工程科学学报，第39卷.第10期：1575-1583,2017年10月 Chinese Journal of Engineering,Vol.39,No.10:1575-1583,October 2017 D0L:10.13374/j.issn2095-9389.2017.10.017;htp:/journals..usth.edu.cn 迭代生成微分方程分解方法研究 李康强，冯志鹏⑧ 北京科技大学机械工程学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:fengzp@usth.edu.cn 摘要针对实际振动信号中多分量分离问题，在生成微分方程解调技术的基础上，提出一种新的迭代分解方法.首先采用 生成微分方程(generating differential equation,GDE),估计初始振动信号的瞬时频率和幅值包络，然后对瞬时频率通过低通滤 波分离出第一个频率，基于此频率对原始信号通过高通滤波器后提取的成分作为第一个分量，最后用初始信号减去第一个分 量的余值作为下一次迭代的初始值，迭代同样的步骤分析分解直到获取所有信号分量，以低于能量比阈值作为迭代终止条 件.本方法不需要先验信息.通过仿真信号验证并与传统方法进行对比分析，证明了方法的有效性。通过实测轴承试验信号 的故障分析，证明了方法的实用性 关键词多分量；生成微分方程；滤波：迭代 分类号TP165·.3 Decomposition method of iterated generating differential equation LI Kang-qiang,FENG Zhi-peng School of Mechanical Engineering.University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China XCorresponding author,E-mail:fengzp@ustb.edu.cn ABSTRACT Aimed at solving the problem of multi-component separation of actual vibration signals,here a new iterative decomposi- tion method is proposed based on a generating differential equation(GDE)method.The first step is to estimate the instantaneous fre- quency and amplitude envelope of the original signals using GDE,then the frequency of the first component is obtained using a low- pass filter.Second,the original signal is passed through a high-pass filter to obtain the amplitude of the first component.Finally,the first component is subtracted from the original signal and the residual value,as the new money initial value,is decomposed in the next iteration.Compared with conventional methods,the proposed method is illustrated and verified by the simulation signals.When used for analysis of rolling bearing experimental signals,the results demonstrate that the approach is practical and effective. KEY WORDS multi-component;generating differential equation;filter;iterative 工程中机械振动信号通常为多分量非平稳调制信o,EMD)[为非平稳信号处理方法，可根据信号局 号.为了精确提取振动信号的故障特征通常需要解调 部时变特征进行自适应分解，但是经验模式分解方法 分析，而传统的单分量解调方法对于分析多分量信号 缺陷在于分解过程中由上下包络可能引起端点效应和 具有很大的局限性，因此如何采用合适的方法将多分 判断极点异常而可能引起分解出虚假模态.希尔伯特 量信号进行精确分离是提取故障特征的关键-]. 振动分解(Hilbert vibration decomposition,HVD)[s-刃由 许多学者致力于多分量分解方法的研究.现有的 Feldman提出，方法主要通过对Hilbert变换出的解析 几种多分量分解方法已逐步成熟，但同时存在一些缺 信号进行滤波及同步检波获得幅值最大分量，接着对 陷和不足.经验模式分解(empirical mode decomposi-- 剩余分量进行迭代而逐步分解出各个分量.其优势在 收稿日期：2016-11-12 基金项目：国家自然科学基金资助项目(11272047.51475038)：教育部新世纪优秀人才支持计划资助项目(NCET-12-0775)
