第1课时等比数列的前n项和 课后篇巩固探究 1.已知数列{an}的通项公式是an=2,S是数列{an}的前n项和,则S0等于( A.10 B.210 C.a°-2 留: 性=,:数列{a}是公比为2的等比数列,且a之 10 :S0 2.在等比数列{an}中,a=9,=243,则{an}的前4项和为() A.81 B.120 C.168 D.192 a23(1-34) 解因为”=7=,所以q=3,a==,S=13=20 3.已知等比数列{a}的前n项和为S,且aa+则=() A.4 B.4-1 C 2 D.2-1 图没公比为则=+a3-2 于是因此通于是s=() n-2 于是 4.在14与之间插入n个数组成一个等比数列,若各项总和为°,则此数列的项数为() A.4 B.5 C.6 D.7
1 第 1 课时 等比数列的前 n 项和 课后篇巩固探究 A 组 1.已知数列{an}的通项公式是 an=2 n ,Sn是数列{an}的前 n 项和,则 S10 等于( ) A.10 B.210 C.a 10 -2 D.211 -2 解析∵ =2,∴数列{an}是公比为 2 的等比数列,且 a1=2. ∴S10= =2 11 -2. 答案 D 2.在等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前 4 项和为( ) A.81 B.120 C.168 D.192 解析因为 =27=q 3 ,所以 q=3,a1= =3,S4= =120. 答案 B 3.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a3=,a2+a4=,则 =( ) A.4n-1 B.4n -1 C.2n-1 D.2n -1 解析设公比为 q,则 q= , 于是 a1+a1=,因此 a1=2,于是 Sn= =4 ,而 an=2 ,于是 =2 n -1. 答案 D 4.在 14 与之间插入 n 个数组成一个等比数列,若各项总和为 ,则此数列的项数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7
解设a=14,a 14 则S n+1 解得q=-.所以an2=14· 解得n=3.故该数列共5项 5.已知首项为1,公比为的等比数列{a}的前n项和为S,则( A. S=2 B.Sn3a2→2 C 5=-3a D S=3-2a a1-anq 1-an3 解在等比数列{a}中,S 6.对于等比数列{a},若a15,q=,S2=5,则an= 41-0n9 a1-(1-q)sn5+35 解柘由S=,得a= 案}0 7.在等比数列{an}中,设前n项和为S,若a=S+,a2S2+1,则公比q= 解因为a之S,a=,两式相减得a之a,即a3a,所以q= 案 8数列2百,2 ,的前n项和S= :22+22 由①②得Ss2分x 22+I 2x1
2 解析设 a1=14,an+2=, 则 Sn+2= , 解得 q=-.所以 an+2=14· , 解得 n=3.故该数列共 5 项. 答案 B 5.已知首项为 1,公比为的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则( ) A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an 解析在等比数列{an}中,Sn= =3-2an. 答案 D 6.对于等比数列{an},若 a1=5,q=2,Sn=35,则 an= . 解析由 Sn= ,得 an= =20. 答案 20 7.在等比数列{an}中,设前 n 项和为 Sn,若 a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比 q= . 解析因为 a3=2S2+1,a4=2S3+1,两式相减,得 a4-a3=2a3,即 a4=3a3,所以 q= =3. 答案 3 8.数列 ,…, 的前 n 项和 Sn= . 解析∵Sn= +…+ , ① Sn= +…+ , ② 由①-②,得 Sn= +…+ =1- , ∴Sn=2-
9.已知等比数列{a}满足a=12,=记其前n项和为Sn(1)求数列{an}的通项公式an;(2) 若Sn=93,求n 图)设等比数列{a}的公比为a 12 则 解得 所以an=aq=48 a1(1- 由S=93,得96 1() 93,解得n=5 10.导学号0494046已知等差数列{a}的首项为a,公差为b方程a23x20 的解为1和b(b≠1). (1)求数列{a}的通项公式 (2)若数列{an}满足b=an·2,求数列{bn}的前n项和T 图1)因为方程ax23x240的两根为x=1,.= -3+2=0 可得ab23b+2=0解得b=2所以a2n1 (2)由(1)得b=(2n-1)·2, 所以T功+和…bn1X2书X22+…+(2n-1)·2,① 2T=1X23X2+…+(2n-3)·2+(2n-1)·2, 由①②得 7x2乜x22x2+…·2-(2n-1)·2"(2+2+2+…2)-(2n-1)·2122·12 2n-1)·2-2=(3-2m)·26. 所以T=(2n3)·2”6 B组 1.等比数列{an}的前n项和为S,若S23(a+a3+…+an-),aaa2=8,则S=() A.2-1 C.2m-1 D.2+1 a 解显然q≠1,由已知得
