数学与统计学院 数学与应用数学专业（含云亭班)、信息与计算科学专业 学院平台核心必修课程教学大纲 数学与统计学院目前在两个专业招生培养本科生，即数学与应用数学专业 (含云亭班)和信息与计算科学专业。2017版本科人才培养方案中两个专业（含 云亭班)学院平台核心必修课程设置相同，共设置6门课程，分别是数学分析、 数学分析Ⅱ、数学分析、高等代数1、高等代数Ⅱ、解析几何。在两个专业（含 云亭班)开课时，每门课程执行同一教学大纲。 数学分析I 一、说明 课程性质：本课程是数学与应用数学专业（含云亭班）和信息与计算科学专 业学院平台核心必修课程之一，第1学期开设，周6课时。 该课程是学生学习分析学系列课程及数学专业其它后继课程的重要基础，也 为高观点下深入理解中学教学内容所必需。 教学目的：通过本课程的学习，使学生掌握一元函数极限、连续以及微分学 的内容，为学习数学分析Ⅱ、数学分析Ⅲ、及分析学系列课程（复变函数、实变 函数、微分方程、泛函分析等)及数学专业其它后继课程打好基础，并自然地渗 透了对学生进行逻辑和数学抽象思维的特殊训练。 教学内容：实数集与函数、数列极限、函数极限与连续函数，微分、微分中 值定理及其应用、实数完备性、不定积分。 教学时数：96学时。 教学方式：讲授与课堂讨论法相结合。 二、大纲正文 第一章实数集与函数 教学要点：实数集的性质；有界集、上、下确界的定义与性质；确界原理；
数学与统计学院 数学与应用数学专业（含云亭班）、信息与计算科学专业 学院平台核心必修课程教学大纲 数学与统计学院目前在两个专业招生培养本科生，即数学与应用数学专业 （含云亭班）和信息与计算科学专业。2017 版本科人才培养方案中两个专业（含 云亭班）学院平台核心必修课程设置相同，共设置 6 门课程，分别是数学分析 I、 数学分析 II、数学分析 III、高等代数 I、高等代数 II、解析几何。在两个专业（含 云亭班）开课时，每门课程执行同一教学大纲。 数学分析 I 一﹑说明 课程性质：本课程是数学与应用数学专业（含云亭班）和信息与计算科学专 业学院平台核心必修课程之一，第 1 学期开设，周 6 课时。 该课程是学生学习分析学系列课程及数学专业其它后继课程的重要基础，也 为高观点下深入理解中学教学内容所必需。 教学目的：通过本课程的学习，使学生掌握一元函数极限、连续以及微分学 的内容，为学习数学分析Ⅱ、数学分析Ⅲ、及分析学系列课程（复变函数、实变 函数、微分方程、泛函分析等）及数学专业其它后继课程打好基础，并自然地渗 透了对学生进行逻辑和数学抽象思维的特殊训练。 教学内容：实数集与函数、数列极限、函数极限与连续函数，微分、微分中 值定理及其应用、实数完备性、不定积分。 教学时数：96 学时。 教学方式：讲授与课堂讨论法相结合。 二﹑大纲正文 第一章 实数集与函数 教学要点：实数集的性质；有界集、上、下确界的定义与性质；确界原理；
有界、无界函数的定义；单调函数的定义与性质。 教学时数：10学时。 教学内容： §1.1实数(2学时)：实数及其性质：绝对值与不等式。 §1.2数集·确界原理(4学时)：区间与邻城：有界集的定义：上确界、下 确界的定义与性质：确界原理；求解集合的上、下确界。 §1,3函数概念(2学时)：函数定义的进一步讨论：函数的表示方法： Dirichlet函数、Riemann函数的定义；复合函数的定义与性质：反函数、初等函 数的定义。 §1.4具有某些特性的函数(2学时)：有界函数的定义：无界函数的定义： 单调函数的定义与性质：奇函数、偶函数的定义与性质：周期函数的定义。 考核要求：熟练掌握上确界、下确界的定义，会运用上、下确界的定义证明 或求解集合的上、下确界：学握确界原理的定义：能运用有界函数、无界函数的 定义证明函数的有界性与无界性。 第二章数列极限 教学要点：数列极限的定义：收敛数列的性质；单调有界原理：Cauchy收敛 准则。 教学时数：15学时。 教学内容： §2.1数列极限的概念(6学时)：收敛数列的￡-N定义，邻域型定义：发散 数列的定义：运用收敛数列的定义证明数列的极限：无穷小数列：无穷大数列。 S2.2收敛数列的性质(4学时)：收敛数列极限的唯一性；收敛数列的有界 性；收敛数列的保号性：收敛数列的保不等式性：收敛数列的迪敛性：收敛数列 的四则运算法则：子列的概念以及与之有关的数列收敛的充要条件。 §2.3数列极限存在的条件(5学时)：单调数列的定义：单调有界原理以及 运用单调有界原理证明数列的收敛性；致密性定理；Cauchy收敛准则。 考核要求：熟练掌握收敛数列的各种定义，并能熟练运用收敛数列的定义 G-N;熟练掌握收敛数列的各个性质：熟练掌握单调有界原理、致密性定理以及 Cauchy收敛准则，并能运用上述定理证明数列的收敛性
