算子的谱分解。 三、参考书目 [1]程其襄等，《实变函数与泛函分析基础》，高等教有出版社，2010年，第三版。 [2】王声望，郑维行，《实变函数与泛函分析概要》第二册，高等教有出版社，1992 年，第二版。 [3]夏道行等，《实变函数论与泛函分析》下册，高等教有出版社，1990，第二版。 本课程使用教具和现代教育技术的指导性意见 泛函分析是基础数学中较为抽象的课程，通常不必使用教具。在传统的教学 方式中，从来没有使用过教具和其它辅助性教学手段。本课程的有些内容，如投 影算子，压缩映像迭代过程，向量正交化过程等，具有很强的直观性，完全可以 用计算机演示。因此，随着教学方式的改革，应当考虑现代化教具和现代教育技 术的运用
算子的谱分解。 三、参考书目 [1] 程其襄等，《实变函数与泛函分析基础》，高等教育出版社，2010 年，第三版。 [2] 王声望，郑维行，《实变函数与泛函分析概要》第二册，高等教育出版社，1992 年，第二版。 [3] 夏道行等，《实变函数论与泛函分析》下册，高等教育出版社，1990，第二版。 本课程使用教具和现代教育技术的指导性意见 泛函分析是基础数学中较为抽象的课程，通常不必使用教具。在传统的教学 方式中，从来没有使用过教具和其它辅助性教学手段。本课程的有些内容，如投 影算子，压缩映像迭代过程，向量正交化过程等，具有很强的直观性，完全可以 用计算机演示。因此，随着教学方式的改革，应当考虑现代化教具和现代教育技 术的运用
拓扑学 一、说明 课程性质：该课程是数学与应用数学专业云亭班专业平台必修课程之一，第 6学期开设，周4学时。 点集拓扑学（又称一般拓扑学）是一门研究具有拓扑结构的集合及其在拓扑 变换下的不变性质，即所谓拓扑空间及其拓扑性质：是在欧氏几何、解析几何 射影几何与微分几何之后发展起来的高度抽象的一门几何学。作为十分重要的基 础性的数学分支，它的许多概念、理论和方法在数学的其他分支（特别是几何类 和分析类分支)中有着广泛的应用，有的甚至已成为通用语言。它在物理学、经 济学部门也有许多应用。 教学目的：通过拓扑学，能使学生在高观点下重新审视古典分析中的连续性 概念的实质，使学生突破欧氏空间的束缚，认识到数学中更一般的空间，了解它 们的基本性质。另一方面，通过学习四种拓扑不变性和基本群的概念能使学生逐 渐形成认识事物大局观的思想，进一步深刻理解数学中讨论的变换观点下的不变 性。通过本课程的学习，学生的抽象思维能力和逻辑推理能力将得到很大程度的 提高，对培养学生良好的数学素养有着非常重要的意义。 教学内容：本课程主要介绍有关拓扑空问、连续映射与同胚映射的最基本的 概念和性质：由已知拓扑空间构造子空间、积空间、商空间的思想方法：以及四 个基本的拓扑不变性质：连通性、紧致性、可数性、分离性；同时也介绍了拓扑 空间成为可度量化空间的条件。最后介绍基本群的基本思想和方法。 教学时数：72学时。 教学方式：课堂教学为主。 二、大纲正文 第一章拓扑空间与连续映射 教学要点：拓扑空间的定义及一些基本概念（开集、拓扑、拓扑空间：闭集： 内点、邻域、内部：聚点、导集、闭包：内部、边界：序列与极限)。连续映射、 同胚映射、拓扑不变性；拓扑基。 教学时数：18学时
拓扑学 一、 说明 课程性质：该课程是数学与应用数学专业云亭班专业平台必修课程之一，第 6 学期开设，周 4 学时。 点集拓扑学（又称一般拓扑学）是一门研究具有拓扑结构的集合及其在拓扑 变换下的不变性质，即所谓拓扑空间及其拓扑性质；是在欧氏几何、解析几何、 射影几何与微分几何之后发展起来的高度抽象的一门几何学。作为十分重要的基 础性的数学分支，它的许多概念、理论和方法在数学的其他分支（特别是几何类 和分析类分支）中有着广泛的应用，有的甚至已成为通用语言。它在物理学、经 济学部门也有许多应用。 教学目的：通过拓扑学，能使学生在高观点下重新审视古典分析中的连续性 概念的实质，使学生突破欧氏空间的束缚，认识到数学中更一般的空间，了解它 们的基本性质。