赤平投影网的解析原理

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1979.02.001 北京钢铁学院学报 1979年第2期 赤平投影网的解析原理 北京钢铁学院采矿教研室 廖国华 摘 要 在岩体力学研究中，为对地质弱面进行统计加工和对岩体结构进行儿 何分析，常常需要用到赤平投影方法。本文从解析球面圆的'赤平投影入 手，系统地计论了赤平极射投影和Lamberta投影的关系，给出了臭尔夫网 和施密特网的解新表达式；对这两种通用的投影网在等角性和等面性方面 的特征进行了分析。在此基础上给出了一个简化的算式，以确定吴尔夫网 中等价圆的半径，如果以吴氏网为基础以电算机制作等密曲线，这一算式 将有实用价值。 天然岩体一个突出的特征：是其中大量存在着类型不同、尺寸各异的各种地质软弱结构而 如节理、断层、层而等等。结构面组合切割岩休、改变了岩体的特征，降低了君体的强度。 因此，进行岩体工程的力学研究时需要从地质条件的研究开始、进行结构面的现场调查和实 测以及统计加工、找出对工程有不利影响的结构面组合、进而在力学分析中考虑它们的作 川，以使问题得到符合实际的解决。 对结构面组合产状进行分析、统计、解释是这一工作中重要的环节。进行这一工作所采用 的通用方法是赤平投影网法。以产状为标志、还可输入表征结构面其它特征的数据供作力学 分析：之用。地质研究和力学分析正通过类似这样的途径彼此结合起来。 有两种赤平投影网是目前通用的，一种是吴尔夫(Wu1f)网，亦称赤平极射投影网或 等角赤平投影网；·另-一种是施密特(Schmidt)网、亦称等面赤平投影网。在作结构面组合 定向图解分析时，两种网的用法没有原则的不同，然而两种网在基本件质方而还是存在重大 差别的。 这两种投影方法都是古老的方法，近年来它们都在岩休力学工程中得到了广泛的应用。 作为一种图解方法在近几年的文献中随处可见，文献〔1)对其几何原理有详尽的说明，然而， 介绍其解析原理的材料比较少见。本文从任意球面圆的赤平投影解析几何分析出发，对赤平 投影的解析原理进行了系统的明，给出了有关的计算公式，分析了它]的基本特征。这种 系统的论讨和分析，对深入理解和运用这一方法也许是有益的。 一、吳尔夫投影网的解析 1.基本方程 在右旋直角坐标系中，以原点为中心，R为半径作球（见图1)，球面方程为： H

北 京 钢 铁 学 院 学 报 19 7 9年 第 2 期 赤 平 投 一 影 网 的 解 析 原 理 北京钢铁 学院采 矿教研 室 廖 国 一 华 摘 要 { 中娜等价 圆的协半径 , 如 果 以劳吴 氏 网为基砒译以 电算机淄制作等密藻曲线聋, 这一 算 式 将有 买 用 价 值 。 天然岩体一 个突出的特 征是 其中大 量存在 着类 型不同 、 尺寸 各异的各种地质 软弱结构 而 、 断尽 层而等氛 结构面粤合切割 岩体 、 改变 了 岩体的特征 , 降 低 了岩体的强度 。 进行岩体工程 的力学研 究时 需要 从地 质条件的研究开始 、 进行 结构面 的现场 调 查和实 及 统计加工 、 找 出对工程 有不 利 影响的结构 面组合 、 · 进而在力学 分析中 考虑它们的作 用 , 以使 问题得到符合实 际的解 决 。 - 碗忠罗粼忿绍怂黔皇就 一 黯默瑞稼念翠 吟森默髻篡粼豁豁弃塌罗等黯溉~ 、 射、 影、 或 黑思丫槛默默就摺认黯{慕)黯{豁需馨票黑 差别 的 。 . 这 两种投影方 法都 是古老 的方法 , 、 近年来 它们都在 岩休力学工 程 中得 到了厂 一 泛 的应 用 。 作为 一种图解方法在近 几年 的文献中随处可见 , 文献〔1〕对其几何原理 有详 尽 的说明 , 然而 , 介绍其解析原理 的材料比较少见 。 本文 从任意球面圆的赤 平投 影解析几何分析出发 , 对赤 平 投影的解析原理进 行 了系统的 阐 明 , 给出 了有关的 计算公式 , 分析 了它们 的基 木特征 。 这 种 系统 的论讨 和分析 , 对深入理解和运用这一 方法也 许是有益的 。 吴 尔夫 投影网的解析 址、 蒸套套资 标系 } 、 、 原点、 。, 咨 。 , … ; 为半径 一作球一见图巧 、 球 几 而 一 方 程为 : DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1979. 02. 001