有界、无界函数的定义；单调函数的定义与性质。 教学时数：10 学时。 教学内容： §1.1 实数（2 学时）：实数及其性质；绝对值与不等式。 §1.2 数集·确界原理（4 学时）：区间与邻域；有界集的定义；上确界、下 确界的定义与性质；确界原理；求解集合的上、下确界。 §1.3 函数概念（2 学时）：函数定义的进一步讨论；函数的表示方法； Dirichlet 函数、Riemann 函数的定义；复合函数的定义与性质；反函数、初等函 数的定义。 §1.4 具有某些特性的函数（2 学时）：有界函数的定义；无界函数的定义； 单调函数的定义与性质；奇函数、偶函数的定义与性质；周期函数的定义。 考核要求：熟练掌握上确界、下确界的定义，会运用上、下确界的定义证明 或求解集合的上、下确界；掌握确界原理的定义；能运用有界函数、无界函数的 定义证明函数的有界性与无界性。 第二章 数列极限 教学要点：数列极限的定义；收敛数列的性质；单调有界原理；Cauchy 收敛 准则。 教学时数：15 学时。 教学内容： §2.1 数列极限的概念（6 学时）：收敛数列的 N 定义，邻域型定义；发散 数列的定义；运用收敛数列的定义证明数列 的极限；无穷小数列；无穷大数列。 §2.2 收敛数列的性质（4 学时）：收敛数列极限的唯一性；收敛数列的有界 性；收敛数列的保号性；收敛数列的保不等式性；收敛数列的迫敛性；收敛数列 的四则运算法则；子列的概念以及与之有关的数列收敛的充要条件。 §2.3 数列极限存在的条件（5 学时）：单调数列的定义；单调有界原理以及 运用单调有界原理证明数列的收敛性；致密性定理；Cauchy 收敛准则。 考核要求：熟练掌握收敛数列的各种定义，并能熟练运用收敛数列的定义 N ；熟练掌握收敛数列的各个性质；熟练掌握单调有界原理、致密性定理以及 Cauchy 收敛准则，并能运用上述定理证明数列的收敛性
第三章函数极限 散学要点：各种类型函数极限的定义；单侧极限；函数极限的性质；函数极 限存在的条件；两个重要极限：无穷小量与无穷大量。 散学时数：19学时。 教学内容： S3.1函数极限概念(4学时)：x→0时函数极限的定义与几何意义；x→X。 时函数极限的-6定义以及几何意义；单侧极限的定义。 §3.2函数极限的性质(4学时)：函数极限的唯一性；局部有界性；局部保 号性；保不等式性：迫敛性：四则运算法则以及上述性质的应用。 S3.3函数极限存在的条件(4学时)：各种类型函数极限存在的Heine归结 原则；四类单侧极限的单调有界原理；函数极限的Cauchy收敛准则。 $34个重要程2学时重要限0的证明及应用：重要 限im1+y=e的证明及应用。 §3.5无穷小量与无穷大量(5学时)：无穷小量、有界量的定义；无穷小量 的性质：无穷小量阶的比较：高阶无穷小量、同阶无穷小量、等价无穷小量：等 价无穷小量在求极限问题中的应用；无穷大量的定义、无穷大量的性质、无穷大 量与无穷小量的关系：曲线的渐近线。 考核要求：熟练掌握函数极限的定义，并能运用定义验证函数的极限；熟练 掌握函数极限的性质及其应用；掌握函数极限存在的条件，并能用其证明函数是 否收敛：熟练掌握运用两个重要极限与等价无穷小量求极限的方法。 第四章函数的连续性 教学要点：函数连续、一致连续的定义；函数的问断点；连续函数的性质以 及初等函数的连续性。 教学时数：12学时。 教学内容： §4.1连续性的概念(2学时)：函数在一点的连续性；问断点及其分类；区 间上的连续函数
