同济大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（3-3）线性方程组的解

c小结R(A)=R(B)=nAx=b有唯一解 R(4)=R(B)<n兮Ax=b有无穷多解. 定义:含有个参数的方程组的任一解,称为线性 方程组的通解 齐次线性方程组:系数矩阵化成行最简形矩阵, 便可写出其通解; 非齐次线性方程组:增广矩阵化成行阶梯形矩 阵,便可判断其是否有解.若有解,化成行最 简形矩阵,便可写出其通解; 上页

小结 R(A)= R(B)= n  Ax = b有唯一解 R(A)= R(B) n  Ax = b有无穷多解. 方程组的通解． 定义：含有个参数的方程组的任一解，称为线性 齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；

生二、线性方程组的解法 上例1求解齐次线性方程组 x1+2x2+x3+x4=0 2x1+x2-2x3-2x4=0 x1-x,-4x2-3x1=0 解对系数矩阵A施行初等行变换 1221 1221 2r A=21-2-2 0-3-6-4 乃3 0-3-6 王页下

例1 求解齐次线性方程组 . 4 3 0 2 2 2 0 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4      - - - = + - - = + + + = x x x x x x x x x x x x 解           - - - = - - 1 1 4 3 2 1 2 2 1 2 2 1 A           - - - - - - 0 3 6 4 0 3 6 4 1 2 2 1 二、线性方程组的解法 对系数矩阵 A施行初等行变换： 3 1 2 2 1 r r r r - -

10,5, 1221 01 2 012 r2÷(-3) 3 000 0000 即得与原方程组同解的方程组 x-2x5 X= x2+2x3+x4=0, 3 上页

          0 0 0 0 3 4 0 1 2 1 2 2 1 ( 3) 2 3 2  - - r r r 1 2 2 r - r                 - - 0 0 0 0 3 4 0 1 2 3 5 1 0 2 即得与原方程组同解的方程组      + + = - - = 0, 3 4 2 0, 3 5 2 2 3 4 1 3 4 x x x x x x

由此即得x=233 45 5=2X5-3(x3,x1可任意取值) 令x3=c1,x4=C2,把它写成通常的参巍形式 =2c, (5) 29 =-2c 2 3 +c 3 3 =C1 0 0 =C 上页

         = = = - - = + , , , 3 4 2 , 3 5 2 4 2 3 1 2 2 2 1 2 2 x c x c x c c x c c ( , ). x3 x4 可任意取值 由此即得      = - - = + , 3 4 2 , 3 5 2 2 3 4 1 3 4 x x x x x x 令 x3 = c1 , x4 = c2，把它写成通常的参数形式 . 1 0 3 4 3 5 0 1 2 2 1 2 4 3 2 1                 + -             - =                c c x x x x