 为连续映射。如果D中的点列{x m f : D → R k}满足 x = a ，且 →∞ k k lim a∈D，证明 lim f (x ) = f (a) →∞ k k 。 2． 设 f 是 n R 上的连续函数，c 为实数。设 { | f ( ) c} n Ac = x ∈ R x < ，Bc = {x ∈ Rn | f (x) ≤c}。 证明Ac为 n R 上的开集，Bc为 n R 上的闭集。 3． 设二元函数 xy f x y − = 1 1 ( , ) ， (x, y) ∈ D = [0,1) ×[0,1) ， 证明： f 在 D上连续，但不一致连续。 4． 设 A 为 n R 上的非空子集，定义 n R 上的函数 f 为 f (x) = inf {| x − y || y ∈ A}。 它称为 x 到 A 的距离。证明： (1) 当且仅当 x ∈ A 时， f (x) = 0 ； (2) 对于任意 x′, x′′∈ n R ，不等式 f (x′) − f (x′′) ≤| x′ − x′′ | 成立，从而 f 在 n R 上一致连续； （3）若 A 是紧集，则对于任意c > 0 ，点集{x | f (x) ≤ 是紧集。 n ∈ R c} 5． 设二元函数 f 在 2 R 上连续。证明： 3
(1)）若，lim，f(x,y)=+o，则f在R2上的最小值必定存在；+(2）若，lim(x,y)=0，则f在R2上的最大值与最小值至少存在一个。-6.设「是R”上的连续函数，满足(1)当x±0时成立f(x)>0；(2)对于任意x与c>0，成立f(cx)=cf(x)。证明：存在a>0,b>0，使得a|x|≤f(x)≤b|xl.7.设：R→R”为连续映射。证明对于R"中的任意子集A，成立J(A)CF(A)。举例说明f(A)能够是f(A)的真子集。8.设f是有界开区域DCR2上的一致连续函数。证明：（1）可以将连续延拓到D的边界上，即存在定义在D上的连续函数了，使得,=;（2）f在D上有界。4
（1） 若 = +∞ ，则 在 + →+∞ lim ( , ) 2 2 f x y x y f 2 R 上的最小值必定存在； （2） 若 2 lim2 ( , ) = 0，则 在 + →+∞ f x y x y f 2 R 上的最大值与最小值至少存在一个。 6．设 f 是 n R 上的连续函数，满足 (1) 当 x ≠ 0时成立 f (x) > 0 ； (2) 对于任意 x 与c > 0，成立 f (cx) = cf (x)。 证明：存在a > 0, b > 0 ，使得 a | x |≤ f (x)≤b | x | 。 7．设 f : Rn → Rm 为连续映射。证明对于 n R 中的任意子集 A，成立 f (A) ⊂ f (A) 。 举例说明 f (A)能够是 f (A)的真子集。 8．设 f 是有界开区域 2 D ⊂ R 上的一致连续函数。证明： （1）可以将 f 连续延拓到D的边界上，即存在定义在D上的连续函数 ，使 得 f ~ f = f D ~ ； （2） f 在D上有界。 4