第三章 函数极限 教学要点：各种类型函数极限的定义；单侧极限；函数极限的性质；函数极 限存在的条件；两个重要极限；无穷小量与无穷大量。 教学时数：19 学时。 教学内容： §3.1 函数极限概念（4 学时）：x 时函数极限的定义与几何意义； 0 x x 时函数极限的 定义以及几何意义；单侧极限的定义。 §3.2 函数极限的性质（4 学时）：函数极限的唯一性；局部有界性；局部保 号性；保不等式性；迫敛性；四则运算法则以及上述性质的应用。 §3.3 函数极限存在的条件（4 学时）：各种类型函数极限存在的 Heine 归结 原则；四类单侧极限的单调有界原理；函数极限的 Cauchy 收敛准则。 §3.4 两个重要极限（2 学时）：重要极限 0 sin lim 0 x x x 的证明及应用；重要极 限 1 lim(1 )x x e x 的证明及应用。 §3.5 无穷小量与无穷大量（5 学时）：无穷小量、有界量的定义；无穷小量 的性质；无穷小量阶的比较：高阶无穷小量、同阶无穷小量、等价无穷小量；等 价无穷小量在求极限问题中的应用；无穷大量的定义、无穷大量的性质、无穷大 量与无穷小量的关系；曲线的渐近线。 考核要求：熟练掌握函数极限的定义，并能运用定义验证函数的极限；熟练 掌握函数极限的性质及其应用；掌握函数极限存在的条件，并能用其证明函数是 否收敛；熟练掌握运用两个重要极限与等价无穷小量求极限的方法。 第四章 函数的连续性 教学要点：函数连续、一致连续的定义；函数的间断点；连续函数的性质以 及初等函数的连续性。 教学时数：12 学时。 教学内容： §4.1 连续性的概念（2 学时）：函数在一点的连续性；间断点及其分类；区 间上的连续函数
§4.2连续函数的性质(6学时)：连续函数的局部性质：局部有界性、局部 保号性、四则运算法则：复合函数的连续性：闭区间上连续函数的性质：最大、 最小值定理、有界性定理、介值性定理、零点定理与一直连续性定理。 §4.3初等函数的连续性(4学时)：指数函数的连续性、幂函数、对数函数 的连续性。 考核要求：充分领会函连续的定义、领会一致连续的概念，能应用连续的定 义分析、论证，能区分不连续点的类型。 第五章导数和微分 教学要点：熟练掌握微分的定义、导数的定义、导数的四则运算和反函数的 求导法则、复合函数的求导法则及其应用，一阶微分形式的不变性、高阶导数和 高阶微分及运算法则，会应用Leibniz公式、理解和掌握参变量函数的高阶导数。 教学时数：13学时。 教学内容： §5.1导数的概念(2学时)：导数产生的背景；导数的定义：单侧导数的定 义以及与可导的关系：导数的几何意义。 §5.2求导法则(2学时)：导数的四则运算和反函数的求导法则、复合函数 的求导法则及其应用、基本求导公式。 §5.3参变量函数的导数(2学时)：参变量函数的求导法则。 S5.4高阶导数(4学时)：高阶导数的定义、求函数高阶导数的Leibniz公 式、参变量函数的高阶导数。 §5.5微分(3学时)：微分的概念：可微的几何意义：微分的基本运算法则： 高阶微分；微分在近似计算中的应用。 考核要求：会应用导数的定义、四则运算法则、反函数的求导法则和复合函 数求导法则求导数和高阶导数，能综合应用各种方法求函数的导数。 第六章微分中值定理及其应用 教学要点：微分中值定理、不定式极限：Taylor公式及其应用，函数的极值 与最值、函数的凸性和拐点，函数图像讨论。 教学时数：19学时。 教学内容：
§4.2 连续函数的性质（6 学时）：连续函数的局部性质：局部有界性、局部 保号性、四则运算法则；复合函数的连续性；闭区间上连续函数的性质：最大、 最小值定理、有界性定理、介值性定理、零点定理与一直连续性定理。 §4.3 初等函数的连续性（4 学时）：指数函数的连续性、幂函数、对数函数 的连续性。 考核要求：充分领会函连续的定义、领会一致连续的概念，能应用连续的定 义分析、论证，能区分不连续点的类型。 第五章 导数和微分 教学要点：熟练掌握微分的定义、导数的定义、导数的四则运算和反函数的 求导法则、复合函数的求导法则及其应用，一阶微分形式的不变性、高阶导数和 高阶微分及运算法则，会应用 Leibniz 公式、理解和掌握参变量函数的高阶导数。 教学时数：13 学时。 教学内容： §5.1 导数的概念（2 学时）：导数产生的背景；导数的定义；单侧导数的定 义以及与可导的关系；导数的几何意义。 §5.2 求导法则（2 学时）：导数的四则运算和反函数的求导法则、复合函数 的求导法则及其应用、基本求导公式。 §5.3 参变量函数的导数（2 学时）：参变量函数的求导法则。 §5.4 高阶导数（4 学时）：高阶导数的定义、求函数高阶导数的 Leibniz 公 式、参变量函数的高阶导数。 §5.5 微分（3 学时）：微分的概念；可微的几何意义；微分的基本运算法则； 高阶微分；微分在近似计算中的应用。 考核要求：会应用导数的定义、四则运算法则、反函数的求导法则和复合函 数求导法则求导数和高阶导数，能综合应用各种方法求函数的导数。 第六章 微分中值定理及其应用 教学要点：微分中值定理、不定式极限；Taylor 公式及其应用，函数的极值 与最值、函数的凸性和拐点，函数图像讨论。 教学时数：19 学时。 教学内容：