x2+y2+z2=R2 (1) 过原点作任意直线1与球面交于N点，记！ 与坐标轴x,y,2之间的夹角为u、B、Y,相应的 余弦为a、B。、Y。在ON上取点T,记OT之 长为1。，过T作平面Q与垂直，则Q而方程 为： aox +Boy +Yoz=10 (2) 功于I。≤R,Q与球面相交、交线V必然 是一球而园，联立(1)(2)式求解、得交线V的 解析表达式： 1X2+Y2+Z2=R2 (3.1) aoX+B。Y+YoZ=1o (3.2) 这理、为避免混淆，记ⅴ的坐标为X、Y,Z。取点 图1 F为熊点、F点的坐标为(O、一R,O),将交线V上的点与F联接，联线上流点(x、y、z)与v及 F点坐标的关系式为： y+R x=X(7+R） (4.1) 2=z聚) (4.2) 将上式中的X、Z代入(3-2)和(3-1)联立求解得到： (x2+y2+z2+2yR+R2)〔l(y+R)-(a。x+B。z)R)2+2R(x2+y2)× ×〔1(y+R)-(aox+Yaz)R)〔B。(y+R)+(aoX+Yz)+ +R2(x2+z2-y8-2yR-R2)(B。(y+R)+(aox+Y2)=0 (5) 这就是流点的坐标方程式，也就是以ⅴ为底、F和ⅴ上之点的联线为母线所形成的空间锥面 的表达武，也就是ⅴ线向F点投影所形成的投影锥面的表达式。 ,在方程(5)中、令y=0,得到此投影锥与xz坐标面的交线W的解析式： （-fR+-f8=,R R (6) 式(6)表明、交线W的轨迹为园，园心的坐标xw、zw及园半径rw分别为： R2a。 xw=1。+BR R2Yo 10+BoR (7) R F1+BRVR2=1。 在赤平投影方法中，称(1)球面为参考球，y三0的水平平面为赤道平面，在球中，这个 赤道平面由水平大园H代表。因此我们称W为球面线v的赤平极射投影，而ⅴ是为Q确定的、 故也可称W为空间平面Q的赤平极射投影。 2

