握Lebesgue积分的N-L公式，会用Lebesgue分部积分公式。 三、参考书目 [)]程其襄等，《实变函数与泛函分析基础》，高等教育出版社，2010年，第三版。 [2]江泽坚，吴智泉，《实变函数论》，高等牧有出版社，1994年，第二版。 [3】王声望，郑维行，《实变函数与泛函分析概要》，高等教有出版社，1992年，第二 版
握 Lebesgue 积分的 N-L 公式，会用 Lebesgue 分部积分公式。 三、参考书目 [1] 程其襄等，《实变函数与泛函分析基础》，高等教育出版社，2010 年，第三版。 [2] 江泽坚，吴智泉，《实变函数论》，高等教育出版社，1994 年，第二版。 [3] 王声望，郑维行，《实变函数与泛函分析概要》，高等教育出版社，1992 年，第二 版
泛函分析 一、说明 课程性质：该课程是数学与应用数学专业云亭班专业平台必修课程之一，第 6学期开设，周4学时。 泛函分析是现代分析数学的理论基础，其主要讨论对象是无限维空问的结构 与性质及定义其上的线性算子与线性泛函的性质，是数学与应用数学专业本科段 的专业标志性课程。泛函分析的思想与方法已渗透到了现代纯粹数学与应用数 学、理论物理与工程技术的许多分支中，诸多经典的数学分支由于应用了泛函分 析而以全新的面貌出现，迈入到了现代。 教学目的：通过泛函分析基础理论的教学，使学生了解和掌握赋范线性空间， 有界线性算子，Hilbert空问，Banach空问的基本概念和基本理论，培养学生的 抽象思维能力与概括提炼能力，为进一步学习数学学科的有关分支和从事数学学 科的教学与研究打下一定的理论基础。 教学内容：度量空间与线性赋范空间，线性有界算子与线性连续泛函，内积 空问与Hilbert空问，Banach空问中的基本定理，线性算子的谱理论。 教学时数：72学时。 教学方式：课堂讲授。 二、大纲正文 第一章度量空间与线性赋范空间 教学要点：度量空间的概念与例子，度量空间中的点集，连续映射，线性赋 范空问，lp空问，稠密性与可分性空间，Cauchy点列与完备空问，列紧性，压 缩映射原理及其应用，有限维线性赋范空间。 散学时数：24学时。 教学内容： §1.1度量空问的概念与例子(2学时)：距离及度量空问间的定义，例子（欧 氏空间，连续函数空间，数列空间，可测函数空间等)。 §1.2度量空问中的点集(2学时)：收敛点列，邻域的概念，有界集，内 点、聚点与边界点，开集与闭集
泛函分析 一、说明 课程性质：该课程是数学与应用数学专业云亭班专业平台必修课程之一，第 6 学期开设，周 4 学时。 泛函分析是现代分析数学的理论基础，其主要讨论对象是无限维空间的结构 与性质及定义其上的线性算子与线性泛函的性质，是数学与应用数学专业本科段 的专业标志性课程。泛函分析的思想与方法已渗透到了现代纯粹数学与应用数 学、理论物理与工程技术的许多分支中，诸多经典的数学分支由于应用了泛函分 析而以全新的面貌出现，迈入到了现代。 教学目的：通过泛函分析基础理论的教学，使学生了解和掌握赋范线性空间， 有界线性算子，Hilbert 空间，Banach 空间的基本概念和基本理论，培养学生的 抽象思维能力与概括提炼能力，为进一步学习数学学科的有关分支和从事数学学 科的教学与研究打下一定的理论基础。 教学内容：度量空间与线性赋范空间，线性有界算子与线性连续泛函，内积 空间与 Hilbert 空间，Banach 空间中的基本定理, 线性算子的谱理论。 教学时数：72 学时。 教学方式：课堂讲授。 二、大纲正文 第一章 度量空间与线性赋范空间 教学要点：度量空间的概念与例子，度量空间中的点集，连续映射，线性赋 范空间，Lp 空间，稠密性与可分性空间，Cauchy 点列与完备空间，列紧性，压 缩映射原理及其应用，有限维线性赋范空间。 教学时数：24 学时。 教学内容： §1.1 度量空间的概念与例子（2 学时）：距离及度量空间的定义，例子（欧 氏空间,连续函数空间,数列空间, 可测函数空间等）。 §1.2 度量空间中的点集（2 学时）：收敛点列，邻域的概念，有界集，内 点、聚点与边界点，开集与闭集