另一方面，通过学习四种拓扑不变性和基本群的概念能使学生逐 渐形成认识事物大局观的思想，进一步深刻理解数学中讨论的变换观点下的不变 性。通过本课程的学习，学生的抽象思维能力和逻辑推理能力将得到很大程度的 提高，对培养学生良好的数学素养有着非常重要的意义。 教学内容：本课程主要介绍有关拓扑空间、连续映射与同胚映射的最基本的 概念和性质；由已知拓扑空间构造子空间、积空间、商空间的思想方法；以及四 个基本的拓扑不变性质：连通性、紧致性、可数性、分离性；同时也介绍了拓扑 空间成为可度量化空间的条件。最后介绍基本群的基本思想和方法。 教学时数：72 学时。 教学方式：课堂教学为主。 二、大纲正文 第一章 拓扑空间与连续映射 教学要点：拓扑空间的定义及一些基本概念（开集、拓扑、拓扑空间；闭集； 内点、邻域、内部；聚点、导集、闭包；内部、边界；序列与极限）。连续映射、 同胚映射、拓扑不变性；拓扑基。 教学时数：18 学时
教学内容： §1.1拓扑空间的定义及举例(2学时)：拓扑及拓扑空间的公理化定义，四 个特殊的拓扑空问（平凡空间，离散空间，余有限空问及余可数空间），度量空 间的开集。 §1.2拓扑空间的基本概念(4学时)：有四组基本概念，分别是闭集：邻 域，内点和内部：聚点，导集与闭包：序列与极限。 §1.3子拓扑(2学时)：子拓扑和子空间的概念，全空间和子空间中开（闭） 集的关系。 §1.4连续映射与拓扑性质(4学时)：连续映射的定义及性质，粘合引理。 同胚映射的定理及实例。拓扑空间的同胚关系，拓扑性质与同胚分类。嵌入映射。 §1.5积空间与拓扑基(2学时)：乘积拓扑的构造，乘积空间的性质。集 合的拓扑基与拓扑空间的拓扑基，拓扑空间拓扑基的等价性定理。 §1.6商空间(4学时)：商拓扑、商映射、商空间：商空问的构造。 考核要求：识记拓扑空问的开集公理化定义，理解开集、拓扑的含义，并以 度量空间为例进行解释：掌握子拓扑、积拓扑、商拓扑的定义及性质：掌握并牢 记拓扑空间之间映射的连续性概念，并能用定义证明常见的映射（常值映射、恒 同映射、连续映射的复合映射)的连续性：牢记同胚映射及两个拓扑空间同胚的 概念，理解同胚关系是等价关系；领会拓扑学的中心任务。 第二章分离性与可数性公理 教学要点：两个可数性公理与四个分离性公理；rysohn引理，Tietze扩张 定理，Urysohn可度量化定理。 教学时数：16学时。 教学内容： §2.1T、T,分离公理(2学时)：T、T分离公理的定义：I、T,空间定 义及举例：两种空间的几个基本性质。 §2.2I、T,分离公理(4学时)：T、T分离公理的定义及等价性描述：T、 T,空间的定义及举例：两种空间的几个基本性质。度量空间满足四个公理。 §2.3第一第二可数性公理(4学时)：邻域基的定义，两种可数性公理的
教学内容： §1.1 拓扑空间的定义及举例（2 学时）：拓扑及拓扑空间的公理化定义，四 个特殊的拓扑空间（平凡空间，离散空间，余有限空间及余可数空间），度量空 间的开集。 §1.2 拓扑空间的基本概念（4 学时）：有四组基本概念，分别是闭集；邻 域，内点和内部；聚点，导集与闭包；序列与极限。 §1.3 子拓扑（2 学时）：子拓扑和子空间的概念，全空间和子空间中开（闭） 集的关系。 §1.4 连续映射与拓扑性质（4 学时）：连续映射的定义及性质，粘合引理。 同胚映射的定理及实例。拓扑空间的同胚关系，拓扑性质与同胚分类。嵌入映射。 §1.5 积空间与拓扑基（2 学时）：乘积拓扑的构造，乘积空间的性质。集 合的拓扑基与拓扑空间的拓扑基，拓扑空间拓扑基的等价性定理。 §1.6* 商空间（4 学时）：商拓扑、商映射、商空间；商空间的构造。 考核要求：识记拓扑空间的开集公理化定义，理解开集、拓扑的含义，并以 度量空间为例进行解释；掌握子拓扑、积拓扑、商拓扑的定义及性质；掌握并牢 记拓扑空间之间映射的连续性概念，并能用定义证明常见的映射（常值映射、恒 同映射、连续映射的复合映射）的连续性；牢记同胚映射及两个拓扑空间同胚的 概念，理解同胚关系是等价关系；领会拓扑学的中心任务。 