S6.1 Lagrange中值定理和函数的单调性(4学时)：Rolle中值定理和 Lagrange中值定理及其应用；单调函数和可导的关系：Darboux定理。 §6.2 Cauchy中值定理和不定式极限(4学时)：Cauchy中值定理、定理的 应用及几何意义：运用L'Hospital法则求解不定式极限 S6.3 Taylor公式(4学时)：带Peano型余项的Taylor公式：带Lagrange 型余项的Taylor公式：Taylor公式的应用。 §6.4函数的极值与最大、小值(2学时)：函数校值的定义：函数极值的第 一充分条件、第二充分条件以及第三充分条件；求解函数的最大、小值。 §6.5函数的凸性与拐点(3学时)：凸函数、凹函数的定义：函数为凸函数 的充要条件、充分条件；凸函数的应用；拐点的定义。 §6.6函数图像的定义(2学时)：作函数图像的一般程序，根据函数的性质 绘出函数图像。 考核要求：领会微分中值定理、Taylor公式的深刻意义，能用微分中值定理 进行分析、论证，能将函数展开成Taylor多项式和其余项之和，能综合使用 L'Hospital法则Taylor公式求函数及数列的极限，掌握函数极值与凸性的定义 以及相关性质与应用，会进行函数作图。 第七章实数的完备性 教学要点：领会实数基本定理。 教学时数：6学时。 教学内容： §7.1关于实数集完备性的基本定理(4学时)。 §7.2区问套定理、聚点定理和有限覆盖定理(2学时)。 考核要求：掌握实数基本定理的内容，领会几个定理之间的关系。 第八章不定积分 教学要点：理解不定积分的概念、性质、运算和换元积分法、分部积分法， 熟练掌握不定积分的基本公式，分部积分法和换元积分法、有理函数积分的计算、 区分无理函数的积分和可化为有理函数积分的类型。 教学时数：14学时。 教学内容：
§6.1 Lagrange 中值定理和函数的单调性（4 学时）：Rolle 中值定理和 Lagrange 中值定理及其应用；单调函数和可导的关系；Darboux 定理。 §6.2 Cauchy 中值定理和不定式极限（4 学时）：Cauchy 中值定理、定理的 应用及几何意义；运用 L’Hospital 法则求解不定式极限。 §6.3 Taylor 公式（4 学时）：带 Peano 型余项的 Taylor 公式；带 Lagrange 型余项的 Taylor 公式；Taylor 公式的应用。 §6.4 函数的极值与最大、小值（2 学时）：函数极值的定义；函数极值的第 一充分条件、第二充分条件以及第三充分条件；求解函数的最大、小值。 §6.5 函数的凸性与拐点（3 学时）：凸函数、凹函数的定义；函数为凸函数 的充要条件、充分条件；凸函数的应用；拐点的定义。 §6.6 函数图像的定义（2 学时）：作函数图像的一般程序，根据函数的性质 绘出函数图像。 考核要求：领会微分中值定理、Taylor 公式的深刻意义，能用微分中值定理 进行分析、论证，能将函数展开成 Taylor 多项式和其余项之和，能综合使用 L’Hospital 法则 Taylor 公式求函数及数列的极限，掌握函数极值与凸性的定义 以及相关性质与应用，会进行函数作图。 第七章 实数的完备性 教学要点：领会实数基本定理。 教学时数：6 学时。 教学内容： §7.1 关于实数集完备性的基本定理（4 学时）。 §7.2 区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理（2 学时）。 考核要求：掌握实数基本定理的内容，领会几个定理之间的关系。 第八章 不定积分 教学要点：理解不定积分的概念、性质、运算和换元积分法、分部积分法， 熟练掌握不定积分的基本公式，分部积分法和换元积分法、有理函数积分的计算、 区分无理函数的积分和可化为有理函数积分的类型。 教学时数： 14 学时。 教学内容：