§1.3连续映射(1学时)：度量空问映射连续性及等价描述，同胚的概念。 §1.4线性赋范空间(4学时)：线性赋范空间的概念，范数距离，Banach 空间的概念，Lp空间，P空间。 §1.5稠密性与可分性空间(2学时)：稠密的概念，可分空间及例子。 §1.6完备性(4学时)：Cauchy点列，完备空问及性质，度量空问的完备 化定理。 Sl.7列紧性(3学时)：完全有界集，列紧集，紧集，Hausdoff列紧性定 理，c[a,b]中的列紧集。 §1.8有限维线性赋范空问(2学时)：有限维线性赋范空问的坐标映射、范 数等价性及特征。 §1.8压缩映射原理及其应用(4学时)：压缩映像原理及推广，在隐函数定 理及常微分方程中的应用。 考核要求：掌握度量空间、线性赋范空间和Banach空间的概念和性质，掌 握映射连续性，度量空间中稠密、可分、完备、列紧等概念，熟悉C[a,b]空间， 严空间，L严空间，1P空间，P空间：掌握有限维线性赋范空间的特征，透彻理 解压缩映像原理及其筒单应用。 第二章线性有界算子和线性连续泛函 教学要点：线性有界算子，线性连续泛函，线性算子空间，共轭空间。 教学时数：8学时。 教学内容： §2.1线性有界算子与线性连续泛函(4学时)：线性算子的概念，线性算 子的有界性与连续性，线性有界算子及其范数，线性连续泛函，线性连续泛函零 空问的性质。 §2.2线性算子空间(2学时)：线性算子空间的代数运算与范数结构及其 完备性，算子代数。 §2.3共轭空间(2学时)：线性赋范空间的共轭空间的概念与性质，保距同 构，一些具体空间的共轭空间。 考核要求：掌握线性有界算子，线性连续泛函，有界性，连续性，算子范数
§1.3 连续映射（1 学时）：度量空间映射连续性及等价描述，同胚的概念。 §1.4 线性赋范空间（4 学时）：线性赋范空间的概念，范数距离，Banach 空间的概念，Lp 空间， p l 空间。 §1.5 稠密性与可分性空间（2 学时）：稠密的概念，可分空间及例子。 §1.6 完备性（4 学时）：Cauchy 点列，完备空间及性质，度量空间的完备 化定理。 §1.7 列紧性（3 学时）： 完全有界集，列紧集，紧集，Hausdoff 列紧性定 理，C[a, b]中的列紧集。 §1.8 有限维线性赋范空间（2 学时）：有限维线性赋范空间的坐标映射、范 数等价性及特征。 §1.8 压缩映射原理及其应用（4 学时）：压缩映像原理及推广，在隐函数定 理及常微分方程中的应用。 考核要求：掌握度量空间、线性赋范空间和 Banach 空间的概念和性质，掌 握映射连续性，度量空间中稠密、可分、完备、列紧等概念，熟悉 C[a, b]空间， l 空间， L 空间， p l 空间， p L 空间；掌握有限维线性赋范空间的特征，透彻理 解压缩映像原理及其简单应用。 第二章 线性有界算子和线性连续泛函 教学要点：线性有界算子，线性连续泛函，线性算子空间，共轭空间。 教学时数：8 学时。 教学内容： §2.1 线性有界算子与线性连续泛函（4 学时）：线性算子的概念，线性算 子的有界性与连续性，线性有界算子及其范数，线性连续泛函，线性连续泛函零 空间的性质。 §2.2 线性算子空间（2 学时）：线性算子空间的代数运算与范数结构及其 完备性，算子代数。 §2.3 共轭空间（2 学时）：线性赋范空间的共轭空间的概念与性质，保距同 构，一些具体空间的共轭空间。 考核要求：掌握线性有界算子，线性连续泛函，有界性，连续性，算子范数