工程科学学报,第 39 卷,第 10 期:1575鄄鄄1583,2017 年 10 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 39, No. 10: 1575鄄鄄1583, October 2017 DOI: 10. 13374 / j. issn2095鄄鄄9389. 2017. 10. 017; http: / / journals. ustb. edu. cn 迭代生成微分方程分解方法研究 李康强, 冯志鹏苣 北京科技大学机械工程学院, 北京 100083 苣通信作者, E鄄mail: fengzp@ ustb. edu. cn 摘 要 针对实际振动信号中多分量分离问题,在生成微分方程解调技术的基础上,提出一种新的迭代分解方法. 首先采用 生成微分方程(generating differential equation,GDE),估计初始振动信号的瞬时频率和幅值包络,然后对瞬时频率通过低通滤 波分离出第一个频率,基于此频率对原始信号通过高通滤波器后提取的成分作为第一个分量,最后用初始信号减去第一个分 量的余值作为下一次迭代的初始值,迭代同样的步骤分析分解直到获取所有信号分量,以低于能量比阈值作为迭代终止条 件. 本方法不需要先验信息. 通过仿真信号验证并与传统方法进行对比分析,证明了方法的有效性. 通过实测轴承试验信号 的故障分析,证明了方法的实用性. 关键词 多分量; 生成微分方程; 滤波; 迭代 分类号 TP165 + 郾 3 Decomposition method of iterated generating differential equation LI Kang鄄qiang, FENG Zhi鄄peng 苣 School of Mechanical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 苣Corresponding author, E鄄mail: fengzp@ ustb. edu. cn ABSTRACT Aimed at solving the problem of multi鄄component separation of actual vibration signals, here a new iterative decomposi鄄 tion method is proposed based on a generating differential equation (GDE) method. The first step is to estimate the instantaneous fre鄄 quency and amplitude envelope of the original signals using GDE, then the frequency of the first component is obtained using a low鄄 pass filter. Second, the original signal is passed through a high鄄pass filter to obtain the amplitude of the first component. Finally, the first component is subtracted from the original signal and the residual value, as the new money initial value, is decomposed in the next iteration. Compared with conventional methods, the proposed method is illustrated and verified by the simulation signals. When used for analysis of rolling bearing experimental signals, the results demonstrate that the approach is practical and effective. KEY WORDS multi鄄component; generating differential equation; filter; iterative 收稿日期: 2016鄄鄄11鄄鄄12 基金项目: 国家自然科学基金资助项目(11272047,51475038);教育部新世纪优秀人才支持计划资助项目(NCET鄄鄄12鄄鄄0775) 工程中机械振动信号通常为多分量非平稳调制信 号. 