信号与系统电呼 4.2傅里叶级数 二、波形的对称性与谐波特性 1.f()为偶函数对称纵坐标 7-272 f(tcos(nEt)dt f(tsin( nQt)dt bn=0,展开为余弦级数。 2.f(t)为奇函数对称于原点 an=0,展开为正弦级数 实际上,任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部 分,即f(t)=fn(t)+f() 由于f(-t)=fo(-t)+f-t)=-fo(t+f。(所以 第4D日西安电科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第1-11页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.2 傅里叶级数 二、波形的对称性与谐波特性 1 .f(t)为偶函数——对称纵坐标 − = 2 2 ( ) cos( )d 2 T n T f t n t t T a − = 2 2 ( )sin( )d 2 T n T f t n t t T b bn =0，展开为余弦级数。 2 .f(t)为奇函数——对称于原点 an =0，展开为正弦级数。 实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部 分，即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -f od(t) + fev(t) 所以
信号与系统电呼 42傅里叶级数 f(t)=f(1)-f(-1) f(t)+f(-1) 2 3.ft为奇谐函数—f(t)=-(tT/2) 此时其傅里叶级数中只含奇次 ▲ft 谐波分量,而不含偶次谐波分 量即a。=a2=…=b2=b4==0 0T/2 、傅里叶级数的指数形式 角形式的傅里叶级数,含义比较明确,但运算常感 不便,因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三 角形式推出:利用cosx=(ek+e-)2 第1214| 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第1-12页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.2 傅里叶级数 2 ( ) ( ) ( ) f t f t f t od − − = 2 ( ) ( ) ( ) f t f t f t e v + − = 3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2) f(t) 0 T/2 T t 此时 其傅里叶级数中只含奇次 谐波分量，而不含偶次谐波分 量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0 三、傅里叶级数的指数形式 三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感 不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三 角形式推出：利用 cosx=(ejx + e–jx)/2
信号与系统电来 42傅里叶级数 f(t)=2 ∑ A coS(n@t +∑ n e j(nS2t+(n)+e -j(nQt+Pn) 2 N× ∑A,et ∑ 上式中第三项的n用-n代换,A=An,qn=-qn 则上式写为 +∑ PnojnQ2 t ∑A in t ee ee n=1 令A。=A0elpe0o,q0=0 所以() ∑ jPnojnQ2t 2 1= 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第1-13页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.2 傅里叶级数 = + − + = + + 1 0 ( ) ( ) [e e ] 2 n 2 n j n t j n t n n A A = = = + + 1 1 0 e e 2 1 e e 2 1 2 n j j n t n n j j n t n n n A A A = = + + 1 0 cos( ) 2 ( ) n n n A n t A f t 上式中第三项的n用–n代换，A– n=An，– n= – n， 则上式写为 − =− = + + 1 1 0 e e 2 1 e e 2 1 2 n j j n t n n j j n t n n n A A A 令A0=A0 e j0e j0t ，0=0 =− = n j j n t n n f t A e e 2 1 ( ) 所以
信号与系统电来 4.2傅里叶级数 令复数1A,e=|Fle"=F 称其为复傅里叶系数,简称傅里叶系数。 2e/ (An coS Pn +jAn sinn=(an-jbn) 2 T j= f(t)sin( nsr)dt f(te inot 7了(b)cos(nt)dt (0)=∑ Fn e/ F=7p/emdr n=0,士1,士2 表明:任意周期信号(可分解为许多不同频率的虚指 数信号之和。F0=A02为直流分量 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第1-14页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.2 傅里叶级数 令复数 n n j An F F n n = = e e 2 1 称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。 ( ) 2 1 ( cos sin ) 2 1 2 1 n n n n n n j n n F A e A jA a jb n = = + = − − − − = − = 2 2 2 2 2 2 ( ) e d 1 ( )sin( )d 1 ( ) cos( )d 1 T T j n t T T T T f t t T f t n t t T f t n t t j T =− = n j n t Fn f (t) e n = 0, ±1, ±2，… − = 2 2 ( ) e d 1 T T j n t n f t t T F 表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指 数信号之和。 F0 = A0 /2为直流分量
信号与系统电呼 4.2傅里叶级数 四、周期信号的功率— Parseval等式 周期信号一般是功率信号,其平均功率为 J(M=2)+224=∑FP 直流和n次谐波分量在19电阻上消耗的平均功率之和 0时,Fl=An/2 第15贝14|4| 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第1-15页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.2 傅里叶级数 四、周期信号的功率——Parseval等式 =− = = + = n n n n T A F A f t dt T 2 1 0 2 2 0 2 | | 2 1 ) 2 ( ) ( 1 直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。 n≥0时， |Fn | = An /2。 周期信号一般是功率信号，其平均功率为