第二章 分离性与可数性公理 教学要点：两个可数性公理与四个分离性公理；Urysohn 引理，Tietze 扩张 定理，Urysohn 可度量化定理。 教学时数：16 学时。 教学内容： §2.1 T1、T2分离公理（2 学时）：T1、T2分离公理的定义；T1、T2空间定 义及举例；两种空间的几个基本性质。 §2.2 T3 、T4分离公理（4 学时）：T3 、T4分离公理的定义及等价性描述；T3 、 T4空间的定义及举例；两种空间的几个基本性质。度量空间满足四个公理。 §2.3 第一第二可数性公理（4 学时）：邻域基的定义，两种可数性公理的
定义及举例，两种可数性公理的关系。度量空问是否满足两种可数性公理的判断。 §2.4拓扑性质的可遗传性与可乘积性(2学时)：可遗传性与可乘积性的 定义，六个公理是否满足可遗传性或可乘积性的证明或举例。 §2.5 Urysohn引理和Tietze扩张定理(2学时)：两个定理的内容和意义 并给出其中一个定理的证明。度量空间中Urysohn函数的构造。 §2.6 rysohn可度量化定理(2学时)：拓扑空间可度量化的定义，等价 性定理。Urysohn可度量化定理的内容、意义、证明。 考核要求：识记并领会两个可数性公理和四个分离性公理的含义；分析满足 可数性公理或分离性公理的拓扑空间的特殊性质：应用定义或等价条件分析欧氏 空间及一般度量空间的可数性性质，分离性性质，综合分析诸分离空间的区别与 联系：综合应用可数性空间和诸分离空间的基本性质领会Urysohn引理和Tietze 扩张定理的证明思想和深刻含义；应用定义和性质分析空间度量化的可能性。 第三章紧致性 教学要点：紧致、序列紧致、及其之间的关系；两种紧致空间的基本性质 度量空间中两种紧致性的等价性：局部紧致空间：拓扑空间的一点紧化 教学时数：14学时 教学内容： §3.1紧致空间(2学时)：紧致空间的定义及一些例子紧致子集的含义 及等价性描迷。 §3.2紧致空间的基本性质(4学时)：紧致空间在连续映射下的像是紧致 子集，进而紧致性是拓扑性质。紧致性关于闭子空间具有可遗传性。管状引理的 内容及证明，作为应用证明紧致性具有可乘积性质。紧致空问上连续函数的的极 值定理。 §3.3紧致性对分离性的影响(2学时)：T,空间中，一点和一个不含该点 的紧致子集、两个不相交的紧致子集都存在不相交的邻城。由此得到紧致空间和 T,空间中，紧致子集和闭集之间的关系，并证明从紧致空间到Hausdorff空间的 连续双射是同胚的性质。 §3.4序列紧致(4学时)：序列紧致的定义，列紧空间的基本性质，Lebesgue
定义及举例，两种可数性公理的关系。度量空间是否满足两种可数性公理的判断。 §2.4 拓扑性质的可遗传性与可乘积性（2 学时）：可遗传性与可乘积性的 定义，六个公理是否满足可遗传性或可乘积性的证明或举例。 §2.5 Urysohn 引理和 Tietze 扩张定理（2 学时）：两个定理的内容和意义， 并给出其中一个定理的证明。度量空间中 Urysohn 函数的构造。 §2.6 Urysohn 可度量化定理（2 学时）：拓扑空间可度量化的定义，等价 性定理。Urysohn 可度量化定理的内容、意义、证明。 考核要求：识记并领会两个可数性公理和四个分离性公理的含义；分析满足 可数性公理或分离性公理的拓扑空间的特殊性质；应用定义或等价条件分析欧氏 空间及一般度量空间的可数性性质，分离性性质，综合分析诸分离空间的区别与 联系；综合应用可数性空间和诸分离空间的基本性质领会 Urysohn 引理和 Tietze 扩张定理的证明思想和深刻含义；应用定义和性质分析空间度量化的可能性。 第三章 紧致性 教学要点：紧致、序列紧致、及其之间的关系；两种紧致空间的基本性质。 度量空间中两种紧致性的等价性；局部紧致空间；拓扑空间的一点紧化 教学时数：14 学时 教学内容： §3.1 紧致空间（2 学时）：紧致空间的定义及一些例子；紧致子集的含义 及等价性描述。 §3.2 紧致空间的基本性质（4 学时）：紧致空间在连续映射下的像是紧致 子集，进而紧致性是拓扑性质。