(5)实对称矩阵 (6)反实对称矩阵 (7)欧氏空间的度量矩阵 (8)酉空间的度量矩阵 内积空间的度量 定义:设T为酉(欧氏)空间,向量∈ 的长度定义为非负实数 C a. al 例在C中求下列向量的长度
（5） 实对称矩阵 （6） 反实对称矩阵 （7） 欧氏空间的度量矩阵 （8） 酉空间的度量矩阵 内积空间的度量 定义：设 为酉（欧氏）空间，向量 的长度定义为非负实数 例 在 中求下列向量的长度 V V = ( , ) 4 C
(1)a=(1+2,-i,3,2+√2i) (2)B=(1,-2,3,4) 解:根据上面的公式可知 |a|=√5+1+9+6=√21 =1+4+9+16=√30 一般地,我们有:对于C"中的任意向量 a=(aa 其长度为
(1) (1 2 , ,3,2 2 ) (2) (1, 2,3,4) i i i = + − + = − 解： 根据上面的公式可知 一般地，我们有: 对于 中的任意向量 其长度为 5 1 9 6 21 1 4 9 16 30 = + + + = = + + + = n C 1 2 ( , , , ) = a a an
i=1 这里a表示复数1的模 定理:向量长度具有如下性质 )|l≥0当且仅当a=0时,|l=0 (2)kal=klal,k∈C (3)|a+s|al+|f (4)(a,B)≤a
2 1 n i i a = = 这里 表示复数 的模。 定理：向量长度具有如下性质 当且仅当 时， i a i a (1) 0 = 0 = 0 (2) , k k k C = (3) (4) ( , ) + +
例1:在线性空间Mnn(C)中,证明 (4B2)s√7(4")y7(B") 例2设C[a,b表示闭区间[a,b上的所有 连续复值函数组成的线性空间,证明:对于 任意的f(x),g(x)∈C[a,b,我们有 f(x)g(x)(x)sV(x)4(x))19(x)4(x)
例 1： 在线性空间 中，证明 例 2 设 表示闭区间 上的所有 连续复值函数组成的线性空间，证明：对于 任意的 ，我们有 ( ) M C n n ( ) ( ) ( ) H H H Tr AB Tr AA Tr BB C a b [ , ] [ , ] a b f x g x C a b ( ), ( ) [ , ] 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x d x f x d x g x d x
定义:设V为欧氏空间,两个非零向量a,B 的夹角定义为 (a, B a B: =arccos allEl 于是有 0≤(a,B)≤ 定理: (a,B)= 冷(,B)=0 2
定义：设 为欧氏空间，两个非零向量 的夹角定义为 于是有 定理： V , ( , ) , : arccos = 0 , 2 , ( , ) 0 2 = =