第2课时数列求和 》应用采巩固提升 强化·培优·通关◆ [A基础达标] 1.设{an}是首项为a,公差为-1的等差数列,S为其前n项和.若S,S,S成等比 数列,则a1=() 解析:选D.因为等差数列{a}的前n项和为 n-1)d,所以S,S,S分 为a,2a-1,4a-6. 因为S,S,S成等比数列, 所以(2a-1)=a,(4a-6,解得a=- 数列{a}的通项公式是a=1 =,若前n项和为10,则项数为( B.99 C.120 解析:选C.因为an 所以 =(2-1)+(3-V2)+…+(m+1- 令√m+1-1=10 得 3.数列{an},{bn}满足anb=1,an=n2+3n+2,则{b}的前10项和为() 解析:选B.依题意b= ann2+3n+2(n+1)(n+2)n+1m+2 所以的前0项和为S=2+(-9+(+…+(1-1)=12=2故 选 4.设数列1,(1+2),…,(1+2+22+…+2),…的前n项和为Sn,则S2=(
第 2 课时 数列求和 [A 基础达标] 1．设{an}是首项为 a1，公差为－1 的等差数列，Sn为其前 n 项和．若 S1，S2，S4 成等比 数列，则 a1＝( ) A．2 B．－2 C. 1 2 D．－ 1 2 解析：选 D.因为等差数列{an}的前 n 项和为 Sn＝na1＋ n（n－1） 2 d，所以 S1，S2，S4 分别 为 a1，2a1－1，4a1－6. 因为 S1，S2，S4 成等比数列， 所以(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，解得 a1＝－ 1 2 . 2．数列{an}的通项公式是 an＝ 1 n＋ n＋1 ，若前 n 项和为 10，则项数为( ) A．11 B．99 C．120 D．121 解析：选 C.因为 an＝ 1 n＋ n＋1 ＝ n＋1－ n，所以 Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝( 2－1)＋( 3－ 2)＋…＋( n＋1－ n) ＝ n＋1－1， 令 n＋1－1＝10， 得 n＝120. 3．数列{an}，{bn}满足 anbn＝1，an＝n 2＋3n＋2，则{bn}的前 10 项和为( ) A. 1 4 B. 5 12 C. 3 4 D. 7 12 解析：选 B.依题意 bn＝ 1 an ＝ 1 n 2＋3n＋2 ＝ 1 （n＋1）（n＋2） ＝ 1 n＋1 － 1 n＋2 ， 所以{bn}的前 10 项和为 S10＝ 1 2 － 1 3 ＋ 1 3 － 1 4 ＋ 1 4 － 1 5 ＋…＋ 1 11－ 1 12 ＝ 1 2 － 1 12＝ 5 12，故 选 B. 4．设数列 1，(1＋2)，…，(1＋2＋2 2＋…＋2 n－1 )，…的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝( )
解析:选D因为a=1+2+2+…+2-=1=2=2-1,所以S=(2+2+2+…+2 2(1-2) 5.在数列{an}中,a=2,a=2,an+2-an=1+(-1)",n∈N,则S0的值为( A.990 B.1000 D.99 解析:选A.当n为奇数时,an+2-an=0,an=2 当n为偶数时,an+2-an=2,an=n. 故S0=2×30+(2+4+…+60)=990 6.在等比数列{a}中,若。,a=-4,则|a|+1a|+…+|al| 解析:设等比数列{a}的公比为q,则a=aq,代入数据解得q=-8,所以q=-2 等比数列{|al}的公比为d=2,则al=×2-,所以|a|+|a+|a|+…+|al=(1 +2+2+…+2-)=(2°-1)=21 答案:21 n,n为奇数 7.已知函数f(n) n,为数且a=f(m)+f(n+1),则a+a+a+…+a 等于 解析:由题意,a+a+…+a1m=12-22-2+32+32-42-42+52+…+99-1002-100 +1012=-(1+2)+(3+2)-…-(99+100)+(101+100)=100 答案:100 8.在数列{a}中,a=1a一12-1(n≥2,n∈N),则数列份的前n项和T= b 解析:令b"’由数列的递推公式bn+1且 ==1,则b=×会× b 刀-1 1×=×-×=x… +1n(n+1) 所以=1+ 2×33×4 n(n+1)=1+
