信号与系统电4.1信号分解为正交函数 三、信号的正交分解 设有n个函数q1(),φ2(,…,φn()在区间〔t1,t) 构成一个正交函数空间。将任一函数ft用这n个正交 函数的线性组合来近似,可表示为 f(t)sC1φ1+C22+…+Cnn 如何选择各系数C使f(与近似函数之间误差在 区间(t1,t2)内为最小。 通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为 ∫U()-2C9dr 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第1-6页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.1 信号分解为正交函数 三、信号的正交分解 设有n个函数 1 (t)， 2 (t)，…， n (t)在区间(t1，t 2 ) 构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交 函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn 如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在 区间(t1，t 2 )内为最小。 通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为 f t C t t t t t t n j [ ( ) j j ( )] d 1 2 1 2 2 1 1 2 = − − =
信号与系统电4.1信号分解为正交函数 为使上式最小 da acaC ∫[(0)-∑C,)2d=0 展开上式中的被积函数,并求导。上式中只有两项不 为0,写为ah [-2Cf(t)o,(t)+C22(t)dt=0 aCJtr 即-22())d+2C!o:(dt=0 所以系数()(d f(to ( tdt (tdt 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第1-7页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.1 信号分解为正交函数 为使上式最小 [ ( ) ( )] d 0 2 1 1 2 2 = − = = t t n j j j i i f t C t t C C 展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不 为0，写为 − + = 2 1 [ 2 ( ) ( ) ( )]d 0 2 2 t t i i i i i C f t t C t t C 即 − + = 2 1 2 1 2 ( ) ( )d 2 ( )d 0 2 t t i i t t i f t t t C t t 所以系数 = = 2 1 2 1 2 1 ( ) ( )d 1 ( )d ( ) ( )d 2 t t i i t t i t t i i f t t t t t K f t t t C
信号与系统电4.1信号分解为正交函数 代入,得最小均方误差(推导过程见教材) e2=1f(0d-∑cK1≥0 在用正交函数去近似f(时,所取得项数越多,即m越 大,则均方误差越小。当n→∞时(为完备正交函数 集),均方误差为零。此时有 f()dt=∑C K 上式称为 Parseval巴塞瓦尔公式,表明:在区间(t,t2) f(t所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各 正交分量能量的总和。 函数可分解为无穷多项正交函数之和f()=∑C9(O) 8贝14|4| 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第1-8页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.1 信号分解为正交函数 代入，得最小均方误差（推导过程见教材） [ ( )d ] 0 1 1 2 2 2 1 2 2 1 − − = = n j j j t t f t t C K t t 在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越 大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数 集），均方误差为零。此时有 = = 1 2 2 2 1 ( )d j j j t t f t t C K 上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间(t1 ,t2 ) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各 正交分量能量的总和。 = = 1 ( ) ( ) j j j 函数 f t C t f(t)可分解为无穷多项正交函数之和
信号与系统电来 4.2傅里叶级数 4.2傅里叶级数 傅里叶级数的三角形式 设周期信号f(,其周期为T,角频率Ω2=2π/,当满足 狄里赫利 Dirichlet)条件时,它可分解为如下三角级 数—称为f的傅里叶级数 f()=2+∑ a. cOS(n9)+∑b,smng2) 系数an,b称为傅里叶系数 f(tcos(net)dt f(tsin( net)dt T 可见,an是n的偶函数,b是n的奇函数 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第1-9页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.2 傅里叶级数 4.2 傅里叶级数 一、傅里叶级数的三角形式 设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足 狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级 数—— 称为f(t)的傅里叶级数 = = = + + 1 1 0 cos( ) sin( ) 2 ( ) n n n n a n t b n t a f t 系数an , bn称为傅里叶系数 − = 2 2 ( ) cos( )d 2 T n T f t n t t T a − = 2 2 ( )sin( )d 2 T n T f t n t t T b 可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数
信号与系统电来 4.2傅里叶级数 将上式同频率项合并,可写为 +∑A, cos(nQ2i+9n) 式中,A=a0An=a2+b29n=- arctan 可见A是n的偶函数,gn是n的奇函数。 an=Acos(pn, bn=-Ansin (Pn, n=1, 2,. 上式表明,周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中,A0/2为直流分量; A1cos(Qtq1)称为基波或一次谐波,它的角频率与原周 期信号相同; A2COs(22tq2称为二次谐波,它的频率是基波的2倍; 般而言, AcOs(n2t称为n次谐波。 第4D日西安电科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第1-10页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.2 傅里叶级数 = = + + 1 0 cos( ) 2 ( ) n n n A n t A f t 式中，A0 = a0 2 2 An = an + bn n n n a b = −arctan 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， A0 /2为直流分量； A1 cos(t+1 )称为基波或一次谐波，它的角频率与原周 期信号相同； A2 cos(2t+2 )称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，An cos(nt+n )称为n次谐波。 可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = –An sin n，n=1,2,… 将上式同频率项合并，可写为