为了精确提取振动信号的故障特征通常需要解调 分析,而传统的单分量解调方法对于分析多分量信号 具有很大的局限性,因此如何采用合适的方法将多分 量信号进行精确分离是提取故障特征的关键[1鄄鄄3] . 许多学者致力于多分量分解方法的研究. 现有的 几种多分量分解方法已逐步成熟,但同时存在一些缺 陷和不足. 经验模式分解( empirical mode decomposi鄄 tion,EMD) [4]为非平稳信号处理方法,可根据信号局 部时变特征进行自适应分解,但是经验模式分解方法 缺陷在于分解过程中由上下包络可能引起端点效应和 判断极点异常而可能引起分解出虚假模态. 希尔伯特 振动分解( Hilbert vibration decomposition,HVD) [5鄄鄄7] 由 Feldman 提出,方法主要通过对 Hilbert 变换出的解析 信号进行滤波及同步检波获得幅值最大分量,接着对 剩余分量进行迭代而逐步分解出各个分量. 其优势在
·1576· 工程科学学报，第39卷，第10期 于避免了复杂的经验模式分解过程，但是缺点是由于 δ，_dy/y Hilbert变换和低通滤波均存在边界效应，随着迭代而 入，=8，d/x (5) 误差越来越大，而且需要一定的先验信息.迭代希尔 其中，6，是代表函数x(1)的相对变化率，8，是代表函 伯特变换(iterated Hilbert transform,IHT)是由Gianfeli-- 数x(t)的相对变化率. ©等8-]和秦毅等o]提出的一种新的多分量信号分解 对信号x()求其一阶微分和二阶微分，然后结合 模型，首先通过Hilbert变换得到幅值和相位，再通过 状态函数便可以推出其微分方程如下. 滤波器分离出幅值的趋势成分和迭代成分，以此迭代 x-[k4-6,(284+8)-w2]x-(28,+8)x=0, 获得所有信号分量，方法精度高，分解速度快，但是涉 (6) 及Hilbert变换和滤波，同样存在边界效应和设计滤波 其中，δ，=A/A,6=d/o,k=A/A 器依赖先验信息的不足.近年来，Qi山、唐贵基与庞 通常，调制部分A(t)和~(t)相对于载波信号是缓 彬]提出能量算子结合滤波的方法来分解多分量信 变的，因此可以近似为常数.因此，关于幅值和频率的 号，首先利用能量算子包络解调然后迭代滤波得到各 状态函数可以近似6，=0，δ。=0，k1=0.由此可解瞬时 个分量，方法具有新颖性，但是分解精度有待提高 频率和包络幅值为 为了解决需求先验信息的问题，首先需要解调原 信号获得初始信息.Zayezdny与Druckmann)提出的 w2=- =-k=-66(x6), (7) 基于生成微分方程的信号表示方法，利用信号、信号微 分及其组合变换来反映信号的性质和描述信号的结 =-壁(+大） (8) 构.信号和生成微分方程之间可以互相视为解和映射 对于离散信号分析时则需要把连续信号的微分替 的关系.因此，通过求解信号的各阶微分函数的非线 代成中心差分，用中心差商替代导数 性组合运算，可以估计其包络幅值、瞬时频率等信息. x(n)=(n+1)-x(n-1) (9) 2△1 受益于前人的研究，基于生成微分方程，本文提出 一种新的分解方法，称之为迭代生成微分方程分解方 x(n)=x(n+2)-2x(n)+x(n-2) (10) 4△12 (iterated generating differential equation decomposition 当步长△=1时，可通过式(9)和式(10)求得离 method,IGDED).发挥生成微分方程解调的优势，结 散信号瞬时频率和包络幅值的估计值为 合改进后的滤波方法进行迭代分解.通过仿真信号验 证并与传统方法进行对比，证明了方法的有效性.通 2x(n)-x(n+2)-x(n-2) W= (11) 4x(n) 过试验实测信号分析，证明了方法的实用性.分析结 果表明：本方法能快速准确的将多分量振动信号分解 c(n)- (x(n+1)-x(n-1))2 为单分量信号，而且不需要先验信息. (n+2)-2x(m)+x(n-2(n). (12) 1生成微分方程 2 迭代生成微分方程分解方法 生成微分方程可以视为是信号的一种映射变 换-)]，通过这种变换可以将信号分解为一系列的微 不失一般性，多分量振动信号可以表述成如下多 分方程的解的合集形式，从而估算信号能量、振幅、频 个调幅-调频信号的叠加形式. 率等信息.不失一般性，对于一般的调幅调频信号可 x()= ∫w.(d], (13) 表示为如下形式 其中，a,(t)和0(t)分别为第i个分量的幅值包络和 x(t)=A(t)cos [(t)]. (1) 载波频率 其中，A()为幅值调制信号，P()为频率（相位）调制 对式(13)进行生成微分方程解调可得 信号. (14) 对于信号x(),首先定义以下基本状态函数，其 w=√-k=w(t）+Rw, 中y=x, A=/ 2 xx -=A1()+RA (15) 8.=&=dr/x t dt, (2) 其中，Ro和R,分别为剩余分量频率与剩余分量幅 6=立==d 值，由于剩余分量同时具有高频特征和低能量特征，因 == yxd’ (3) 此可以通过滤波进行进一步分离. 6=成=臣 由于待分解多分量信号均为有限长度的离散信 (4) 号，而零相位滤波器在信号初始和结束端消除相移