A．2 n B．2 n －n C．2 n＋1－n D．2 n＋1－n－2 解析：选 D.因为 an＝1＋2＋2 2＋…＋2 n－1＝ 1－2 n 1－2 ＝2 n －1，所以 Sn＝(2＋2 2＋2 3＋…＋2 n ) －n＝ 2（1－2 n ） 1－2 －n＝2 n＋1－n－2. 5．在数列{an}中，a1＝2，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n ，n∈N *，则 S60 的值为( ) A．990 B．1 000 C．1 100 D．99 解析：选 A.当 n 为奇数时，an＋2－an＝0，an＝2； 当 n 为偶数时，an＋2－an＝2，an＝n. 故 S60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990. 6．在等比数列{an}中，若 a1＝ 1 2 ，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________． 解析：设等比数列{an}的公比为 q，则 a4＝a1q 3，代入数据解得 q 3＝－8，所以 q＝－2. 等比数列{|an|}的公比为|q|＝2，则|an|＝ 1 2 ×2 n－1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝ 1 2 (1 ＋2＋2 2＋…＋2 n－1 )＝ 1 2 (2n －1)＝2 n－1－ 1 2 . 答案：2 n－1－ 1 2 7．已知函数 f(n)＝ n 2，n为奇数， －n 2，n为偶数， 且 an＝f(n)＋f(n＋1)，则 a1＋a2＋a3＋…＋a100 等于________． 解析：由题意，a1＋a2＋…＋a100＝1 2－2 2－2 2＋3 2＋3 2－4 2－4 2＋5 2＋…＋992－1002－1002 ＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100. 答案：100 8．在数列{an}中，a1＝1，an＝ n 2 n 2－1 an－1(n≥2，n∈N * )，则数列 an n 2 的前 n 项和 Tn＝ ________． 解析：令 bn＝ an n 2，由数列的递推公式，可得 bn bn－1 ＝ n－1 n＋1 ，且 b1＝ a1 1 2＝1，则 bn＝b1× b2 b1 × b3 b2 × b4 b3 ×…× bn bn－1 ＝1× 1 3 × 2 4 × 3 5 ×…× n－1 n＋1 ＝ 2 n（n＋1） ，所以 Tn＝1＋ 2 2×3 ＋ 2 3×4 ＋…＋ 2 n（n＋1） ＝1＋2 1 2 － 1 3 ＋ 1 3 － 1 4 ＋…＋ 1 n
n+1 n+1 答案: 9.设{a}是公比为正数的等比数列,a=2,a=a+4 (1)求数列{an}的通项公式 (2)设{b}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{an+b}的前n项和S 解:(1)设q为等比数列{an}的公比,则由a=2,a=a+4,得2q=2q+4,即q-q 2=0,解得q=2或q=-1(舍去),因此q=2,所以{a}的通项公式为an=2(n∈N). (2)由题意得数列{a+b}的前n项和S=a1+a+…+an+(b+b2+…+b) 2×(1-2) n(n-1) n×1+ 2=2++n2-2. 1-2 2 10.(2019·广东深圳调研)设数列{a}的前n项和为Sn,a1=2,an+1=2+S2(n∈N) (1)求数列{an}的通项公式 (2)设b=1+1og2(a)2,若数列b 的前n项和为T,求 解:(1)因为an+1=2+S(n∈N) 所以a2=2+S-1(n≥2), 所以an+1-an=S0-Sn-1=an,所以a+1=2an(n≥2), 又因为a=2+a=4,a=2,所以a=2a,所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等 比数列,则an=2·2-=2°(n∈N) (2)证明:因为b=1+1og2(an)2,则b2=2n+1,所以 bn+122n+12m+3,所以 +=-=+…+ 23557 2n+12n+3 232n+33(2n+3) [B能力提升] 11.(2019·石家庄期末检测)已知数列{a}满足an+2=an+1-an,且a1=2,a=3,S为 数列{a}的前n项和,则S2o9的值为() B.1 C.6 解析:选C.由题意可得a1=2,a2=3,a=1,a=-2,=-3,4=-1,=2, 3,函=1,…,则数列{an}是以6为周期的周期数列,且a十十a+a十十=0,所以 S0=336×(a+a+a十a十品十a)十a1+a+函=6.故选 12.已知1nx+1nx2+…+1nx0=110,则1nx+1n2x+1nx+…+1nx=