紧致性关于闭子空间具有可遗传性。管状引理的 内容及证明，作为应用证明紧致性具有可乘积性质。紧致空间上连续函数的的极 值定理。 §3.3 紧致性对分离性的影响（2 学时）：T2空间中，一点和一个不含该点 的紧致子集、两个不相交的紧致子集都存在不相交的邻域。由此得到紧致空间和 T2空间中，紧致子集和闭集之间的关系，并证明从紧致空间到 Hausdorff 空间的 连续双射是同胚的性质。 §3.4 序列紧致（4 学时）：序列紧致的定义，列紧空间的基本性质。Lebesgue
数的概念；度量空问关于紧致和列紧的等价性证明。 §3.5局部紧致与仿紧致空间(2学时)：紧致与局部紧致的区别与联系仿 紧的概念和性质。 考核要求：识记并领会紧致性的含义：分析紧致空间的特殊性质及分离性对 紧致性产生的影响：应用定义或等价条件分析欧氏空间及一般度量空间的紧致性 性质：综合分析各种紧致性的区别与联系；应用紧致性区分拓扑空间。 第四章连通性 教学要点：连通性、连通分支、局部连通、道路连通、连通性的应用。 教学时数：10学时。 教学内容： §4.1连通空问(2学时)：连通空间的定义及举例，连通子集的定义，连 通性的绝对性质。连通性是拓扑性质，也满足有限可乘积性，但不满足遗传性。 定义在连通空间上连续函数的介值性定理。 §4.2连通性的某些简单应用(2学时)：欧氏空间中连通子集的特征：拓 扑空间的介值定理：运用连通性是拓扑性质区分拓扑空间。 §4.3连通分支与局部连通(2学时)：连通分支的定义、构造及基本性质。 局部连通的定义，与连通的关系。 §4.4道路连通空间(2学时)：道路、道路连通空间、道路连通分支、局 部道路连通空间。 §4.5拓扑性质与同胚(2学时)：综合应用拓扑性质判断空间不同胚。 考核要求：识记并领会连通与道路连通的区别与联系：应用定义分析空间是 否连通、局部连通、道路连通或局部道路连通；综合应用各种连通性是拓扑不变 性区分拓扑空间：综合分析欧氏空间中子集的连通性：能应用连通性证明介值定 理及不动点定理。 第五章同伦与基本群 学要点：同伦映射与同伦等价；基本群的构造、计算、应用。 教学时数：14学时。 教学内容： §5.1映射的同伦(4学时)：同伦映射的定义、举例、性质：空间的同伦
数的概念；度量空间关于紧致和列紧的等价性证明。 §3.5* 局部紧致与仿紧致空间 （2 学时）：紧致与局部紧致的区别与联系仿 紧的概念和性质。 考核要求：识记并领会紧致性的含义；分析紧致空间的特殊性质及分离性对 紧致性产生的影响；应用定义或等价条件分析欧氏空间及一般度量空间的紧致性 性质；综合分析各种紧致性的区别与联系；应用紧致性区分拓扑空间。 第四章 连通性 教学要点：连通性、连通分支、局部连通、道路连通、连通性的应用。 教学时数：10 学时。 教学内容： §4.1 连通空间（2 学时）：连通空间的定义及举例，连通子集的定义，连 通性的绝对性质。连通性是拓扑性质，也满足有限可乘积性，但不满足遗传性。 定义在连通空间上连续函数的介值性定理。 §4.2 连通性的某些简单应用（2 学时）：欧氏空间中连通子集的特征；拓 扑空间的介值定理；运用连通性是拓扑性质区分拓扑空间。 §4.3 连通分支与局部连通（2 学时）：连通分支的定义、构造及基本性质。 局部连通的定义，与连通的关系。 §4.4 道路连通空间（2 学时）：道路、道路连通空间、道路连通分支、局 部道路连通空间。 §4.5 拓扑性质与同胚（2 学时）：综合应用拓扑性质判断空间不同胚。 考核要求：识记并领会连通与道路连通的区别与联系；应用定义分析空间是 否连通、局部连通、道路连通或局部道路连通；综合应用各种连通性是拓扑不变 性区分拓扑空间；综合分析欧氏空间中子集的连通性；能应用连通性证明介值定 理及不动点定理。 第五章* 同伦与基本群 教学要点：同伦映射与同伦等价；基本群的构造、计算、应用。 教学时数：14 学时。 教学内容： §5.1 映射的同伦（4 学时）：同伦映射的定义、举例、性质；空间的同伦