工程科学学报,第 39 卷,第 10 期 于避免了复杂的经验模式分解过程,但是缺点是由于 Hilbert 变换和低通滤波均存在边界效应,随着迭代而 误差越来越大,而且需要一定的先验信息. 迭代希尔 伯特变换(iterated Hilbert transform,IHT)是由 Gianfeli鄄 ci 等[8鄄鄄9]和秦毅等[10]提出的一种新的多分量信号分解 模型,首先通过 Hilbert 变换得到幅值和相位,再通过 滤波器分离出幅值的趋势成分和迭代成分,以此迭代 获得所有信号分量,方法精度高,分解速度快,但是涉 及 Hilbert 变换和滤波,同样存在边界效应和设计滤波 器依赖先验信息的不足. 近年来,Qin [11] 、唐贵基与庞 彬[12]提出能量算子结合滤波的方法来分解多分量信 号,首先利用能量算子包络解调然后迭代滤波得到各 个分量,方法具有新颖性,但是分解精度有待提高. 为了解决需求先验信息的问题,首先需要解调原 信号获得初始信息. Zayezdny 与 Druckmann [13] 提出的 基于生成微分方程的信号表示方法,利用信号、信号微 分及其组合变换来反映信号的性质和描述信号的结 构. 信号和生成微分方程之间可以互相视为解和映射 的关系. 因此,通过求解信号的各阶微分函数的非线 性组合运算,可以估计其包络幅值、瞬时频率等信息. 受益于前人的研究,基于生成微分方程,本文提出 一种新的分解方法,称之为迭代生成微分方程分解方 法(iterated generating differential equation decomposition method, IGDED). 发挥生成微分方程解调的优势,结 合改进后的滤波方法进行迭代分解. 通过仿真信号验 证并与传统方法进行对比,证明了方法的有效性. 通 过试验实测信号分析,证明了方法的实用性. 分析结 果表明:本方法能快速准确的将多分量振动信号分解 为单分量信号,而且不需要先验信息. 1 生成微分方程 生成微分方程可以视为是信号的一种映射变 换[13鄄鄄15] ,通过这种变换可以将信号分解为一系列的微 分方程的解的合集形式,从而估算信号能量、振幅、频 率等信息. 不失一般性,对于一般的调幅调频信号可 表示为如下形式 x(t) = A(t)cos [渍(t)]. (1) 其中,A(t)为幅值调制信号,渍( t)为频率(相位)调制 信号. 对于信号 x( t),首先定义以下基本状态函数,其 中 y = x · , 啄x = x · x = dx / x dt , (2) 啄y = y · y = x ·· x · = dy / y dt , (3) kx = 啄x 啄y = x ·· x , (4) 姿x = 啄y 啄x = dy / y dx / x . (5) 其中,啄x 是代表函数 x( t) 的相对变化率,啄y 是代表函 数 x · (t)的相对变化率. 对信号 x(t)求其一阶微分和二阶微分,然后结合 状态函数便可以推出其微分方程如下. x ·· - [kA - 啄A (2啄A + 啄棕 ) - 棕 2 ]x - (2啄A + 啄棕 ) x · = 0, (6) 其中,啄A = A · / A,啄棕 = 棕 · / 棕,kA = A ·· / A. 通常,调制部分 A(t)和 渍(t)相对于载波信号是缓 变的,因此可以近似为常数. 因此,关于幅值和频率的 状态函数可以近似 啄A = 0,啄棕 = 0,kA = 0. 由此可解瞬时 频率和包络幅值为 棕 2 = - x ·· x = - kx = - 啄x 啄(x啄x), (7) A 2 = x 2 - x x ·2 x ·· = x ( 2 1 + 1 姿 ) x . (8) 对于离散信号分析时则需要把连续信号的微分替 代成中心差分,用中心差商替代导数. x · (n) = x(n + 1) - x(n - 1) 2驻t , (9) x ·· (n) = x(n + 2) - 2x(n) + x(n - 2) 4驻t 2 . (10) 当步长 驻t = 1 时,可通过式(9) 和式(10) 求得离 散信号瞬时频率和包络幅值的估计值为 棕 = 2x(n) - x(n + 2) - x(n - 2) 4x(n) , (11) A = x 2 (n) - (x(n + 1) - x(n - 1)) 2 x(n + 2) - 2x(n) + x(n - 2) x(n). (12) 2 迭代生成微分方程分解方法 不失一般性,多分量振动信号可以表述成如下多 个调幅鄄鄄调频信号的叠加形式. x(t) = 移 M i = 0 ai(t)cos [ 乙 棕i(t)dt ] , (13) 其中,ai(t)和 棕i ( t)分别为第 i 个分量的幅值包络和 载波频率. 对式(13)进行生成微分方程解调可得 棕 = - kx = 棕1 (t) + R棕(t) , (14) A = x 2 - x x ·2 x ·· = A1 (t) + RA(t) . (15) 其中,R棕(t) 和 RA(t) 分别为剩余分量频率与剩余分量幅 值,由于剩余分量同时具有高频特征和低能量特征,因 此可以通过滤波进行进一步分离. 由于待分解多分量信号均为有限长度的离散信 号,而零相位滤波器在信号初始和结束端消除相移 ·1576·