－ 1 n＋1 ＝1＋2 1 2 － 1 n＋1 ＝ 2n n＋1 . 答案： 2n n＋1 9．设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设{bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列{an＋bn}的前 n 项和 Sn. 解：(1)设 q 为等比数列{an}的公比，则由 a1＝2，a3＝a2＋4，得 2q 2＝2q＋4，即 q 2－q －2＝0，解得 q＝2 或 q＝－1(舍去)，因此 q＝2，所以{an}的通项公式为 an＝2 n (n∈N * )． (2)由题意得数列{an＋bn}的前 n 项和 Sn＝a1＋a2 ＋…＋an＋(b1＋b2 ＋…＋bn)＝ 2×（1－2 n ） 1－2 ＋n×1＋ n（n－1） 2 ×2＝2 n＋1＋n 2－2. 10．(2019·广东深圳调研)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝2，an＋1＝2＋Sn(n∈N * )． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝1＋log2(an) 2，若数列 1 bnbn＋1 的前 n 项和为 Tn，求 Tn. 解：(1)因为 an＋1＝2＋Sn(n∈N * )， 所以 an＝2＋Sn－1(n≥2)， 所以 an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，所以 an＋1＝2an(n≥2)， 又因为 a2＝2＋a1＝4，a1＝2，所以 a2＝2a1，所以数列{an}是以 2 为首项，2 为公比的等 比数列，则 an＝2·2n－1＝2 n (n∈N * )． (2)证明：因为 bn＝1＋log2(an) 2，则 bn＝2n＋1，所以 1 bnbn＋1 ＝ 1 2 1 2n＋1 － 1 2n＋3 ，所以 Tn＝ 1 2 1 3 － 1 5 ＋ 1 5 － 1 7 ＋…＋ 1 2n＋1 － 1 2n＋3 ＝ 1 2 1 3 － 1 2n＋3 ＝ n 3（2n＋3） . [B 能力提升] 11．(2019·石家庄期末检测)已知数列{an}满足 an＋2＝an＋1－an，且 a1＝2，a2＝3，Sn为 数列{an}的前 n 项和，则 S2 019 的值为( ) A．0 B．1 C．6 D．4 解析：选 C.由题意可得 a1＝2，a2＝3，a3＝1，a4＝－2，a5＝－3，a6＝－1，a7＝2，a8 ＝3，a9＝1，…，则数列{an}是以 6 为周期的周期数列，且 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，所以 S2 019＝336×(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6)＋a1＋a2＋a3＝6.故选 C. 12．已知 ln x＋ln x 2＋…＋ln x 10＝110，则 ln x＋ln2 x＋ln3 x＋…＋ln10 x＝________．
解析:由lnx+lnx2+…+1nx°=110. 得(1+2+3+…+10)1nx=110, 所以1nx=2 从而1nx+ln2x+ln3x+…+ln10x 2+22+23+…+2 2(1-2°) 21-2=2046. 答案:2046 13.已知数列{a}满足:a1=1,an+1+an=4n-1,n∈N 求数列{an}的前n项和Sn 解:由条件an++an=4n-1, an+2+an+1=4(n+1)-1, 两式相减,得an+2-a=4(常数) 这表明数列{a}的奇数项与偶数项分别构成以4为公差的等差数列,且a2=2. 当n为偶数时, 2×4+×2+ 2X4=n2-f 当n为奇数时, n+1/n+1 n+1 S==。×1+ ×2+ n-,n为偶数 故S n为奇数 14.(选做题)已知数列{a}的通项公式为an=3-,在等差数列{bn}中,b>0,且b+b2 +b=15,又a+b,a+b2,a+b成等比数列 (1)求数列{anbn}的通项公式; (2)求数列{anbn}的前n项和T 解:(1)因为an=3,所以a1=1,a2=3,a=9. 因为在等差数列{b}中,b+b2+b=15,所以3b2=15,则b2=5 设等差数列{b}的公差为d,又a+b,a+b2,a+b3成等比数列,所以(1+5-d(9 +5+d=64,解得d=-10或d=2. 因为b>0,所以d=-10应舍去,所以d=2,所以b=3,所以b=2n+1 故anbn=(2n+1)·3-1
