王s1.1均匀分布的数学期望 上·定理:设连续型随机变量X的密度函数为 a<xsb P(x)=b-a a 其他 则(x(a+b2 ·证明:E()=xx=x (a+b) b-a2|2 a 上页
§1.2.1 均匀分布的数学期望 a b a x b p x b a = − 0, 其他 , , 1 ( ) ( ) 2 1 2 1 1 ( ) ( ) 2 a b x b a dx b a E X x p x dx x b a b a = + − = − = = + − • 定理:设连续型随机变量X的密度函数为 则E(X)=(a+b)/2. • 证明:
§12.2指数分布的数学期望 ·足理:设连续型随机变量X的密度函数为 p(=1e x>0 >0 0 x≤0, c则随机变量X的数学期望为E(xX)=1 工工工 证明E()x)=xe +∞ t=/x I te +∞ te e a 0 0 上页
§1.2.2 指数分布的数学期望 0 0, 0, , 0, ( ) = − x e x p x + − + − = = 0 E(x) x p(x)dx x e dx x • 定理:设连续型随机变量X的密度函数为 则随机变量X的数学期望为E(X)=1/λ. 证明 + − = 0 1 t x te dt t 1 ( ) 1 0 0 = = − + + − + − t e e dt t t
王§13正态分布的数学期望 ·足理:设连续型随机变量XN2),则E(X 证明B力=1xep(nm2(x-) 2丌σ x=12C(+92 (t exp( ∫exp 丌O 2 2丌0 2 T exp(-)=g=s=元 expos=u 2丌 2 2 上页
§1.2.3 正态分布的数学期望 + − E X = x − (x − ) }dx 2 1 exp{ 2 1 ( ) 2 2 • 定理:设连续型随机变量X~N(μ,σ2 ) ,则 E(X)=μ. 证明 dt t x t t } 2 ( ) exp{ 2 1 2 2 − = + − + − dt t dt t t } 2 exp{ 2 } 2 ( exp{ 2 1 2 2 2 2 = − + − + − + − dt t } 2 exp{ 2 2 2 = − + − = − = + − ds s s t } 2 exp{ 2 2
王§2随机变量函数的数学期望 §21随机变量函数的数学期望 定理:设Y是随机变量X的函数Y=(Ⅹ)是连续函数) (1)设离散型随机变量Ⅹ的概率分布为 PX=x=pk, k-1, 2 若∑f(x)pk<+0 则 E(Y)=Ef(xX)=∑f(x)P ·(2)设连续型随机变量X的密度函数为px若 If(xl p(xdx<+oo 则有E()=BL(X)=()b 上页
§2 随机变量函数的数学期望 • 定理:设Y是随机变量X的函数:Y=f(X)(f是连续函数). = + 1 | ( ) | k k pk f x = = = 1 ( ) [ ( )] ( ) k k pk E Y E f X f x + − | f (x)| p(x)dx + + − E(Y) = E[ f (X)] = f (x) p(x)dx • (1)设离散型随机变量X的概率分布为 P{X=xk}=pk , k=1,2,... • (2)设连续型随机变量X的密度函数为p(x),若 若 则 则有 §2.1 随机变量函数的数学期望
定理:设Z是随机变量XY的函数Z=f(X,Y)(是连 上续函数 (1)设二维随机向量(X,Y)的分布律为 PIX=xi,Y=y)= i,j=1,2, 中若∑∑f(x)p<+ 则 E(Z)=Ef(X,Y)=∑∑f(x,y)P 王·(2)设二维随机向量(xY)的分布密度为x若 广_1f(x,y)|p(x,y)<+∞ 工工 VU E(Z)=EL(, r]=f(x,y)p(x,,dxdy 上页
P{X = x ,Y = y } = p i, j = 1,2,... i j i j ij + j i | f (xi , y j ) | p = = j i i j pi j E(Z) E[ f (X ,Y)] f (x , y ) + − + − | f (x, y)| p(x, y)dxdy + + − + − E(Z) = E[ f (X,Y)] = f (x, y) p(x, y)dxdy • 定理:设Z是随机变量X,Y的函数Z=f(X,Y) (f是连 续函数). • (1)设二维随机向量(X,Y)的分布律为 • (2)设二维随机向量(X,Y)的分布密度为p(x,y),若 若 则 则