李康强等：选代生成微分方程分解方法研究 ·1577· 时会产生失真，造成端点效应.而且随着迭代运算的 (2)对延拓信号(t)进行生成微分方程解调得 不断增加，这种“失真”会不断累积造成“失真扩 ω(t)和a(t): 散”.而且由于迭代生成微分方程分解方法是利用 (3)在线性时不变调幅调频信号中，由于调制信 差分和差商对离散信号进行处理分析，所以在端点 号相对于载波是缓变的，而载波频率是恒定的，所以对 处可能会出现异常值，利用信号延拓法可以有效解 于整个频率ω(t)可以近似为常数，对w(t)通过零相 决端点效应问题.对原始信号x(:)进行如下对称延 位低通滤波得到w,(t),本文中截止频率选为1Hz.以 拓可得 ω，(t)作为截止频率，对x(:)利用零相位高通滤波器 e=[x(N-N+2)xx(N-N)].(16) 滤波得到第一个分量a,(t); 其中N为原信号的长度，N。为延拓的长度，N=1,2, (4)令x,(t)=x(t)-a,(t)作为下次迭代的初始 …,N 值，重复步骤1~3，从而完成第二次分解.以此类推， 延拓之后信号长度为N+2N。,所以第一次滤波完 进行N次迭代后完成分解.为了保证收敛性，第i次 成后需要对延拓信号进行剪切处理恢复原长度，在下 迭代的幅值应当为零均值信号，而且当分解出的a:(t) 一次迭代之前重新进行延拓，直至迭代结束. 的能量与原始信号的能量的比值小于阈值K时，即 迭代生成微分方程分解方法具体步骤为： (1)首先对原始信号x()进行对称延拓得延拓信 Emeg(a<K,迭代终止.本文取K=0.1. Energy(x(t)) 号(t); 方法流程如图1所示. 延拓 d(0 GDE 低通滤波器 作为截止频率 高通滤波器 能量判断 >0.1 K<0.1 结束 图1迭代生成微分方程分解方法流程 Fig.1 Procedure of the IGDED method 3仿真信号分析 为了验证迭代生成微分方程分解方法的效果及优 势，分别构造不同形式的仿真信号来与传统分解方法 进行对比分析. 3.1正弦分量仿真分析 首先构造包含三个正弦分量的仿真信号来验证本 1.001.051.101.151.201.251.301.351.401.451.50 方法，振动信号模型如下 时间s x,(t)=1cos(2T1551), 图2仿真信号 x2(t)=2cos(2π…81t), Fig.2 Simulation signal (17) x3(t)=3c0s(2π37)， 号分解的第一、二、三分量和4种不同方法的分解结果 x=x1+x2+x3 分量的对比.从图3中可以看出，迭代生成微分方程 加入信噪比为15dB的高斯白噪声，仿真信号时 分解方法、经验模式分解方法和希尔伯特振动分解方 域波形如图2所示. 法分解出的第一个分量的波形相近，但是由于加人了 分别用迭代生成微分方程分解方法、经验模式分 噪声，都分别出现不同情况的幅值调制.迭代生成微 解方法、希尔伯特振动分解方法和迭代希尔伯特变换 分方程分解方法与经验模式分解方法分解效果近似， 方法对原信号进行分解，如图3~5所示，分别是原信 但是经验模式分解方法出现中间断层状况和端点效应
李康强等: 迭代生成微分方程分解方法研究 时会产生失真,造成端点效应. 而且随着迭代运算的 不断增 加,这 种 “ 失 真冶 会 不 断 累 积 造 成 “ 失 真 扩 散冶 . 而且由于迭代生成微分方程分解方法是利用 差分和差商对离散信号进行处理分析,所以在端点 处可能会出现异常值,利用信号延拓法可以有效解 决端点效应问题. 对原始信号 x( t) 进行如下对称延 拓可得 x寛 = [x(Ne - Nei + 2) x x(N - Nei)]. (16) 其中 N 为原信号的长度,Ne 为延拓的长度,Nei = 1,2, …,Ne . 延拓之后信号长度为 N + 2Ne,所以第一次滤波完 成后需要对延拓信号进行剪切处理恢复原长度,在下 一次迭代之前重新进行延拓,直至迭代结束. 迭代生成微分方程分解方法具体步骤为: (1)首先对原始信号 x(t)进行对称延拓得延拓信 号 x寛(t); (2)对延拓信号 x寛( t) 进行生成微分方程解调得 棕(t)和 a(t); (3)在线性时不变调幅调频信号中,由于调制信 号相对于载波是缓变的,而载波频率是恒定的,所以对 于整个频率 棕( t)可以近似为常数,对 棕( t)通过零相 位低通滤波得到 棕1 (t),本文中截止频率选为 1 Hz. 以 棕1 (t)作为截止频率,对 x( t) 利用零相位高通滤波器 滤波得到第一个分量 a1 (t); (4)令 x1 (t) = x(t) - a1 ( t)作为下次迭代的初始 值,重复步骤 1 ~ 3,从而完成第二次分解. 以此类推, 进行 N 次迭代后完成分解. 为了保证收敛性,第 i 次 迭代的幅值应当为零均值信号,而且当分解出的 ai(t) 的能量与原始信号的能量的比值小于阈值 资 时,即 Energy(ai(t)) Energy(x(t)) < 资,迭代终止. 本文取 资 = 0郾 1. 