x 立 十 y 忆 + 2 2 = R Z ( ] ) 过原 点作任 意 直 线 l与 球面 交 于 N 点 、 记了 与坐 标轴 x 、 y 、 z之 间 的夹 角为 。 、 p 、 丫 , 相 应 的 余 弦 为 。 。 、 日 。 、 丫 。 。 在O N 上取 点T , 记O T 之 一 民为 l 。 , 过 ’ r 作平 俪 Q 与了垂 直 , 则9 而 方程 为 : a 。 x 十 日 。 y 十 丫 。 z 二 l 。 ( 2) 由于 l 。 三 R , Q 一 与球 面相 交 、 交 线 V 必 然 是 一 球而 园 , 联立 ( 1 ) ( 2) 式求解 、 得交 线 VJ 均 解 析 表达式 : { X , 十 Y “ + 2 2 二 R Z (3 . )] { a 。 X 十 日 。 一 Y + 丫 。 Z 一 几 (3 , 2 ) 这理 、 为 避 免混淆 , 记 v 的 坐标 为X 、 Y 一 、 Z 。 取点 F 为焦 点 、 1 了点 的 坐标 为 ( O 、 一 R 、 O ) , 将交 线 V 上的点 与 F 联接 , F 点坐标 的 关 系式为 : - - 图 1 联 线 上流 点 x( 、 光 : ) 与 v 及 二厂 y + R X = 例 、 叹 一 污于一 一石 1 十 氏 ( 4 . 1 ) 二 丁 十 R Z = 乙 吸 哥了 一二州 石 I 十 找 ( 4 ` 2 ) 将 上 式 中的 X · z 代入 ( 3一 2) 和 `3 一 1) 联立求解得 到 , - ( X Z 十 y Z 十 护 十 yZ R 十 R Z )(l 0 ( +y )R 一 a( 。 x 十 禹 z 平〕 “ 十 21 (对 十 对) “ 丫(l0 (y + 卿 一 a( 。 粉 丫o)z R 议 队 恤 十 R 卜 a( 。 X + 丫 。 砂〕 十 , 十 R Z 〔 X ’ +Z 2 一 尸 一 yZ R 一 R Z 〕〔日0(y 戎卜 钾 。 x 钟 。 叫 一 仁 (5) 一 这就 是 流点的坐 标方 程 式 , 一 也就 是 以 v 为底 、 L F 和 v 上之 点 的 联线 为母线所 形 成的 空间锥 而 的 表达式 , 也 就 是 v 线向 F, 点投影 所形成 的 投影 锥 面的表达 式 。 · 在方 程 〔 5) 中 、 令 y 二仇 、 得 到此投影锥 与二 z坐标面 的 交线 W的解析 式 : - R “ a 。 气 X 一 几不日 _ 。 R ) 一 十 叹 Z 一矛 R “ 丫 。 、 , , R / 。 犷一 , 。 不禹豆’ 一 贬了 一 矛干日 。豆v `叮 一 ` 。 ( 6 ) 式 ( 6) 表 明 、 交线 W 的轨 迹 为园 , 园心的 坐标 x w 、 z w 及 园半径与 分别为 : R Z a 。 一R 一卜 一八p R Z 丫。 再启毛R ` - R 。 子日祖了 R Z 一 z 。 · X W 一 厂厂ùt ! … ( 7 ) r W 一 l 一J I ℃ L 、 在赤 平投 影方 法 中 , 称 ( l) 球 面 为参考 球 , y 二 o 的水平平 面 为赤道平 面 , 在 球 中 , 这个 赤道 平面 由水 平大园 H 代表 。 因此我们 称 W 为球 面线 v 的赤 平 极射投 影 , 而匆是为Q确定 的 、 故 也可 称 w 为空间平面 Q的 一 赤平极射 投影 。 ’

公式(6)是通贯本文的基本公式，它说明了赤平极射投影的基本原理：平面和球面相交 构成…个园，球面上一个园，它的赤平极射投影也是一个园，不论大园小园都是如此〔1)。 (6)式说明，空间平面的极射投影园由三个独立的参数确定、其中α，B。、Y是由Q面的 方向决定的参数，由于a。2+B。2+Y。2=1,所以它们中只有两个是独立的。1，是由Q面到 原点的距离决定的，是一个定位参数。但是，目前用赤平投影方法分析结构面还只是研究它 们的定向组合关系，因此，要统一规定1值，以消去1。的影响。 空间平面的大园投影和极点投影 统一1。有两种选择办法，一种是大园法，一种是极点法。两种选择就得到表示一个空间 平面的二种不同类型的赤平投影（见图2）。二法各有优点，用途不尽相同，它们不仅并存， 且常对应着同时使用、互相补充，搞清了原理就没有混淆的弊病。 (1)大园投影 一种统一1。的方法是使之为零，这时空间平面通过球心，与球面交成大园，这个大园由 空间平面的方向参数唯一确定，因此，大园的赤平极射投影也就唯一地代表了这个空间平面。 令(G)式中的1。=0，得到Q面的大园赤平极射投影方程：· R (x-R骨)+2-R首)2=(B。) (8) 在地质学中，结构面的空间方向可用倾向方位角及倾角中给定（见图2）。与此适应，我 们令坐标系统的x轴水平并指向北，y轴直立指向上，z轴水平指向东，这时，我们有： a。=cosa=sin中cos0 B。=cosB=c0s中 (9) Ye=cosY=sin中sin0 将(9)式代入(8)，即得到以中、0给定的地质结构面的大园赤平投影： (x-Rtg中cos0)2+(z-Rtg中sin0)2=(eos)2 .(10) 由(10)可见，大园投影园的半径为R/Cos,除倾角中=0以外，投影园总是要比赤平园 半径大。B=中=0时得到赤平园方程x2+z2=R2。将此方程与(10)式联立，可求到大园投 影园与赤平园的一对交点为x=±Rsin0及z=千Rcos0。过此两点的直线x+ztg0=0,就 是大园与赤平园的交线，亦即空间平面的走向线，此线通过园心，将大园投影园分为二段，优 弧在赤平园外，劣弧在赤平园内。 (2)极点投影 第二种选择方法是使！。=R,空间平面与球平面相切，线与球面的交点N即为切点，点 N被称为极点。以I。=R代入(7)式，可知r=0,投影园退化为点，此点亦即为极点投影， 它也完全代表了空间平面Q,其坐标x,zn由公式(7)得为： xn=Rj+Bo 0 (11) +风+ 对于倾向方位角为0，倾角为中的结构面： 3