共轭空间，保距同构等基本概念；掌握有界与连续的等价性定理，掌握线性有界 算子范数定理，能够计算一些简单的算子范数，知道一些具体空间的共轭空间。 第三章内积空间和Hi1bert空间 教学要点：内积空间，Hilbert空间，投影定理，就范直交系，Fourier 展式，Hilbert空问上线性连续泛函的表示。 教学时数：14学时。 教学内容： §3.1内积空间(4学时)：内积空间的定义，内积范数，Schwarz不等式， Hilbert空问，平行四边形公式，极化恒等式与内积空问的判定。 §3.2投影定理(2学时)：投影的概念，投影性质定理，投影判定定理。 凸集与极小化向量定理，投影存在性定理，集合的正交，Hilbert空问的正交分 解，投影算子及其性质。 S3.3就范直交系与Fourier展式(4学时)：就范直交系，Fourier系数集， Bessel不等式，Parseval恒等式，完全就范直交系的定义与判定，Fourier展 式，Gram-Schmidt正交化过程，Hilbert空间的同构。 §3.4 Hilbert空间上的线性连续泛函(2学时)片Riesz表示定理，共轭算 子及其性质。 §3.5自伴算子、酉算子和正常算子(2学时)：自伴算子、酉算子和正常 算子的基本概念与筒单性质。 考核要求：掌握内积空间，Hlilbert空间，平行四边形公式，投影算子，就 范直交系，Bessel不等式，Parseval恒等式，Fourier展式，共轭算子，自伴 算子，酉算子和正常算子等基本概念；掌握投影定理，完全就范直交系的判定定 理，Riesz表示定理等基本定理的内容与证明。 第四章Banach空间中的基本定理 教学要点：Hahn-Banach延拓定理，Riesz表示定理，线性赋范空间中的共 轭算子，Baire纲定理，一致有界性原理，强收敛、弱收敛和一致收敛，逆算子 定理，闭图象定理。 教学时数：16学时。 教学内容：
共轭空间，保距同构等基本概念；掌握有界与连续的等价性定理，掌握线性有界 算子范数定理，能够计算一些简单的算子范数，知道一些具体空间的共轭空间。 第三章 内积空间和 Hilbert 空间 教学要点：内积空间， Hilbert 空间，投影定理，就范直交系，Fourier 展式，Hilbert 空间上线性连续泛函的表示。 教学时数：14 学时。 教学内容： §3.1 内积空间（4 学时）：内积空间的定义，内积范数，Schwarz 不等式， Hilbert 空间，平行四边形公式，极化恒等式与内积空间的判定。 §3.2 投影定理（2 学时）：投影的概念，投影性质定理，投影判定定理。 凸集与极小化向量定理，投影存在性定理，集合的正交，Hilbert 空间的正交分 解，投影算子及其性质。 §3.3 就范直交系与 Fourier 展式（4 学时）：就范直交系，Fourier 系数集， Bessel 不等式，Parseval 恒等式，完全就范直交系的定义与判定, Fourier 展 式，Gram-Schmidt 正交化过程，Hilbert 空间的同构。 §3.4 Hilbert 空间上的线性连续泛函（2 学时）：Riesz 表示定理，共轭算 子及其性质。 §3.5 自伴算子、 酉算子和正常算子（2 学时）：自伴算子、酉算子和正常 算子的基本概念与简单性质。 考核要求：掌握内积空间，Hilbert 空间，平行四边形公式，投影算子，就 范直交系，Bessel 不等式，Parseval 恒等式，Fourier 展式，共轭算子，自伴 算子，酉算子和正常算子等基本概念；掌握投影定理，完全就范直交系的判定定 理, Riesz 表示定理等基本定理的内容与证明。 第四章 Banach 空间中的基本定理 教学要点：Hahn-Banach 延拓定理，Riesz 表示定理，线性赋范空间中的共 轭算子，Baire 纲定理，一致有界性原理，强收敛、弱收敛和一致收敛，逆算子 定理，闭图象定理。 教学时数：16 学时。 教学内容：