方法流程如图 1 所示. 图 1 迭代生成微分方程分解方法流程 Fig. 1 Procedure of the IGDED method 3 仿真信号分析 为了验证迭代生成微分方程分解方法的效果及优 势,分别构造不同形式的仿真信号来与传统分解方法 进行对比分析. 3郾 1 正弦分量仿真分析 首先构造包含三个正弦分量的仿真信号来验证本 方法,振动信号模型如下 x1 (t) = 1·cos (2仔·155t), x2 (t) = 2·cos (2仔·81t), x3 (t) = 3·cos (2仔·37t), x = x1 + x2 + x3 ì î í ï ï ï ï . (17) 加入信噪比为 15 dB 的高斯白噪声,仿真信号时 域波形如图 2 所示. 分别用迭代生成微分方程分解方法、经验模式分 解方法、希尔伯特振动分解方法和迭代希尔伯特变换 方法对原信号进行分解,如图 3 ~ 5 所示,分别是原信 图 2 仿真信号 Fig. 2 Simulation signal 号分解的第一、二、三分量和 4 种不同方法的分解结果 分量的对比. 从图 3 中可以看出,迭代生成微分方程 分解方法、经验模式分解方法和希尔伯特振动分解方 法分解出的第一个分量的波形相近,但是由于加入了 噪声,都分别出现不同情况的幅值调制. 迭代生成微 分方程分解方法与经验模式分解方法分解效果近似, 但是经验模式分解方法出现中间断层状况和端点效应 ·1577·
·1578· 工程科学学报，第39卷，第10期 的问题.而希尔伯特振动分解方法在中间部分则出现 幅值和频率都出现异常值的情况，相较上面三种方法 0 迭代希尔伯特变换方法的效果较差，分离出的分量的 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 幅值和频率不对应.这是由于希尔伯特振动分解方法 与迭代希尔伯特变换方法均需要原始信号的先验信 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 130 息，由此确定采样频率与滤波器截止系数.经验模式 盒WWWW 分解方法对于计算机的要求较高，高采样频率和数据 1.00 1.051.10 1.15 1.20 1.25 .30 量的大小会直接影响结果，而迭代生成微分方程分解 方法则不需要先验信息，而且对于采样频率没有要求. WWWWWWwWWW 100 1.051.101.151.20 1.251.30 对于第二个分量的分解情况如图4所示，可以看出迭 代生成微分方程分解方法、经验模式分解方法和希尔 2 1.001.051.101.151.201.251.30 伯特振动分解方法分解效果良好，但是后两种方法出 时间/s 现不同情况的端点效应问题，而迭代希尔伯特变换方 图4正弦分量仿真第二个分量 法分离则出现模态混叠的现象.对于第三个分量的分 Fig.4 The second component of sine component simulation 解情况如图5所示，同第二个分量分解的情况相似，迭 4 代生成微分方程分解方法和经验模式分解方法分解效 果良好，希尔伯特振动分解方法分解出大部分是良好 1.001.051.101.151.201.25130 的，但是出现一部分信息丢失的情况，而迭代希尔伯特 变换方法分解效果与第二个分量的情况相似. 1.001.051.101.151.20 1.25 1.30 WWWWWWWWWWWWMWW 4 1.00 1.051.101.151.20 1.25 1.30 1.001.051.10 1.151.201.25 1.30 1.001.051.101.151.201.25 1.30 V 1.001.05 1.10 1.151.20 1.251.30 ON 4 1.001.051.10 1.151.20 1.25 1.30 W/wM 1.001.05 1.10 1.151.201251.30 时间/s 1.001.051.10 1.151.201.25 1.30 图5正弦分量仿真第三个分量 ≡MMWWM Fig.5 The third component of sine component simulation 1.001.051.101.151.201.251.30 时间/s 图3正弦分量仿真第一个分量 0.25 --IGDE 一ED Fig.3 The first component of sine component simulation 0.201 A—HVD 0.15 a一T 图6~8分别是不同方法对分解出的三个不同分 量与原信号分量的能量误差随噪声变化趋势图，可以 日日县&合公合合一合台 0.05 A合4 看出总体情况都是随着信噪比的增加而降低，其中迭 0 代生成微分方程分解方法和经验模式分解方法对第一 0-10-505101520253035404550 个分量的精确度相似，而对于第二和第三个分量的分 噪声/dB 解中迭代生成微分方程分解方法精确度则远高于其他 图6正弦分量仿真第一个分量误差 方法.而希尔伯特振动分解方法由于是先根据估算出 Fig.6 Error of the first component with sine component simulation 的频率进行同步检测解调和低通滤波，然后根据幅值 x,(t)=[1.5+cos(2π151)]cos[2T-155t+ 包络和相位重构信号，所以其精度与滤波器设置参数 有很大关系 sin (215t)] 3.2调幅调频分量仿真分析 x2(t)=[2.6+cos(2T·7)]c0s(2T81t), 构造包含不同形式分量的仿真信号来继续验证本 x3(t)=3c0s(2T371), 方法，分别用一个正弦信号，一个调频信号和一个调幅 x=1+x2+x3 调频信号来构造仿真信号.振动信号模型如下 (18)