廷熟拼以扮拼i 空间平面 的大 园投 影和 极点投影 …月件 ( x 一 R 瓮 ) “ 欲 Z井一 R 省 q 一 ) 泛 朴 …… 一 ( 8 ) 在 地质学 中 , 结 构面 的空间方 向 可用 倾向方 位 角。及倾角小给 定 ( 见 图即 。 与此 适应 , 我 们令坐 标系统 的 x 轴水平 并 指 向北 , y 轴直立 指向上 , z 轴水 平指 向东 , 这时 , 我们 有 : a 。 二 c o s a = , i n 币 e o 。 。 c o ” 日 = c 0 3 小 co s 丫 = 吕i n 小吕i n Q ùnn u 一 口尸Y 、 I t 、 将 (9 )少号代入 (韵 , 即得到 以小 、 0给定的地 质结构面的大园赤 平投鼓 ( X 一 R 七g 小oe s 的 “ + (z 一 双馆小幼九的“ ( 9 ) ( 10 ) 耘粼罕 。 滤黔嚣黔架丫黑共群念 ) 缨 息翼黔霆 影园与赤平 园 的一对 交 点 为 x 一 * R is n 。及 z 一 、 R 。 , 。 。 . 过 此两 点 的直 线 x 十 2 t g 。 = 0, 就 是大园与赤平 园的交线 , 亦 即空间平面的走 向线 , 此线通 过 园心 , 将大园投影 园分为二 段 , 优 卜 弧在赤平 园 外 , 劣弧 在赤平 园内 。 - · ~ . 「 (2 ) 极点 投影 一 第二 种选 择方法 是 使 l 。 二 R , 空 间平 面 与球 平面相 切 , l 线 与球面 的交点 N 即为切 点 , 点 N被称 为 极 点 。 以 10 一 R代 入 (7 ) 式 , 可知 r w 一 0, 投影园退 化为点 , 此点亦 即为极点 投影 , 它 也完全 代表 了空间 平面 Q , 其坐标 x n 、 z 。 由 公式 ( ” 得 为 : _ 一 _ - 一 . 卜 n 一 “ 1子首 一 。 卜 n 十 尺、粼 、 ( 1 1 ) 对 于倾向方位 角为 0 , 倾 角为 币的结构面 :

xn=Rtg-2 cos0 (12) 名，=Rg -sin0 此外，极点的坐标，还常用以x为极轴，倾向方位角0为极角的极坐标（δ、0。）表示，这时， 此结构面的坐标表达式为： 图2 8n=Vxn2+2.2 =1+B。V1-B。2=Rtg$ R 2 (13) 0m=0 联结极点投影点与赤平园心的直线方程容易写出为x-zcg0=0,此线通过园心与走向 线垂直，它就是结构面的倾向线方程。 此外，结构面的法线1穿过球面时，与球面在两点处相交。除上述极点N是一个交点 外，尚有N点的对瞧点N'为第二交点，位置在下半球，其赤平极射投影点'在赤平园范围之 外。其极坐标表达式为： 8'=Rtg(90°-· 2 (14) 0m=0+180° 附带指出，比较(11)与(7)式，可见极点投影(xn、zn)并不等于以N为极点的任意球面园 V的赤平投影园W的园心坐标(xw、zw)。但是 Zn Zw 二者同处于赤平园上同一条射径之上，其极距分别为： 8=RYao+yo 1+B。 B-RVaity.s (15) （R+R)