3 答案 2- 9.已知等比数列{an}满足 a3=12,a8=,记其前 n 项和为 Sn.(1)求数列{an}的通项公式 an;( 2) 若 Sn=93,求 n. 解(1)设等比数列{an}的公比为 q, 则 解得 所以 an=a1q n-1 =48· . (2)Sn= =96 . 由 Sn=93,得 96 =93,解得 n=5. 10. 导学号 04994046 已知等差数列{an}的首项为 a,公差为 b,方程 ax 2 -3x+2=0 的解为 1 和 b(b≠1). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}满足 bn=an·2n ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解(1)因为方程 ax 2 -3x+2=0 的两根为 x1=1,x2=b, 可得 解得 所以 an=2n-1. (2)由(1)得 bn=(2n-1)·2n , 所以 Tn=b1+b2+…+bn=1×2+3×2 2 +…+(2n-1)·2n , ① 2Tn=1×2 2 +3×2 3 +…+(2n-3)·2n +(2n-1)·2n+1 , ② 由①-②,得 -Tn=1×2+2×2 2 +2×2 3 +…+2·2n -(2n-1)·2n+1 =2(2+2 2 +2 3 +…+2 n )-(2n-1)·2n+1 -2=2· -( 2n-1)·2n+1 -2=(3-2n)·2n+1 -6. 所以 Tn=(2n-3)·2n+1 +6. B 组 1.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2n=3(a1+a3+…+a2n-1),a1a2a3=8,则 Sn=( ) A.2n -1 B.2n-1 -1 C.2n+1 -1 D.2n +1 解析显然 q≠1,由已知,得 =3×
整理,得q=2. 因为aa书,所以a2=, 所以a之,从而a1=1 于是Sn 2.已知数列{an}是首项为1的等比数列,S是{a}的前n项和,且9S=S,则数列的前5项 和为( A.或5 a或5 C 解由题意易知公比q≠1 a12=14,解得q 1(1-q5 由9S=S,得9 所以是首项为1,公比为的等比数列 1x/1-31 所以其前5项和为S=126 1 3.在等比数列{a}中,a…=7,2…53,则a=() A.±9 D.3 (1-q5 27 解设公比为a则由已知可得 两式相除,得1q=9,即“3=9,所以a3=±3 昏案 4.若等比数列{a}的前n项和为Sn,且S,S,S成等差数列,则{a}的公比q 4
4 整理,得 q=2. 因为 a1a2a3=8,所以 =8, 所以 a2=2,从而 a1=1. 于是 Sn= =2 n -1. 答案 A 2.已知数列{an}是首项为 1 的等比数列,Sn是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列 的前 5 项 和为( ) A. 或 5 B. 或 5 C. D. 解析由题意易知公比 q≠1. 由 9S3=S6,得 9· ,解得 q=2. 所以 是首项为 1,公比为的等比数列. 所以其前 5 项和为 S5= . 答案 C 3.在等比数列{an}中,a1+a2+…+a5=27, +…+ =3,则 a3=( ) A.±9 B.9 C.±3 D.3 解析设公比为 q,则由已知可得 两式相除,得 q 4 =9,即 =9,所以 a3=±3. 答案 C 4.若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S1,S3,S2成等差数列,则{an}的公比 q=
由题意,得a+(aq)之(atq引),又a≠0,q≠0,故q= 解设S 两式相减,得 1 S=1223 器=计+型=(一 所以S=3 6.若等比数列{an}的前n项和为Sn且S+S=S,则公比q等于 解若q=,S+3a+6a9a1≠2S a1(12+91-42=21y ∴q≠1,∴ 即2q-q-q=0,∴q(2q-2-1)=0 q≠0,∴2g-q3-1=0, (q-1)(2q+1)=0, q=或q=1(舍),q=2 7.已知等比数列{a}的各项均为正数,且2aa=,354a (1)求数列{a}的通项公式 (2)设b=an-an-1,求数列{b}的前n项和S 1)设{a的公比为a则由959,得(a)2号ad·ad 即a1g92100,因此 因为{a}的各项均为正数,所以qXO,所以q= 又因为2a书a=1,所以2a1a1·=1,解得a1= 故
5 解析由题意,得 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q 2 ),又 a1≠0,q≠0,故 q=-. 答案- 5.1+ +…+ = . 解析设 Sn=1+ +…+ ,则 Sn= +…+ ,两式相减,得 Sn=1+ +…+ . 所以 Sn=3- . 答案 3- 6.若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3+S6=2S9,则公比 q 等于 . 解析若 q=1,S3+S6=3a1+6a1=9a1≠2S9. ∴q≠1,∴ , 即 2q 9 -q 6 -q 3 =0,∴q 3 (2q 6 -q 3 -1)=0. ∵q≠0,∴2q 6 -q 3 -1=0, ∴(q 3 -1)(2q 3 +1)=0, ∴q 3 =-或 q 3 =1(舍),∴q=- . 答案- 7.已知等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1, =9a4a8. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=an-an-1,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解(1)设{an}的公比为 q,则由 =9a4a8,得(a1q 4 ) 2 =9a1q 3·a1q 7 , 即 q 8 =9 q 10 ,因此 q 2 =. 因为{an}的各项均为正数,所以 q>0,所以 q=. 又因为 2a1+3a2=1,所以 2a1+3a1·=1,解得 a1=, 故 an= ,即 an=