工程科学学报,第 39 卷,第 10 期 的问题. 而希尔伯特振动分解方法在中间部分则出现 幅值和频率都出现异常值的情况,相较上面三种方法 迭代希尔伯特变换方法的效果较差,分离出的分量的 幅值和频率不对应. 这是由于希尔伯特振动分解方法 与迭代希尔伯特变换方法均需要原始信号的先验信 息,由此确定采样频率与滤波器截止系数. 经验模式 分解方法对于计算机的要求较高,高采样频率和数据 量的大小会直接影响结果,而迭代生成微分方程分解 方法则不需要先验信息,而且对于采样频率没有要求. 对于第二个分量的分解情况如图 4 所示,可以看出迭 代生成微分方程分解方法、经验模式分解方法和希尔 伯特振动分解方法分解效果良好,但是后两种方法出 现不同情况的端点效应问题,而迭代希尔伯特变换方 法分离则出现模态混叠的现象. 对于第三个分量的分 解情况如图 5 所示,同第二个分量分解的情况相似,迭 代生成微分方程分解方法和经验模式分解方法分解效 果良好,希尔伯特振动分解方法分解出大部分是良好 的,但是出现一部分信息丢失的情况,而迭代希尔伯特 变换方法分解效果与第二个分量的情况相似. 图 3 正弦分量仿真第一个分量 Fig. 3 The first component of sine component simulation 图 6 ~ 8 分别是不同方法对分解出的三个不同分 量与原信号分量的能量误差随噪声变化趋势图,可以 看出总体情况都是随着信噪比的增加而降低,其中迭 代生成微分方程分解方法和经验模式分解方法对第一 个分量的精确度相似,而对于第二和第三个分量的分 解中迭代生成微分方程分解方法精确度则远高于其他 方法. 而希尔伯特振动分解方法由于是先根据估算出 的频率进行同步检测解调和低通滤波,然后根据幅值 包络和相位重构信号,所以其精度与滤波器设置参数 有很大关系. 3郾 2 调幅调频分量仿真分析 构造包含不同形式分量的仿真信号来继续验证本 方法,分别用一个正弦信号,一个调频信号和一个调幅 调频信号来构造仿真信号. 振动信号模型如下 图 4 正弦分量仿真第二个分量 Fig. 4 The second component of sine component simulation 图 5 正弦分量仿真第三个分量 Fig. 5 The third component of sine component simulation 图 6 正弦分量仿真第一个分量误差 Fig. 6 Error of the first component with sine component simulation x1 (t) = [1郾 5 + cos (2仔·15t)]·cos [2仔·155t + sin (2仔·15t)], x2 (t) = [2郾 6 + cos (2仔·7t)]·cos (2仔·81t), x3 (t) = 3·cos (2仔·37t), x = x1 + x2 + x3 ì î í ï ï ï ï ï ï . (18) ·1578·
李康强等：迭代生成微分方程分解方法研究 ·1579· 0.05 分方程分解方法和经验模式分解方法分解效果相差无 -e-IGDE 0.04 一EMD 几，但是经验模式分解方法存在边界效应的问题，而希 -HVD 0.03 尔伯特振动分解方法产生模态混叠的现象，迭代希尔 一B一HT B8日日日日B8B日 伯特变换方法在频率解调分离部分如同希尔伯特振动 分解方法一样，但是幅值解调精度比希尔伯特振动分 0.01 00006合-合e合◆。◆t 解略低.第三个分量如图12所示，依旧是迭代生成微 0-10-505101520253035404550 分方程分解方法和经验模式分解方法的结果与原信号 噪声dB 接近，但是迭代生成微分方程分解方法的效果更佳. 