王§113泊松分布数学期望 A·定理:设随机变量x服从泊松分布即 82 PX=kk!!! k=0,1,2,2>0 则随机变量X的数学期望F(X)=λ ·证明 工工 E(X)=∑k =∑点社 1 1 ne e (k-1) 上页
§1.1.3 泊松分布数学期望 • 证明: , 0,1,2,...; 0 ! { = }= = − e k k P X k k = = − = = − = − − − = e e k e e k E X k k k k k 1 1 0 ! ( 1)! ( ) • 定理:设随机变量X服从泊松分布,即 则随机变量X的数学期望E(X)=λ
§12连续型随机变量的数学期望 我们已知离散型随机变量X的数学期望为 E(X∑xP 自然要问连续型随机变量的数学期望是什么? °设p(x)是连续型随机变量的密度函数取分点 x0x1<<xn+1 王则随机变量X落在△(x)中的概率为 Ax,相当小时 P{X∈Ax}=「.p(x)t≈px)△x=P{Y=x} 与X近似的随机变量Y的数学期望为∑x,p(x,) i=0 由微积分知识自然想到ⅹ的数学期望为 xp(x)dx
§1.2 连续型随机变量的数学期望 •我们已知离散型随机变量X的数学期望为 E(X)= k k xk p •自然要问连续型随机变量的数学期望是什么? •设p(x) 是连续型随机变量X的密度函数,取分点 x0<x1<…<xn+1 则随机变量X落在△xi=(xi , xi+1)中的概率为 { } ( ) ( ) { } 1 i i i x x x i P X x p x dx p x x P Y x i i i = = = + 相当小时 •与X近似的随机变量Y的数学期望为 = n i i i i x p x x 0 ( ) 由微积分知识自然想到X的数学期望为 − xp(x)dx
·定义:设连续型随机变量X的密度函数为px),若 x p(x)dx<+oo 则称 Dxp(x)dr 午为连续型随机变量x的数学期望记为FX 如果 xp(x)=+∞ 王则称连续型随机变量X的数学期望不存在 上页
为连续型随机变量X的数学期望,记为E(X). + − | x | p(x)dx + + − xp(x)dx • 定义:设连续型随机变量X的密度函数为p(x),若 则称 • 如果 + − | x | p(x)dx = + 则称连续型随机变量X的数学期望不存在
中·例:设随机变量X的概率密度函数为 2x 0<x<1 p(x)= 其他 王试求X的数学期望 解2x)k=[x2xdt 工工 〔2xh=2x1=2 上页
= 0, 其他 2 , 0 1 ( ) x x p x + − E(X) = x p(x)dx • 例:设随机变量X的概率密度函数为 试求X的数学期望 解 3 2 3 2 2 1 0 3 1 0 2 = = = x dx x = 1 0 x 2xdx
例:若随机变量X的概率密度函数为 11 p(x)= 0o <x<+oo 丌1+x 问随机变量X的数学期望E(X)是否存在 解 x|p(x)x=「x =“ ”dx 丌1+x 1+x 二」 2d(1+x2)=-l(1+x2)6= 丌J01+x 所以F(X不存在但 C xp(dx=lro xn dx=0 1+x 上页
− + + = x x p x , 1 1 1 ( ) 2 dx x x dx x x p x dx x + + − + − + = + = 0 2 2 1 2 1 1 1 | | ( ) | | 0 1 1 ( ) 2 = + = + − + − dx x x x p x dx • 例:若随机变量X的概率密度函数为 问随机变量X的数学期望E(X)是否存在. 解 所以E(X)不存在.但 + = + = + = + + 0 2 2 0 2 ln(1 )| 1 (1 ) 1 1 1 d x x x