S4.1线性连续泛函的延拓(3学时)：Hahn-Banach泛函延拓定理及其证 明，线性连续泛函的存在定理与应用。 §4.2C[a,b]的共轭空问(1学时)：Riesz表示定理。 §4.3自反空间与共轭算子(2学时)：自反空间的概念与性质，线性有界算 子的共轭算子的定义及性质。 §4.4一致有界性原理及应用(4学时)：Baire纲定理，一致有界原理及 其在Fourier级数中的应用。 §4.5强收敛、弱收敛和一致收敛(2学时)：强收敛、弱收敛、一致收敛的 定义，例子，相互关系，强收敛的充要条件。 §4.6逆算子定理(2学时)：逆算子定理及其证明。 §4.7闭图象定理(2学时)：线性算子的图象，闭算子，闭图象定理。 考核要求：掌握本章涉及到的所有基本概念与基本定理；由于Hahn-Banach 延拓定理，一致有界性原理，逆算子定理，闭图象定理是泛函分析基础理论的主 要构成部分，要求熟练掌握这些定理的内容。 第五章线性算子的谱 教学要点：线性算子的谱的概念，线性有界算子谱与谱半径，线性全连续算 子谱定理，Fredholm二择一性，Hilbert空间自伴全连续算子的谱分解。 教学时数：10学时。 教学内容： §5.1线性算子谱的概念(2学时)：正则点，正则集，谱点，谱，特征值， 特征向量，点谱，连续谱与剩余谱，例子。 §5.2线性有界算子谱的基本性质(2学时)：单位算子扰动定理，线性有界 算子的正则集与谱，谱半径，Gelfand谱半径公式。 §5.3线性全连续算子的谱(4学时)：线性全连续算子，线性全连续算子谱 定理，Fredholm二择一性。 §5.4 Hilbert空问自伴全连续算子的谱分解(2学时)Hilbert空问自伴 全连续算子的谱分解定理。 考核要求：掌握线性有界算子谱的有关概念、性质与谱半径公式，了解线性 全连续算子的谱特征，掌握Fredholm二择一性，理解Hilbert空间自伴全连续
§4.1 线性连续泛函的延拓（3 学时）： Hahn-Banach 泛函延拓定理及其证 明，线性连续泛函的存在定理与应用。 §4.2 C[a,b]的共轭空间（1 学时）：Riesz 表示定理。 §4.3 自反空间与共轭算子（2 学时）：自反空间的概念与性质，线性有界算 子的共轭算子的定义及性质。 §4.4 一致有界性原理及应用（4 学时）： Baire 纲定理, 一致有界原理及 其在 Fourier 级数中的应用。 §4.5 强收敛、弱收敛和一致收敛（2 学时）：强收敛、弱收敛、一致收敛的 定义，例子，相互关系，强收敛的充要条件。 §4.6 逆算子定理（2 学时）：逆算子定理及其证明。 §4.7 闭图象定理（2 学时）：线性算子的图象，闭算子，闭图象定理。 考核要求：掌握本章涉及到的所有基本概念与基本定理；由于 Hahn-Banach 延拓定理，一致有界性原理，逆算子定理，闭图象定理是泛函分析基础理论的主 要构成部分，要求熟练掌握这些定理的内容。 第五章 线性算子的谱 教学要点：线性算子的谱的概念，线性有界算子谱与谱半径，线性全连续算 子谱定理，Fredholm 二择一性，Hilbert 空间自伴全连续算子的谱分解。 教学时数：10 学时。 教学内容: §5.1 线性算子谱的概念（2 学时）：正则点，正则集，谱点，谱，特征值， 特征向量，点谱，连续谱与剩余谱，例子。 §5.2 线性有界算子谱的基本性质（2 学时）：单位算子扰动定理，线性有界 算子的正则集与谱，谱半径，Gelfand 谱半径公式。 §5.3 线性全连续算子的谱（4 学时）：线性全连续算子，线性全连续算子谱 定理，Fredholm 二择一性。 §5.4 Hilbert 空间自伴全连续算子的谱分解（2 学时）Hilbert 空间自伴 全连续算子的谱分解定理。 考核要求：掌握线性有界算子谱的有关概念、性质与谱半径公式，了解线性 全连续算子的谱特征，掌握 Fredholm 二择一性，理解 Hilbert 空间自伴全连续