解析：由 ln x＋ln x 2＋…＋ln x 10＝110. 得(1＋2＋3＋…＋10)ln x＝110， 所以 ln x＝2. 从而 ln x＋ln2 x＋ln3 x＋…＋ln10 x ＝2＋2 2＋2 3＋…＋2 10 ＝ 2（1－2 10） 1－2 ＝2 11－2＝2 046. 答案：2 046 13．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＋an＝4n－1，n∈N * . 求数列{an}的前 n 项和 Sn. 解：由条件 an＋1＋an＝4n－1， an＋2＋an＋1＝4(n＋1)－1， 两式相减，得 an＋2－an＝4(常数)． 这表明数列{an}的奇数项与偶数项分别构成以 4 为公差的等差数列，且 a2＝2. 当 n 为偶数时， Sn＝ n 2 ×1＋ n 2 n 2 －1 2 ×4＋ n 2 ×2＋ n 2 n 2 －1 2 ×4＝n 2－ n 2 . 当 n 为奇数时， Sn＝ n＋1 2 ×1＋ n＋1 2 n＋1 2 －1 2 ×4＋ n－1 2 ×2＋ n－1 2 n－1 2 －1 2 ×4＝n 2－ n－1 2 . 故 Sn＝ n 2－ n 2 ，n为偶数， n 2－ n－1 2 ，n为奇数. 14．(选做题)已知数列{an}的通项公式为 an＝3 n－1，在等差数列{bn}中，bn>0，且 b1＋b2 ＋b3＝15，又 a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3 成等比数列． (1)求数列{anbn}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前 n 项和 Tn. 解：(1)因为 an＝3 n－1，所以 a1＝1，a2＝3，a3＝9. 因为在等差数列{bn}中，b1＋b2＋b3＝15，所以 3b2＝15，则 b2＝5. 设等差数列{bn}的公差为 d，又 a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3 成等比数列，所以(1＋5－d)(9 ＋5＋d)＝64，解得 d＝－10 或 d＝2. 因为 bn>0，所以 d＝－10 应舍去，所以 d＝2，所以 b1＝3，所以 bn＝2n＋1. 故 anbn＝(2n＋1)·3n－1
(2)由(1)知T=3×1+5×3+7×32+…+(2m-1)·3-+(2n+1)3-①, 3T=3×3+5×32+7×3+…+(2m-1)31+(2n+1)32②, ①一②,得 2T=3×1+2×3+2×32+2×33+…2×3--(2n+1)32 =3+2(3+32+3+…+3-)-(2n+1)3° 3-3 =3+21-3-(2n+1)3 3-(2n+1)3 所以T=n·3 等比数列(强化练) 、选择题 1.已知等比数列{a2}的公比v=2,a=8,则其前3项和S的值为( 解析:选B.在等比数列{an}中,因为公比q=,a2=8, 所以a 则S2=a+a+a3=16+8+4=28 2.已知数列{a}是等比数列,若品2=2,a3=-4,则a等于() B. 解析:选D.设等比数列{a}的公比为a因为a=2,a=一4,所以=2=-4=-2 由a=aq,得 则a=aq=-1×(-2)=-16.故选D 3.在正项等比数列{a}中,=V2,=8,则a0等于() A. B 解析:选D.=②=1
(2)由(1)知 Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)·3n－2＋(2n＋1)3n－1 ①， 3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n ②， ①－②，得 －2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n ＝3＋2(3＋3 2＋3 3＋…＋3 n－1 )－(2n＋1)3n ＝3＋2× 3－3 n 1－3 －(2n＋1)3n ＝3 n －(2n＋1)3n ＝－2n·3n . 所以 Tn＝n·3n . 等比数列(强化练) 一、选择题 1．已知等比数列{an}的公比 q＝ 1 2 ，a2＝8，则其前 3 项和 S3 的值为( ) A．24 B．28 C．32 D．16 解析：选 B.在等比数列{an}中，因为公比 q＝ 1 2 ，a2＝8， 所以 a1＝ a2 q ＝ 8 1 2 ＝16，a3＝a2q＝8× 1 2 ＝4， 则 S3＝a1＋a2＋a3＝16＋8＋4＝28. 2．已知数列{an}是等比数列，若 a2＝2，a3＝－4，则 a5 等于( ) A．8 B．－8 C．16 D．－16 解析：选 D.设等比数列{an}的公比为 q.因为 a2＝2，a3＝－4，所以 q＝ a3 a2 ＝－ 4 2 ＝－2. 由 a2＝a1q，得 a1＝－1. 则 a5＝a1q 4＝－1×(－2)4＝－16.故选 D. 3．在正项等比数列{an}中，a3＝ 2，a5＝8a7，则 a10 等于( ) A. 1 128 B. 1 256 C. 1 512 D. 1 1 024 解析：选 D.q 2＝ a7 a5 ＝ 1 8 ，即 q＝ 2 4