图7正弦分量仿真第二个分量误差 而希尔伯特振动分解方法与迭代希尔伯特变换方法的 Fig.7 Error of the second component with sine component simula- 效果却不尽如人意 tion 0.030 O一IGDE 1.001.051.10 1.151.201.25L.30 0.025 —EMD 0.020 HVD 号 0.015 B一IT 1.00 1.051.10 1.15 1.201.25 1.30 张0.010 MMM-wm 0.005 006668-000-8000 1.00 1.05 1.10 1.15 1.201.25 1.30 0-10-505101520253035404550 W∽ 噪声dB 1.70 1.75 1.801.85 1.901.95 图8正弦分量仿真第三个分量误差 Fig.8 Error of the third component with sine component simulation Www 1.00 1.05 1.10 1.15 1.201.25 1.30 依旧加入信噪比15dB高斯白噪声，仿真信号时 时间s 域波形如图9所示 图10调幅调额分量仿真第一个分量 10 Fig.10 The first component of AM-FM simulation WwwwWWWWWWwwwwWWW 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 owwwWWWWWWWWwWW 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 57 1.2 1.31.41.51.6 时间s ww 图9仿真AM-FM信号 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.251.30 Fig.9 Simulation AM-FM signal oAnMA 同样用迭代生成微分方程分解方法、经验模式分 1.00 1.05 1.101.151.201.251.30 解方法、希尔伯特振动分解方法和迭代希尔伯特变换 ∩MWm/A 方法分别对原信号进行分解.第一个分量的分解情况 1.00 1.05 1.101.151.201.251.30 如图10所示，可以看出分解效果差距明显，迭代生 时间/s 成微分方程分解方法分解效果最佳，经验模式分解 图11调幅调颜分量仿真第二个分量 Fig.11 The second component of AM-FM simulation 方法效果次之，但是迭代生成微分方程分解方法中 间存在幅值跳跃的问题，而经验模式分解方法存在 图13~15分别是4种方法对分解出的不同分 频率和幅值解调存在异常值的情况.而希尔伯特振 量与原信号分量的能量误差随噪声变化趋势图，同 动分解方法和迭代希尔伯特变换方法的效果就相对 正弦多分量信号类似，除希尔伯特振动分解方法之 较差，希尔伯特振动分解方法的频率解调与幅值解 外，总体情况都是随着信噪比的增加而降低，通过 调均存在偏差，而迭代希尔伯特变换方法的解调误 三个分量的不同方法的误差对比可以看出，迭代生 差更大 成微分方程分解方法的稳定性和精确度都优于其 第二个分量的分解情况如图11所示，迭代生成微 他方法
李康强等: 迭代生成微分方程分解方法研究 图 7 正弦分量仿真第二个分量误差 Fig. 7 Error of the second component with sine component simula鄄 tion 图 8 正弦分量仿真第三个分量误差 Fig. 8 Error of the third component with sine component simulation 依旧加入信噪比 15 dB 高斯白噪声,仿真信号时 域波形如图 9 所示. 图 9 仿真 AM鄄鄄FM 信号 Fig. 9 Simulation AM鄄鄄FM signal 同样用迭代生成微分方程分解方法、经验模式分 解方法、希尔伯特振动分解方法和迭代希尔伯特变换 方法分别对原信号进行分解. 第一个分量的分解情况 如图 10 所示,可以看出分解效果差距明显,迭代生 成微分方程分解方法分解效果最佳,经验模式分解 方法效果次之,但是迭代生成微分方程分解方法中 间存在幅值跳跃的问题,而经验模式分解方法存在 频率和幅值解调存在异常值的情况. 而希尔伯特振 动分解方法和迭代希尔伯特变换方法的效果就相对 较差,希尔伯特振动分解方法的频率解调与幅值解 调均存在偏差,而迭代希尔伯特变换方法的解调误 差更大. 第二个分量的分解情况如图 11 所示,迭代生成微 分方程分解方法和经验模式分解方法分解效果相差无 几,但是经验模式分解方法存在边界效应的问题,而希 尔伯特振动分解方法产生模态混叠的现象,迭代希尔 伯特变换方法在频率解调分离部分如同希尔伯特振动 分解方法一样,但是幅值解调精度比希尔伯特振动分 解略低. 第三个分量如图 12 所示,依旧是迭代生成微 分方程分解方法和经验模式分解方法的结果与原信号 接近,但是迭代生成微分方程分解方法的效果更佳. 而希尔伯特振动分解方法与迭代希尔伯特变换方法的 效果却不尽如人意. 图 10 调幅调频分量仿真第一个分量 Fig. 10 The first component of AM鄄FM simulation 图 11 调幅调频分量仿真第二个分量 Fig. 11 The second component of AM鄄FM simulation 图 13 ~ 15 分别是 4 种方法对分解出的不同分 量与原信号分量的能量误差随噪声变化趋势图,同 正弦多分量信号类似,除希尔伯特振动分解方法之 外,总体情况都是随着信噪比的增加而降低,通过 三个分量的不同方法的误差对比可以看出,迭代生 成微分方程分解方法的稳定性和精确度都优于其 他方法. ·1579·