C叩 O S i n o ( 1 2 ) 小一 2 gg李 . 十L , tt 二 RR 厂 Xz nn 一一 声.r、凡 此外 , 极点 的 坐标 , 还 常用 以 X 为 极 轴 , 倾 向方 位角。为 极 角的极 坐 标 ( 乙户 叽) 表示 , 这时 , 此 结 构面 的坐 标表 达 式 为 : 己 : 1 = 侧 x n “ + z n 一 1 十 日 图 2 一 ; 护 , 一 : 一 、 、 一 二、 小 一 斌 1 一 日 。 2 二 R gt 一 。 ’ ` 卜 U 几 一 。 2 ( 1 3 ) 、 I l j ` J 矛`子. Q 。 二 e 联结 极点 投影点 与赤平 园心的直线方 程容易 写出为 x 一 Z c 比 。 一 。 线 垂 直 , 它就 是结 构面 的倾 向线 方 程 。 此 线通过 园心与 走 向 此外 , 结 构面 的 法线 l 穿 过 球面 时 , 与球面 在两 点处相交 。 除 上述极点 N 是 一 个交 点 外 , 尚有 峭 的对 蹂点’N 为 第二交点 , 位 置在下半球 , 其赤 平极 射 投影点 ” ’ 在 赤平园 范围之 外 。 其极 坐标 表达 式为 : 各 n ’ 一 R ` g (。。一 岁 一 ) o n , 二 。 + 1 8 0 。 ( 14 ) 附带 指 出 , 比 较 l( l) 与 ( 7 ) 式 , 可 见极 点投 影 ( x 。 、 z 。 ) 并不等 于 以 N为极 J假的任意 球 面 园 v 的赤 平 投影 园 W的 园心坐 标 ( x w 、 Z w ) 。 但是 如纵 一 一场纵 ù一 一自0Y 二者 同 处于 赤平 园上 同一条射 径之上 , 其极距分 别为 : 二 R匕蜘 _ “ 1 十 + Y 。 日 。 、 了 a 。 。 W “ 竹 一瓦 一 2 十 Y O + 日 。 ) 厂 { 少 ( 1 5 )

由于1≤R,因此w8≥8n。 3吳尔夫投影网 绘制结构面的赤平极射投影迹线无需直接使用解析几何，吴尔夫制作的一种投影网就是 专供绘制结构面的投影用的。 一套吴氏网由两张网图组成，一为经纬线网，一为子午线网，两张网图取相同半径的赤 平园表出，互相配合使用。 (1)经纬线网 经纬线网由经、纬两族曲线构成，经线由走向相同，倾角不同的大园赤平投影迹线构 成（见图3），经线族方程为： R x2+(z±Rtg)2=(cosb) (16) 纬线是一系列与经线大园的走向垂直的直立乎面与球面交成的直立小园的赤乎投影迹 线，制图时取这些直立平面的参数为1。=RCos入，Y。=1,:(见图3)，由方程(6)得纬线族 方程为： R (x- cos元)2+z2=(Rtg入)2 (17) (2)子午线一纬度圈网 子午线一纬度圈网由另外两组平面的赤平极射投影构成。一组平面直立，通过参考园 心，但其走向方位角不同，这一组乎面的赤乎投影线称为子午线族。将方程(8)展开，令 B。=0即得子午线族方程： x.-ztg(0-90°)=0 (18) 其中(0-90°)为平面的走向方位角。 手年 维查 0 0 AF的 人=90 N 图3 5

由于 ` 夕 , 因此矽到俩 - 3 吴尔失投 影网 绘制 结构面的赤平极射投影迹线 无需直 接使用解析几何 , 吴尔夫制 作的 一种投影网 就是 专供 绘制结 构面 的投 影用 的 。 - 一套吴 氏网由两 张网图组成 , 一 为经纬线 网 , “ 为 子午线网 , 两 张 网图 取相同半径的赤 平 园表 出 , 互相 配合使 用 。 ’ (l ) 经纬线网 经 纬线 网 由经 、 纬两 族曲 线构 成 , 经线 由走 向相同 , 倾角不 同的大园赤 平投 影迹线 构 成 (见 图 3) , 经线族方程为 : _ 一 ( · 土 R t 、 州 二 (孟 ) 2 ( 1 6 ) 纬线是一 系列 与 经线大园的走向垂直的 直立平面与球面 交成的直立小园的 赤平投影迹 线 , 制图 时取这些直立 平面的参数为:10 R,c o吟 方程为 : _ 石 二 1 , ( 见 图3) , 由方程 ( 6) 得纬 一 线族 x( 一 篇 、 ) · + · 卜 俪 g 入介 ( 1 7 ) (2 ) 子午线一 纬度 圈网 ` 少耳犷黔 一组 平面直立 , 通 过参考 园 “ 线族 。 将 方 程 (8 ) 展开 , 令 ( 1 8 ) 合手 邵 垮 条维 度圈 愈戈. 闪 含 孚尤釜勿拍 罄 图 一 3 毋